Как разложить степень на множители

Разложение на множители разности n-x степеней

Выведем формулу для разности двух четвёртых степеней:

Предположим, что $a^5-b^5 = (a-b)(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4 )$

Проверим нашу догадку:

$$ (a-b)(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4 ) = a(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4 )- $$

$$ = a^5+a^4 b+a^3 b^2+a^2 b^3+ab^4-a^4 b-a^3 b^2-a^2 b^3-ab^4-b^5 = a^5-b^5 $$

Формула для разности n -х степеней

Теперь можно обобщить полученные формулы для любой степени n:

Эта формула справедлива для любого натурального $n\ge2$.

Формула для суммы нечетных n -х степеней

Получив формулу для разности любой степени n, можно вывести формулу для суммы, но не всех (!) степеней, а только нечётных.

Для нечётной степени $(-b)^n = -b^n$. Получаем:

Эта формула справедлива для всех нечётных $n\ge3$.

Например, уже известная нам сумма кубов:

Также, можем записать сумму пятых степеней:

Суммы чётных степеней на множители не раскладываются!

Нельзя получить разложения для $a^2+b^2, a^4+b^4$ и т.п.

на множестве действительных чисел.

Примеры

Пример 1. Разложите на множители:

а) $ x^6-y^6 = (x-y)(x^5+x^4 y+x^3 y^2+x^2 y^3+xy^4+y^5 )$

$x^6-y^6 = (x^2 )^3-(y^2 )^3 = (x^2-y^2 )(x^4+x^2 y^2+y^4 ) = $

$ = (x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2 )(x^2-xy+y^2 )$ – самое полное разложение

г) $32a^5-b^5 = (2a-b)((2a)^4+(2a)^3 b+(2a)^2 b^2+2ab^3+b^4 ) =$

$ = (2a-b)(16a^4+8a^3 b+4a^2 b^2+2ab^3+b^4 )$

Пример 2. Докажите, что

а) $17^-49^5 кратно 10$

Что и требовалось доказать.

б) $9^+19^7 кратно 100$

Что и требовалось доказать.

Разложение многочленов на множители

Выражения вида называются многочленами от x степени n (a_n ≠ 0) с действительными коэффициентами, если a_i, i = 0,1,2. n — действительные числа.

Как известно, если комплексное число – корень многочлена, то обязательно и комплексно сопряженное ему число является корнем многочлена. Поэтому их произведение

представляет собой квадратичное выражение.

Таким образом, любой многочлен с действительными коэффициентами всегда можно представить в виде произведения линейных и квадратичных множителей

где , а x₁, . x_s — действительные корни многочлена. То есть, если известны все корни многочлена с действительными коэффициентами, то можно сразу написать его разложение на множители.

Подбор корней многочлена.

В общем случае найти корни многочлена степени n довольно сложная задача, но можно попытаться найти хотя бы один корень x₀. Разделив исходный многочлен на одночлен x-x₀, мы получим многочлен степени n-1. Тем самым мы упростили исходную задачу, так как раскладывать на множители теперь надо многочлен степени n-1. Например, для многочлена третьей степени после деления на x₀ мы получим многочлен второй степени, корни которого найдем, просто решив квадратное уравнение. Существенную помощь в подборе рациональных корней многочлена может оказать следующая теорема.

Теорема. Если многочлен a(x)= a_n*x n + a_n-1*x n-1 + a_n-2*x n-2 + . + a₁*x + a₀, a_n ≠ 0 c целыми коэффициентами имеет рациональный корень x₀ =

(причем эта дробь несократима), то p – делитель свободного члена a₀, а q – делитель старшего коэффициента a_n. Из этой теоремы следует, что если старший коэффициент равен единице, то целые корни многочлена следует искать только среди делителей свободного члена.

Попробуем применить эту теорему для разложения многочлена на множители.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее .

2. Разложение на множители

Разложить выражение на множители можно различными способами.

1. Вынесение общего множителя за скобки

(используется, если все члены выражения содержат один и тот же множитель).

1) 3 x − 7 x 2 = x 3 − 7 x ;

2) 8 y 6 + 6 y 4 = 2 y 4 4 y 2 + 3 .

2. Использование формул сокращённого умножения.

a 2 − b 2 = a − b a + b ; a 2 + 2 ab + b 2 = a + b 2 = a + b a + b ; a 2 − 2 ab + b 2 = a − b 2 = a − b a − b ; a 3 + b 3 = a + b a 2 − ab + b 2 ; a 3 − b 3 = a − b a 2 + ab + b 2 .

1) 4 x 2 − 12 x + 9 = 2 x 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 x + 3 2 = 2 x − 3 2 = 2 x − 3 2 x − 3 ;

2) 1 − 8 x 3 = 1 3 − 2 x 3 = 1 − 2 x 1 2 + 1 ⋅ 2 x + 2 x 2 = = 1 − 2 x 1 + 2 x + 4 x 2 ;

3) v 10 − n 10 = v 5 2 − n 5 2 = v 5 − n 5 v 5 + n 5 .

Разложение на множители разности степеней

Частично использовать разложение на множители разность степеней мы уже умеем — при изучении темы «Разность квадратов» и «Разность кубов» мы научились представлять как произведение разность выражений, которые можно представить как квадраты или как кубы некоторых выражений или чисел.

Формулы сокращенного умножения

По формулам сокращенного умножения:

разность квадратов можно представить как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму

Разность кубов можно представить как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы

Переход к разности выражений в 4 степени

Опираясь на формулу разности квадратов, попробуем разложить на множители выражение $a^4-b^4$

Вспомним, как возводится степень в степень — для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е $^m=a^$

Статья: Разложение на множители разности степеней

Поможем написать реферат за 48 часов

Тогда можно представить:

Значит, наше выражение можно представить, как $a^4-b^4=<<(a>^2)>^2$-$<<(b>^2)>^2$

Далее можно заметить, что теперь многочлен представляет собой разность квадратов одночленов $a^2$ и $b^2$ .Разложим многочлен на множители как произведение разности одночленов на их сумму

Теперь в первой скобке мы вновь получили разность чисел, значит вновь можно разложить на множители как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму: $a^2-b^2=\left(a-b\right)(a+b)$.

Исходное выражение принимает вид

Теперь вычислим произведение второй и третьей скобок используя правило произведения многочленов, — умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат. Для этого сначала первый член первого многочлена — $a$ — умножим на первый и второй член второго (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, затем второй член первого многочлена -$b$- умножим на первый и второй члены второго многочлена (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ и составим сумму получившихся выражений

«Разложение на множители разности степеней» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач по учебе за 24 часа
Реферат по этой теме за 48 часов

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

Запишем разность одночленов 4 степени с учетом вычисленного произведения:

Переход к разности выражений в 6 степени

Опираясь на формулу разности квадратов попробуем разложить на множители выражение $a^6-b^6$

Вспомним, как возводится степень в степень — для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е $^m=a^$

Тогда можно представить:

Значит, наше выражение можно представить, как $a^6-b^6=<<(a>^3)>^2-<<(b>^3)>^2$

Далее можно заметить, что теперь многочлен представляет собой разность квадратов одночленов $a^2$ и $b^2$ .Разложим многочлен на множители как произведение разности одночленов на их сумму

В первой скобке мы получили разность кубов одночленов, во второй сумму кубов одночленов, теперь вновь можно разложить на множители разность кубов одночленов как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы $a^3-b^3=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)$

Исходное выражение принимает вид

Вычислим произведение второй и третье скобок используя правило произведения многочленов, — умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат.

Запишем разность одночленов 6 степени с учетом вычисленного произведения:

Разложение на множители разности степеней

Проанализируем формулы разности кубов, разности $4$ степеней, разности $6$ степеней

Мы видим, что в каждом из данных разложений присутствует некоторая аналогия, обобщая которую получим:

Решение: Сначала представим каждый одночлен как некоторый одночлен в 5 степени:

Используем формулу разности степеней