1. Чётные и нечётные функции
Функцию \(y=f(x)\), x ∈ X , называют нечётной , если для любого значения \(x\) из множества \(X\) выполняется равенство f ( − x ) = − f ( x ) .
Есть чётные функции, нечётные функции, а также ни чётные, ни нечётные.
Чётная или нечётная функция \(y=f(x)\) имеет симметричную область определения \(D(f)\).
Если же \(D(f)\) — несимметричное множество, то функция \(y=f(x)\) не может быть ни чётной, ни нечётной.
Алгоритм исследования функции \(y=f(x)\) на чётность
1. Исследовать область определения функции \(D(f)\) на симметричность. Если область определения не симметрична, то функция ни чётная, ни нечётная. Если область определения симметрична, то продолжать выполнять алгоритм.
2. Записать выражение \(f(-x)\).
3. Сопоставить выражения \(f(-x)\) и \(f(x)\):
а) при f ( − x ) = f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является чётной;
б) при f ( − x ) = − f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является нечётной;
в) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет чётной;
г) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ − f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет нечётной.
Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно оси ординат, то \(y=f(x)\) — чётная функция.
Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно начала координат, то \(y=f(x)\) — нечётная функция.
1. Свойства функций
Функцию \(y=f(x)\) называют возрастающей на множестве X ⊂ D ( f ) , если для любых точек x 1 и x 2 множества \(X\) — таких, что x 1 < x 2 — выполняется неравенство f x 1 < f x 2 .
Функцию \(y=f(x)\) называют убывающей на множестве X ⊂ D ( f ) , если для любых точек x 1 и x 2 множества \(X\) — таких, что x 1 < x 2 — выполняется неравенство f x 1 >f x 2 .
Обрати внимание!
Иными словами:
функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Исследование функции на ограниченность
Функцию \(y=f(x)\) называют ограниченной снизу на множестве X ⊂ D ( f ) , если все значения этой функции на множестве \(X\) больше некоторого числа; иными словами, если существует число \(m\) — такое, что для любого значения x ∈ X выполняется неравенство f ( x ) > m .
Функцию \(y=f(x)\) называют ограниченной сверху на множестве X ⊂ D ( f ) , если все значения этой функции на множестве \(X\) меньше некоторого числа; иными словами, если существует число \(M\) — такое, что для любого значения x ∈ X выполняется неравенство f ( x ) < M .
Как понять какая функция больше
Свойства функций
- Область определения функции — это множество всех значений переменной x , которые имеют соответствующие им значения функции. Обозначают: D(f) . На графике область определения — это промежутки на оси ОX , над которыми (или под которыми) имеются части графика. Для нашего примера D(f) = [-8; 9,4] .
- Область значений функции — это множество всех ее значений у . Обозначают: E(f) . На графике область значений функции — это промежутки на оси OY , слева или справа от которых (в горизонтальной полосе) находятся части графика. Для нашего примера Е(f) = [-4; 4,2] .
- Функция y = f (x) называется возрастающей , если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1< x2 следует неравенство f (x1) < f (x2). Функцию можно назвать возрастающей на промежутке , если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции. Для нашего примера функция возрастает при . Функция y = f (x) называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1< x2 следует неравенство f (x1) > f (x2). Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если из любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции. Для нашего примера функция убывает при .
- Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых значения функции имеют постоянный знак (положительный или отрицательный). Промежуток положительного знака — это множество значений переменной x , у которых соответствующие значения функции больше нуля ( y > 0 ). На графике — это части оси абсцисс, у которых соответствующие кусочки графика выше оси ОХ . Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство f (x) > 0 . Для нашего примера функция положительна при . Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х , у которых соответствующие значения функции меньше нуля ( y .
- Нули функции — это значения переменной х , при которых у (х) = 0 . Без графика нули функции тоже можно найти, составив и решив уравнение f (x) = 0 . По графику нули определяют как абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ . Для нашего примера нули функции это точки х1 = -3, х2 = 2, х3 = 5.
- Четность и нечетность функции . Функция называется четной , если ее график симметричен относительно оси ОУ и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = f (x) . Т.е. функция называется четной, если любым двум противоположным значениям аргумента, из области определения, соответствуют равные значения функции. На графике четная функция имеет ось симметрии OY . Функция называется нечетной , если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = -f (x). Т.е. функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. На графике нечетная функция симметрична относительно начала координат. Произведение или частное двух четных функций — есть функция четная. Произведение или частное двух нечетных функций — есть функция четная. Произведение или частное двух функций, одна из которых четная, а другая нечетная — есть функция нечетная. Функция нашего примера — ни четная, ни нечетная.
- Периодичность функции . Функция y = f (x) называется периодической с периодом Т > 0 , если для любого x ϵ D(f) верно: (х — Т) ϵ D(f), (х + Т) ϵ D(f) и f (х — Т) = f (х + Т) = f (x) . Если Т > 0 является периодом функции y = f (x) , то число — период функции y = f (kx + b) . Если Т1 > 0 и Т2 > 0 — периоды соответствующих функций y = f (x) и y = g (x) , причем , где m, n ϵ N, , то любая комбинация этих функций y = a • f (x) + b • g(x), a, b ϵ Z , также периодическая, период которой равен T = HOK(T1, T2) . Функция нашего примера не является периодической.
- Точки экстремума функции ( точки максимума и минимума ). Точка х0 называется точкой минимума , если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≥ f (x0) . На графике точки минимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «ямка». Для нашего примера точки минимума — это х1 = -4,5, х2 = 3 . Точка х0 называется точкой максимума , если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≤ f (x0 ). На графике точки максимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «горка». Для нашего примера точки максимума — это х1 = -7, х2 = -1, х3 = 7 .
- Наименьшее и наибольшее значение функции . Число y = t называется наименьшим значением функции на промежутке [a, b] , если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≥ f (x) . Для нашего примера наибольшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/б = 4,2 . Число y = t называется наибольшим значением функции на промежутке [a, b] , если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≤ f (x) . Для нашего примера наименьшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/м = -4 .
| Функция | ||
| Область определения | R | R |
| Вершина параболы | (0; 0) | |
| Нули функции | x = 0 | |
| Экстремумы | если a < 0, то минимум в вершине если a > 0, то максимум в вершине |
|
| Область значений | ||
| Четность | четная | ни четная, ни нечетная |
| Функция | ||
| Область определения | R | R |
| Область значений | R | [0; +∞ ) |
| Четность | нечетная | четная |
| Нули функции | х =0 | х =0 |
| Экстремумы | нет | х = 0 — точка минимума |
| Монотонность | возрастает при х ϵ R | при х ≤ 0 убывает при х > 0 возрастает |
| Функция | ||
| Область определения | R кроме х = 0 | R кроме х = 0 |
| Область значений | (-∞ ; 0) U (0; +∞ ) | (0; +∞ ) |
| Четность | нечетная | четная |
| Нули функции | нет | нет |
| Экстремумы | нет | нет |
| Монотонность | убывает при x ϵ D(f) | при х < 0 возрастает при х > 0 убывает |
| Функция | ||
| Область определения | ||
| Область значений | ||
| Нули функции | х = 0 | х = 0 |
| Экстремумы | нет | нет |
| Монотонность | возрастает при х ϵ D(f) | возрастает при х ϵ D(f) |
| Функция | y = a x , 0 < a < 1 | y = a x , a > 1 |
| Область определения | R | R |
| Область значений | ( 0; +∞ ) | ( 0; +∞ ) |
| Нули функции | нет | нет |
| Экстремумы | нет | нет |
| Монотонность | убывает при х ϵ D ( f ) | возрастает при х ϵ D ( f ) |
| Функция | y = logax, 0 < a < 1 | y = logax, a > 1 |
| Область определения | ( 0; +∞) | ( 0; +∞) |
| Область значений | R | R |
| Нули функции | нет | нет |
| Экстремумы | нет | нет |
| Монотонность | убывает при х ϵ D ( f ) | возрастает при х ϵ D ( f ) |
| Функция | y = sin x | y = cos x |
| Область определения | R | R |
| Область значений | [-1; 1 ] | [-1; 1 ] |
| Нули функции | ||
| Четность | нечетная | четная |
| Периодичность | ||
| Экстремумы | ||
| Монотонность | возрастает при убывает при | возрастает при убывает при |
| Функция | y = tg x | y = ctg x |
| Область определения | R кроме | R кроме |
| Область значений | R | R |
| Нули функции | ||
| Четность | нечетная | нечетная |
| Периодичность | ||
| Монотонность | возрастает при | убывает при |
| Функция | y = arcsin x | y = arcos x |
| Область определения | [-1; 1 ] | [-1; 1 ] |
| Область значений | ||
| Нули функции | x = 0 | x = 1 |
| Четность | нечетная | ни четная, ни нечетная |
| Монотонность | возрастает при x ϵ [-1; 1 ] | убывает при x ϵ [ -1 ; 1 ] |
| Функция | y = arctg x | y = arcctg x |
| Область определения | R | R |
| Область значений | ||
| Нули функции | x = 0 | нет |
| Четность | нечетная | нечетная |
| Монотонность | возрастает при x ϵ R | убывает при x ϵ R |
| Функция | ||
| Область определения | R | [0; +∞ ) |
| Область значений | R | [0; +∞ ) |
| Нули функции | х = 0 | х = 0 |
| Экстремумы | нет | нет |
| Монотонность | возрастает при х ϵ D ( f ) | возрастает при х ϵ D ( f ) |
- Область значений функции f -1 (x) является областью определения функции f (x) . E(f -1 (x)) = D(f), E(f) = D(f -1 (x)) .
- Графики функции f (x) и обратной к ней f -1 (x) симметричны относительно биссектрисы у = х .
- Если функция f (x) монотонна на промежутке Х , то она обратима на этом промежутке.
- Если функция f (x) возрастает (убывает) в своей области определения, то и обратная к ней f -1 (x) тоже возрастает (убывает).
| Перейти к выполнению теста: Тест. Свойства функций |
Функция НАИБОЛЬШИЙ
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции НАИБОЛЬШИЙ в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает k-ое по величине значение из множества данных. Эта функция позволяет выбрать значение по его относительному местоположению. Например, функцией НАИБОЛЬШИЙ можно воспользоваться для определения наилучшего, второго или третьего результатов тестирования в баллах.
Синтаксис
Аргументы функции НАИБОЛЬШИЙ описаны ниже.
- Массив Обязательный. Массив или диапазон данных, для которого определяется k-ое наибольшее значение.
- k Обязательный. Позиция (начиная с наибольшего числа) в массиве или диапазоне ячеек данных.
Замечания
- Если массив пуст, то функции БОЛЬШИЕ возвращают #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.
- Если k ≤ 0 или k больше количества точек данных, то large возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если n — число точек данных в интервале, функция НАИБОЛЬШИЙ(массив;1) возвращает наибольшее значение, а НАИБОЛЬШИЙ(массив;n) — наименьшее.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.