Как доказать что интеграл расходится

Конев В.В. Несобственные интегралы

Эталонные p-интегралы первого рода

Несобственные интегралы

(1)

При p = 1 интеграл (1) расходятся:

Проблема исследования на сходимость несобственных интегралов вида легко разрешается, если при x → ∞ функция f(x) является бесконечно малой порядка p по сравнению с . Тогда при p > 1 интеграл от f(x) сходится, а при p ≤ 1 — расходится.
Например, функция

при x → ∞ является бесконечно малой порядка 11/7 по сравнению с и, следовательно, интеграл сходится.

10. Несобственные интегралы

был построен в предположении, что числа $a,\,b$ конечны и $f(x)$ — непрерывная функция. Если одно из этих предположений нарушается, говорят о несобственных интегралах.

10.1 Несобственные интегралы 1 рода

Несобственный интеграл 1 рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел $a,\,b$ бесконечно.

10.1.1 Определение и основные свойства

Рассмотрим сначала ситуацию, когда нижний предел интегрирования конечен, а верхний равен $+\infty$, другие варианты обсудим несколько позднее. Для $f(x)$, непрерывной при всех интересующих нас $x$, рассмотрим интеграл

Прежде всего надо установить смысл этого выражения. Для этого введем функцию

и рассмотрим ее поведение при $N\rightarrow +\infty$.

Определение. Пусть существует конечный предел

Тогда говорят, что несобственный интеграл 1 рода (19) является сходящимся и ему приписывают значение $A$, саму функцию называют интегрируемой на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$. Если же указанного предела не существует или он равен $\pm \infty$, то говорят, что интеграл (19) расходится.

В данном случае известна первообразная подинтегральной функции, так что

Известно, что $arctg N \rightarrow \pi /2 $ при $N \rightarrow +\infty$. Таким образом, $I(N)$ имеет конечный предел, наш несобственный интеграл сходится и равен $\pi /2$.

Сходящиеся несобственные интегралы 1 рода обладают всеми стандартными свойствами обычных определенных интегралов.

1. Если $f(x)$, $g(x)$ интегрируемы на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, то их сумма $f(x)+g(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем \[ \int _a^<+\infty>\left(f(x)+g(x)\right )dx=\int _a^<+\infty>f(x)dx+\int _a^<+\infty>g(x)dx. \] 2. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, то для любой константы $C$ функция $C\cdot f(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем \[ \int _a^<+\infty>C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^<+\infty>f(x)dx. \] 3. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, причем на этом интервале $f(x)>0$, то \[ \int _a^ <+\infty>f(x)dx\,>\,0. \] 4. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, то для любого $b>a$ интеграл \[ \int _b^ <+\infty>f(x)dx \] сходится, причем \[ \int _a^<+\infty>f(x)dx=\int _a^ f(x)dx+\int _b^ <+\infty>f(x)dx \] (аддитивность интеграла по интервалу).

Справедливы также формулы замены переменной, интегрирования по частям и т.д. (с естественными оговорками).

В данном случае первообразная известна, так что

при $k = 1$. Рассматривая поведение при $N \rightarrow +\infty$, приходим к выводу, что интеграл (20) сходится при $k>1$, а при $k \leq 1$ — расходится.

Рассмотрим теперь вариант, когда нижний предел интегрирования равен $-\infty$, а верхний конечен, т.е. рассмотрим интегралы

Однако этот вариант можно свести к предыдущему, если сделать замену переменных $x=-s$ и поменять затем пределы интегрирования местами, так что

$g(s)=f(-s)$. Рассмотрим теперь случай, когда имеется два бесконечных предела, т.е. интеграл

причем $f(x)$ непрерывна при всех $x \in \mathbb$. Разобъем интервал на две части: возьмем $c \in \mathbb$, и рассмотрим два интеграла,

Определение. Если оба интеграла $I_1$, $I_2$ сходятся, то интеграл (21) называется сходящимся, ему приписывают значение $I=I_1+I_2$ ( в соответствии с аддитивностью по интервалу). Если хотя бы один из интегралов $I_1$, $I_2$ расходится, интеграл (21) называется расходящимся.

Можно доказать, что сходимость интеграла (21) не зависит от выбора точки $c$.

Несобственные интегралы 1 рода с интервалами интегирования $\left(-\infty, \, c \right]$ или $(-\infty, \, +\infty )$ также обладают всеми стандартными свойствами определенных интегралов (с соответствующей переформулировкой, учитывающей выбор интервал интегрирования).

10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода

Теорема (первый признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ — непрерывны при $x>a$, причем $0 a$. Тогда

1. Если интеграл \[ \int _a^<+\infty>g(x)dx \] сходится, то сходится и интеграл \[ \int _a^<+\infty>f(x)dx. \] 2. Если интеграл \[ \int _a^<+\infty>f(x)dx \] расходится, то расходится и интеграл \[ \int _a^<+\infty>g(x)dx. \]

Теорема (второй признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ — непрерывны и положительны при $x>a$, причем существует конечный предел

сходятся или расходятся одновременно.

Подинтегральное выражение — положительная функция на интервале интегрирования. Далее, при $x \rightarrow +\infty$ имеем:

$\sin x$ является «малой» поправкой в знаменателе. Точнее, если взять $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$, то

Применяя второй признак сравнения, приходим к выводу, что наш интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом

Как было показано в предыдущем примере, этот интеграл расходится ($k=1$). Следовательно, исходный интеграл расходится.

Вычислить несобственный интеграл или установить его сходимость (расходимость).

Конев В.В. Несобственные интегралы

Признаки сравнения

Несобственные интегралы

В основе признаков сравнения лежат вполне очевидные соображения. Например, если , где λ – конечное число, то (начиная с некоторого достаточно большого значения x) выполняется приближенное равенство f(x) ≈ λg(x). Тогда и площади областей, расположенных между соответствующими кривыми и осью абсцисс, отличаются друг от друга в конечное число раз. Если одна из них конечна, то конечна и другая.

.

Признак сравнения 1. Пусть функции f(x) и g(x) определены на промежутке (A,B) и удовлетворяют неравенству , где A и B – любые числа (не обязательно конечные). Тогда
1) из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла .
2) расходимость интеграла влечет расходимость интеграла .

Другими словами, исследуемый на сходимость интеграл сравнивается с эталонным. Если эталонный интеграл больше исследуемого и сходится, то сходится и исследуемый. Если же эталонный интеграл меньше исследуемого и расходится, то расходится и исследуемый.

Если существует отличный от нуля предел функции f(x) при , то интеграл расходится. Однако равенство нулю такого предела не является достаточным условием сходимости этого интеграла. Например, , тогда как интеграл расходится.

Признак сравнения 1 можно переформулировать, положив в основу сопоставление быстроты изменения исследуемой и эталонной функций в окрестности соответствующей точки «несобственности» (в том числе и бесконечно удаленной).

Признак сравнения 2. Если существует предел , то
при интегралы и сходятся или расходятся одновременно;
при сходимость интеграла влечет за собой сходимость интеграла ;
при из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла .

Аналогичным образом формулируются признаки сходимости интегралов вида .

С геометрической точки зрения сходимость интеграла означает, что площадь области, заключенной между кривой y = f(x) и осью абсцисс, конечна.

Рис. 1. Определяющее значение для сходимости или расходимости интеграла имеет лишь быстрота приближения кривой y = f(x) к оси 0x при x→ ∞.

Высшая математика и экономика

Задача1 Исследовать на сходимость несобственный интеграл . Решение
Для решения вопроса о сходимости данного интеграла удобно воспользоваться предельным признаком сравнения: если и существует конечный предел то и ведут себя одинаково.
Известно, что, если , то
Для исследуемого интеграла .

При эквивалентна функции , интеграл от которой в пределах от 2 до расходится.

расходится, то, следовательно, расходится и .

Задача2

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

1 – й интеграл является несобственным. Обойдем особую точку :

Задача3
,
т.е. интеграл расходится.