Высшая математика и экономика
Неравенство определяет внешность круга с центром в начале координат и радиусом Неравенство задает внутреннюю часть двухлепестковой розы. Фигура, площадь которой требуется найти, ограничена окружностью, лепестком двухлепестковой розы и расположена в первой четверти.
Найдем пределы изменения j из системы уравнений Исключив из системы , получим уравнение На отрезке это уравнение имеет два корня:
и . Поэтому фигура, площадь которой требуется найти, в полярной системе координат определяется неравенствами
Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
Выделим полный квадрат:
Полярная система координат:
Вычислить площадь фигуры в полярных координатах
Онлайн калькулятор поможет вычислить площадь фигуры в полярных координатах, Вам пригодятся навыки построения графиков функций в полярной системе координат.
Синтаксис
основных функций:
x a : x^a
|x| : abs(x)
√x : Sqrt[x]
n √x : x^(1/n)
a x : a^x
log a x : Log[a, x]
ln x : Log[x]
cos x : cos[x] или Cos[x]
sin x : sin[x] или Sin[x]
tg : tan[x] или Tan[x]
ctg : cot[x] или Cot[x]
sec x : sec[x] или Sec[x]
cosec x : csc[x] или Csc[x]
arccos x : ArcCos[x]
arcsin x : ArcSin[x]
arctg x : ArcTan[x]
arcctg x : ArcCot[x]
arcsec x : ArcSec[x]
arccosec x : ArcCsc[x]
ch x : cosh[x] или Cosh[x]
sh x : sinh[x] или Sinh[x]
th x : tanh[x] или Tanh[x]
cth x : coth[x] или Coth[x]
sech x : sech[x] или Sech[x]
cosech x : csch[x] или Csch[е]
areach x : ArcCosh[x]
areash x : ArcSinh[x]
areath x : ArcTanh[x]
areacth x : ArcCoth[x]
areasech x : ArcSech[x]
areacosech x : ArcCsch[x]
конъюнкция «И» ∧ : &&
дизъюнкция «ИЛИ» ∨ : ||
отрицание «НЕ» ¬ : !
импликация =>
число π pi : Pi
число e : E
бесконечность ∞ : Infinity, inf или oo
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
Как считать площадь в полярных координатах
Задача 16. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах. Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже. Решение
16.8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах . Решение. Эта фигура называется трёхлепестковой розой. Она состоит из трёх одинаковых лепестков. Область определения или . Отсюда или .
Один лепесток определяется углами . Площадь одного лепестка Подставим выражение для радиуса и получим площадь одного лепестка Тогда площадь трёхлепестковой розы Итак, мы нашли площадь фигуры, заданной в полярных координатах . Ответ: .
Решебники по математике:
Решебники по физике:
Конев В.В. Определенные интегралы
Площадь плоской области 
Определенные интегралы
Геометрические приложения
Характеристики геометрических фигур (площади, длины и так далее) можно представить в виде суммы составных элементов. Например, площадь фигуры можно рассматривать как суумму площадей бесконечно малых прямоугольников, секторов или иных частей, составляющих целое. Процедура суммирования такого рода элементов и представляет собой интегрирование.
Все, что для этого требуется, это формула для соответствующей характеристики, относящаяся к бесконечно малому элементу.
Для вычисления площади S некоторой области нужно получить формулу для dS.
Длина дуги кривой l представляет собой сумму длин dl ее элементов.
Объем фигуры V равен сумме объемов dV «ломтиков» с бесконечно малыми толщинами.
- Пусть границы области заданы уравнениями линий в декартовой системе координат. Тогда для нахождения площади этой области нужно:
- разбить фигуру на бесконечно малые прямоугольники, стороны которых параллельны координатным осям;
- записать формулу для площади такого прямоугольника;
- проинтегрировать полученное выражение по соответствующему промежутку.
Рис. 1. Площадь области, ограниченной кривой y = f(x) и осью 0x от x = a до x = b.
Рис. 2. Площадь области, ограниченной линиями y = f(x) и y = g(x) от x = a до x = b.
,
то площадь этой области описывается формулой
Пусть область ограниченна графиком функции 
, заданной в полярной системе координат, и лучами 
и 
.
Рис. 3. Область, ограниченная кривой и лучами и .
Такую фигуру можно разбить на бесконечное число элементов, представляющих собой круговые секторы (см. рисунок 4).
Рис. 4. Элемент разбиения фигуры, границы которой описываются ура
Площадь кругового сектора равна половине произведения сторон на угол (выраженный в радианной мере) между ними. Стороны бесконечно узкого сектора совпадают друг с другом и равны расстоянию r от соответствующей точки кривой до начала координат. Следовательно, и