Уравнение с экспонентой как решать

Уравнения экспоненты по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Экспонента представляет собой показательную функцию \[y(x) =e^x,\] производная которой равна самой функции. Экспоненту обозначают: \[e^x, exp(x), Exp(x) \]

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1. Основанием степени экспоненты является число «е». Это иррациональное число. Оно примерно равно:

Выражение числа «е» через предел последовательности. Число «е» можно выразить через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:

Выражение числа е в виде ряда

\[e = 2+1/2!+1/3!+1/3!+ \cdots +1/n!+ \cdots \]

На графике представлена экспонента, \[e\] в степени \[x:\]

На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Что касается основных формул, то они такие же, как и для показательной функции с основанием степени \[е.\]

Выражение показательной функции через экспоненту:

Где можно решить уравнение с экспонентой онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Логарифмические уравнения и неравенства

Математики иногда скучают. Иначе как объяснить то, что для понимания этой пугающей многих учеников темы, нужно запомнить единственный факт: «Степень числа и логарифм — разная запись одного и того же математического события». В этой статье мы ближе познакомимся с логарифмами и увидим, что ничего экстремально сложного в них на самом деле нет.

Понятие логарифма

Математика очень интересная наука, действия в которой можно повернуть в обе стороны. Например, возведение в степень и извлечение корня — одно и то же действие, но совершаемое «в разные направления». Это как шарик-маятник, который качается туда-сюда.

Однако помимо извлечения корня степень числа имеет еще одно противодействие: это логарифм. Разберемся, чем же они отличаются.

Итак, извлекая корень, мы находим первоначальное число, которое возвели в степень. Например, если мы вычислим, чему равно \(4^3\), то получим 64. А если извлечем \(\sqrt[3]\), то получим число, которое возводили в степень. Иными словами, извлекая корень, мы находим основание степени.

Но что, если мы знаем основание степени и число, полученное при возведении, но при этом не знаем показатель степени? Можем ли мы как-нибудь найти, в какую именно степень возвели то или иное число?

Ответ: да! Для этого и существуют логарифмы. Логарифм отвечает на вопрос: «В какую степень возвести число a, чтобы получилось число b?»

Например, мы возвели двойку в неизвестную степень и получили 4:

Зададим вопрос: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получился такой результат? Ответ приходит сразу — это 2:

Эту же операцию можно записать значительно короче, если использовать логарифм. Запись будет выглядеть так:

Если понятие «степень» все еще звучит устрашающе, мы написали для вас статью «Действия с натуральными числами».

А теперь внедрим в нашу статью немного научности. Что такое логарифм во вселенной математики?

Логарифм — это число, в которое нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

У каждого элемента любой математической функции есть название. Как называются элементы логарифма?

Снова вспомним корни. Корень степени 2 мы записываем без показателя степени, например, \(\sqrt\). Это связано с его распространенностью и «особенностью». Так и в логарифмах существуют свои «краткие записи», применяемые для «особенных» логарифмов. Такими логарифмами являются десятичный и натуральный. Рассмотрим их чуть подробнее.

Десятичный логарифм — это логарифм числа по основанию 10.

Например, нам нужно узнать, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 100. То есть мы находим \(log_100=2\). Аналогично \(log_1000=3\) или \(log_100000=5\).

Для сокращения записи мы не пишем основание, а само название логарифма немного меняем. Выглядит запись десятичного логарифма следующим образом:

Запись такого логарифма нужно просто запомнить. Но не будет и ошибкой, если записать обычным способом.

Что же с натуральным логарифмом? Аналогично десятичному, в его основании стоит особое число — экспонента.

Экспонента — это такая математическая константа, постоянная (как, например, ускорение свободного падения в физике), которая примерно равна 2,72.

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию е (e ≈ 2,72).

Такой логарифм тоже имеет «свою» запись, которую нужно запомнить:

У натурального логарифма в основании стоит число e, которое называется числом Эйлера. На самом деле, это иррациональное число, которое имеет бесконечное количество знаков после запятой, но мы ограничиваемся краткой записью 2,72. Число e играет важную роль во многих разделах математики.

Экспонента — это показательная функция \(y=e^x\), где \(e\) — число Эйлера, равное примерно 2,72.

Особенность такой функции в том, что число Эйлера многократно умножается на само себя, а значит, неравномерно увеличивается. Примером такого увеличения может быть падение камушка: чем дольше он летит, тем выше его скорость. Другим примером может быть сложный процент, когда сумма вклада или долга увеличивается каждый год на определенное число процентов (про сложные проценты можно узнать в статье «Финансовые задачи. Проценты»). Такой рост называют ростом по экспоненте.

На самом деле, экспонента имеет множество интересных свойств, например, ее производная равна ей самой.

Нельзя обходить такую важную тему, как логарифмы, стороной. Они часто встречаются в заданиях 5, 12 и 14 профильного ЕГЭ по математике или в №17 ЕГЭ по базовой математике. При умелом использовании их свойств можно упростить выражение или заменить запись логарифма на более удобную.

Рассмотрим пример задания из номера 5 первой части ЕГЭ по профильной математике.

Найдите корень уравнения \(log_5(x+121)=4\).

Решение. Немного изменим запись: если возвести 5 в степень 4, то мы получим \(x+121\). Значит, мы можем составить и решить уравнение:

Ответ: 504

Может возникнуть вопрос: неужели при решении каждого логарифмического уравнения или неравенства придется прибегать к «переформулировке»? На самом деле, нет, ведь для упрощения решений существуют свои правила, а главное, свойства логарифмов. Рассмотрим их чуть подробнее.

Основное логарифмическое тождество

Итак, какими свойствами обладает логарифм? Начнем с одного из самых важных, а именно — основного логарифмического тождества.

Возможно, вас смутило, что логарифм стоит в степени числа. На самом деле, логарифм — это тоже какое-то число, просто в другой записи. Так, \(3^2\) и \(3^=32\) — одно и то же число, но в разных записях.

Разберемся чуть подробнее, как работает тождество. Путь \(a=2, b=4\). Тогда получаем запись:

Решим отдельно левую часть:

Получаем, что тождество верно. Но почему это так работает?

Заметим, что при вычислении логарифма мы получаем значение степени x, в которую должны возвести основание а, чтобы получить аргумент b.

\(log_ab=x\), тогда \(a^x=b\)

После этого мы снова возводим то же основание а в ту же степень, и снова получаем аргумент b. То есть делаем одно и то же действие дважды.

Следовательно, это тождество позволяет сократить вычисление на несколько шагов. Важно: оно будет работать только в случае, когда основания степени и логарифма будут совпадать. Тогда совпадут и аргумент с ответом.

Рассмотрим, почему это не работает при несовпадающих основаниях. Для этого найдем значение выражения \(3^\). Итак, \(log_24=2\), значит, мы получаем выражение \(3^2=9\). Очевидно, что \(9\neq4\), соответственно, применить основное тождество логарифмов мы здесь не можем (поскольку \(3\neq2\)).

Данное тождество часто используется для преобразований.

Свойства логарифмов

Логарифмы, как и числа, можно складывать, умножать и делать множество действий с ними. Как не запутаться в них, не производить лишних вычислений и не ошибиться? Для этого нужно хорошо знать все свойства, которые представлены в таблице ниже. Каждое из рассмотренных в таблице свойств можно использовать для преобразований.

Рассмотрим каждое свойство чуть подробнее.

Свойство 1. \(log_ab^m=m*log_ab\).

Попробуем найти значение выражения \(log_28^2\) без применения свойства. Тогда возведем аргумент в степень и получим:

Воспользовавшись определение логарифма, заметим, что \(log_264=6\).
Но что делать, если числа окажутся большими, или, более того, у логарифма не будет точного значения — примером такого логарифма может служить \(log_57\). Да и вычисление в несколько действий с большими числами может занять много времени.

Именно поэтому мы применяем это свойство!

Свойство 2. \(log_b=\frac*log_ab\)

Рассмотрим на примере логарифма \(log_4\). Посчитаем без свойства:

• в первом свойстве мы увеличивали аргумент логарифма (то есть конечный результат, который получается при возведении числа в степень);
• в этот раз мы увеличиваем уже число, которое возводим в степень.

Следовательно, когда мы будем производить «обратные» действия, то есть считать логарифм, то при увеличении основания степени (и сохранении результата возведения в степень), у нас должна уменьшиться сама степень, в которую мы возводим.

Именно поэтому у нас появляется дробь: она уменьшает степень во столько раз, во сколько мы увеличили первоначальное число:

Свойство 3. \(log_b^m=\frac*log_ab\)

Это свойство вытекает из двух предыдущих, просто их соединили вместе. Иначе пришлось бы отдельно выносить степень из аргумента и отдельно из основания логарифма. Сравните:

Свойство 4. \(log_ab+log_ac=log_a(b*c)\)

Найдем значение выражения \(log_24+log_28\):

Но в случае, когда числа не будут так легко считаться (или вовсе не будут считаться), на помощь придет это свойство:

Свойство 5. \(log_ab-log_ac=log_a\frac\)

Аналогично с предыдущим свойством это нужно для упрощения вычислений.

Свойства 6 и 7. \(log_aa=1\) и \(log_a1=0\)

Эти свойства напрямую связаны с возведением числа в степень. Достаточно лишь ответить на два вопроса:

• В какую степень нужно возвести число, чтобы получилось такое же число?
• В какую степень нужно возвести любое число, чтобы получить 1?

Ответы на эти вопросы будут 1 и 0. Отсюда и эти свойства:

• Число в степени 1 будет равно само себе: \(log_aa=1\).
• Число в степени 0 будет равно 1: \(log_a1=0\).

Свойство 8. \(log_ab=\frac\)

Это свойство используется в случаях, когда нам нужно представить логарифм с любым другим основанием.

Это свойство может пригодиться в решении уравнений и неравенств для упрощения выражений.

Свойство 9. \(log_ab=\frac\)

Что делать, если нам нужно представить логарифм с определенным основанием, которое равно аргументу этого логарифма? Все просто: мы можем поменять основание и аргумент местами, если воспользуемся свойством \(log_ab=\frac\).

Заметим, что это же выражение можно было решить немного по-другому:

В этом случае мы воспользовались свойствами 2 и 6.

Еще одно свойство, которое позволяет изменить аргумент логарифма, и при этом не менять значение выражения.

Рассмотрим на примере \(2^\):

Для более простого запоминания свойств логарифмов предлагаем вам воспользоваться нашими забавными ассоциациями.

Теперь, когда мы знаем свойства логарифмов, мы можем перейти к более сложным преобразованиям — к решениям уравнений и неравенств.

Простейшие логарифмические уравнения

В других статьях мы уже рассматривали разные виды уравнений: линейные, квадратные, показательные и т.п. Настало время узнать про логарифмические уравнения.

Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная стоит в аргументе или основании логарифмов.

Иными словами, если в уравнении мы видим логарифм с неизвестной — это логарифмическое уравнение.

Например, \(log_2x=4\) — логарифмическое уравнение.

А вот \(log_25+x=x^2\) не будет логарифмическим уравнением, поскольку неизвестная не стоит ни в аргументе, ни в основании логарифма.

Как решать логарифмические уравнения?
Логарифмическое уравнение нужно привести к такому виду:

При решении таких уравнений нужно обязательно учитывать, что по определению аргумент логарифма всегда должен быть больше нуля, а основание больше нуля и не должно равняться единице. Эти ограничения называются областью допустимых значений или ОДЗ логарифма.

Область допустимых значений — это те значения, которые может принимать переменная x (или другая буква латинского алфавита) в выражении.

\(log_ab\)
ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 0, b> 0.

Это можно сделать, приравняв аргументы. Почему мы можем так сделать? Представим, что мы возводим некоторое число в степень, это число будет стоять в основании логарифма. Если два логарифма равны, то и степени, в которые мы возвели число, равны. Следовательно, будет равен и результат возведения в степень, то есть аргумент логарифма!

Тогда пусть \(log_ab=log_ac\)
\(x=log_ac\)
\(a^x=c => b=c\)

При этом проверить ОДЗ можно только у одного из логарифмов, поскольку если один из них положителен, а второй равен первому, то и второй будет положительным.

Например, если b=2, то из равенства b=c получаем c=b=2.

В логарифмических уравнениях встречаются более сложные выражения, которые в дальнейшем мы будем выражать в виде функций — например, f(x) или g(x).

Алгоритм решения логарифмического уравнения:

1. Написать ОДЗ.
2. Упростить выражения слева и справа от знака равенства, используя свойства логарифмов, если это возможно.
3. Если основания логарифмов одинаковые, избавиться от логарифмов. В противном случае — используя свойства логарифмов, привести к одинаковому основанию, а уже потом совершить эти действия.
4. Решить уравнение и сравнить с ОДЗ, выписать в ответ корни.

Рассмотрим на примере:

1. В первую очередь найдем ОДЗ. Для этого вспомним, что аргумент логарифма всегда строго положителен:

Найдем возможные значения х:

Нанесем найденные промежутки на числовую прямую и определим, какие значения может принимать х. Для этого нам нужно будет найти промежутки, которые удовлетворяют обоим неравенствам:

Теперь мы можем определить ОДЗ: \(x \in(\frac;+<\infty>)\)

1. Если в обеих частях уравнения находится логарифм по одинаковому основанию, то можно «скинуть» логарифмы и записать равенство аргументов. Поскольку и у первого, и у второго логарифма основания равны 2, то мы можем приравнять их аргументы:

1. Решим полученное уравнение:

1. Подставим в ОДЗ и проверим, подходит ли корень. Поскольку \(3>\frac\), то корень нам подходит.

Ответ: 3.

А теперь немного усложним задачу. Допустим, переменная будет стоять и в основании, и в аргументе логарифма.

Рассмотрим еще одно уравнение:

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма всегда строго больше 0, а основание больше 0 и не равно 1. Тогда получаем следующие неравенства для аргументов логарифмов:

И для оснований логарифмов:

Теперь отметим все ограничения на числовой прямой и найдем, чему равна ОДЗ:

Поскольку нам нужно, чтобы ограничение удовлетворяло всем полученным неравенствам и уравнениям, то \(x\in(4;+<\infty>)\).

1. Теперь перейдем к решению самого уравнения. По свойствам логарифма (свойства 4 и 6) преобразуем правую часть уравнения:

1. Чтобы отбросить логарифмы и перейти к уравнению с аргументами, необходимо, чтобы их основания были равны. Поскольку основание левого логарифма равно 2, то представим правую часть в виде логарифма с таким же основанием 2:

1. Отбросим логарифмы и перейдем к уравнению с ними:

Поскольку \(6>4\), то корень принадлежит ОДЗ, а значит, его можно записать в ответ.

Ответ: 6.

Мы разобрали уравнения с логарифмами. Остался вопрос: а как решать неравенства с ними?

Простейшие логарифмические неравенства

Логарифмическое неравенство — это неравенство, в котором переменная стоит в аргументе или основании логарифма.

Для решения логарифмических неравенств тоже можно избавляться от логарифмов.

Делается это уже известным способом — если основания равны, то можно перейти к неравенству с аргументами. При этом нужно обращать внимание на основание логарифма.

Разберемся, почему это так работает. Рассмотрим два примера:

Как можно увидеть, если основание логарифма меньше 1, то результат вычислений отрицательный (в случае, если аргумент больше 1). Это связано с тем, что при возведении дробного числа в степень, большую 1, это число только уменьшается, например:

Но если мы возведем такое число в отрицательную степень, то получим больший результат:

Именно поэтому ради избежания путаницы со знаками, при отбрасывании логарифмов с основанием \(0

А теперь чуть подробнее рассмотрим, как действовать с логарифмическими неравенствами:

Алгоритм решения логарифмического неравенства:

1. Написать ОДЗ.
2. Упростить выражения слева и справа от знака неравенства, используя свойства логарифмов, если это возможно.
3. Если основания логарифмов одинаковые, избавиться от логарифмов по схеме выше. В противном случае — используя свойства логарифмов, привести к одинаковому основанию, а уже потом совершить эти действия.
4. Решить неравенство, пересечь с ОДЗ, записать ответ.

Обратим ваше внимание еще раз. Решая как логарифмические уравнения, так и неравенства, можно разогнаться слишком сильно и вылететь с дороги…

Чтобы такого не случилось, есть специальный ограничитель неправильных ответов — ОДЗ.

Логарифмические неравенства могут встретиться в номере 14 ЕГЭ по профильной математике. Рассмотрим один из их примеров:

Решите неравенство: \(log_3^2x-10log_3x\geq-21\)

Решение. Первым делом, найдем ОДЗ. Поскольку переменная стоит только в аргументе логарифма, то и ограничения вводим лишь на аргумент:
\(x>0\)

Перейдем к решению. Заметим, что \(log_3x\) — повторяющееся выражение, а значит, мы можем сделать замену.

Обратим внимание, что у первого логарифма степень стоит именно у логарифма, а не у аргумента.

Пусть \(log_3x=t\), тогда:
\(t^2-10t\geq-21\)
\(t^2-10t+21\geq0\)

Теперь слева у нас получилось квадратное неравенство. Для его решения найдем нули функции, приравняв левую часть к 0:
\(t^2-10t+21=0\)

Воспользуемся методом интервалов (подробнее об этом методе можно прочитать в одноименной статье). Отметим корни на числовой прямой, расставим знаки и найдем промежутки:

Сделаем обратную замену:

Представим правые части неравенства в виде логарифмов с основанием 3:

Теперь у нас справа и слева логарифмы с одинаковым основанием, соответственно, мы можем отбросить логарифмы и перейти к неравенствам с аргументами. Поскольку 3>1, то знаки неравенства менять не нужно:

Отметим на числовой прямой полученные промежутки, а также нанесем ОДЗ:

С учетом ОДЗ получаем промежутки: \((0;27]\bigcup[2187;+<\infty>)\). Это и будет ответ.

Ответ: \((0;27]\bigcup[2187;+<\infty>)\)

Теперь давайте рассмотрим решение неравенства с основанием, которое меньше 1.

Шаг 1. Напишем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше 0, поэтому получаем два неравенства:

Шаг 2. Преобразуем правую часть. Для этого воспользуемся свойством логарифмов и вынесем степень аргумента перед логарифмом.

Поскольку степень положительная, то мы должны поставить аргумент в модуль, чтобы не потерять отрицательные значения:

Шаг 3. Раскроем модуль. По ОДЗ мы получили, что x>0, а значит, мы можем убрать модуль, поскольку под ним всегда будет стоять положительное число:

Шаг 4. Перенесем одно слагаемое влево и упростим:

Представим правую часть в виде логарифма с основанием \(\frac\):

Шаг 6. Отметим полученный промежуток на числовой прямой и нанесем ОДЗ:

С учетом ОДЗ получаем промежуток \((0;\frac]\).

Ответ: \((0;\frac]\)

Мы рассмотрели логарифмы, уравнения и неравенства с ними. Научиться решать их не так сложно. Практикуйтесь побольше, тогда все обязательно получится. А чтобы продолжить освоение математической науки, рекомендуем вам познакомиться со статьей «Тригонометрическая окружность и графики функций».

Термины

Дискриминант в квадратном уравнении — это выражение, которое ищется по формуле \(D=b^2-4⋅a⋅c\), где а, b и с берутся из уравнения. Подробнее о нем рассказано в статье «Линейные, квадратные и кубические уравнения».

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби, то есть они не имеют точного значения.

Квадратное неравенство — это такое неравенство, которое можно привести к виду \(ax^2+bx+c ⋁ 0\), где a, b и с — любые числа (причем a ≠ 0), x — неизвестная переменная, а ⋁ — любой из знаков сравнения (> , < , ≤ , ≥ ). Решение таких неравенств мы обсуждаем в статье «Метод интервалов».

Модуль числа — это его абсолютная величина. При взятии модуля мы не учитываем знак этого числа — положительное оно или отрицательное. Модуль числа всегда неотрицателен и обозначается с помощью модульных скобок: |a| ≥ 0. Этому математическому понятию посвящена отдельная статья Учебника.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Показательная функция — это функция, у которой неизвестная находится в показателе степени. Например, \(y = 2^x\). Подробнее о ней мы рассказываем в одноименной статье.

Производная функции — это математическое понятие, показывающее скорость изменения функции в определенной точке. Подробнее про производные можно прочесть в статье «Исследование функции с помощью производной».

Фактчек

• Логарифм — это степень, в которую возводится основание логарифма, чтобы получить аргумент.

• Десятичный логарифм — это логарифм числа по основанию 10. Записывается так: lg a.
• Натуральный логарифм — это логарифм по основанию е (e ≈ 2,72). Записывается как ln a.
• Основное логарифмическое тождество: \(a^=b\), при \(a >0, a ≠ 1, b>0\).
• Существуют специальные свойства логарифмов, благодаря которым можно совершать преобразования.
• При решении уравнений и неравенств нельзя забывать про ОДЗ на аргумент и основание логарифма: основание больше нуля и не равно единице, аргумент больше нуля.
• В логарифмических неравенствах при переходе к неравенству аргументов логарифмов знак меняется на противоположный, если значение основания логарифма находится на промежутке от 0 до 1.

Проверь себя

Задание 1.
Решите уравнение \(log_3(x^2+4)=log_3(4x)\).

Задание 2.
Решите уравнение \(log_28=log_(x)+2\).

Задание 3.
Решите уравнение \(log_2(2x^2)-5=log_2(x) +log_2(x-5)\).

Задание 4.
Решите неравенство \(log_9(x+4)\geq log_9(2x)^2\).

1. \([-\frac;0)\bigcup(0;4]\)
2. \((0;4]\)
3. \([-\frac;0)\)
4. \([-\frac;4]\)

Задание 5.
Решите неравенство \(log_500\geq log_2(1+3x)\).

Ответы:1. — 3; 2. — 1; 3. — 4; 4. — 1; 5. — 2.

Что такое показательное уравнение и как его решать

Этот урок предназначен для тех, кто только начинает изучать показательные уравнения. Как всегда, начнём с определения и простейших примеров.

Если вы читаете этот урок, то я подозреваю, что вы уже имеете хотя бы минимальное представление о простейших уравнениях — линейных и квадратных: $56x-11=0$; $^>+5x+4=0$; $^>-12x+32=0$ и т.д. Уметь решать такие конструкции совершенно необходимо для того, чтобы не «зависнуть» в той теме, о которой сейчас пойдёт речь.

Итак, показательные уравнения. Сразу приведу парочку примеров:

Какие-то из них могут показаться вам более сложными, какие-то — напротив, слишком простыми. Но всех их объединяет один важный признак: в их записи присутствует показательная функция $f\left( x \right)=>$. Таким образом, введём определение:

Ну хорошо. С определением разобрались. Теперь вопрос: как всю эту хрень решать? Ответ одновременно и прост, и сложен.

Начнём с хорошей новости: по своему опыту занятий с множеством учеников могу сказать, что большинству из них показательные уравнения даются намного легче, чем те же логарифмы и уж тем более тригонометрия.

Но есть и плохая новость: иногда составителей задач для всевозможных учебников и экзаменов посещает «вдохновение», и их воспалённый наркотиками мозг начинает выдавать такие зверские уравнения, что решить их становится проблематично не только ученикам — даже многие учителя на таких задачах залипают.

Впрочем, не будем о грустном. И вернёмся к тем трём уравнениям, которые были приведены в самом начале повествования. Попробуем решить каждое из них.

Первое уравнение: $^>=4$. Ну и в какую степень надо возвести число 2, чтобы получить число 4? Наверное, во вторую? Ведь $^>=2\cdot 2=4$ — и мы получили верное числовое равенство, т.е. действительно $x=2$. Что ж, спасибо, кэп, но это уравнение было настолько простым, что его решил бы даже мой кот.:)

Посмотрим на следующее уравнение:

А вот тут уже чуть сложнее. Многие ученики знают, что $^>=25$ — это таблица умножения. Некоторые также подозревают, что $^>=\frac$ — это по сути определение отрицательных степеней (по аналогии с формулой $>=\frac>>$).

Наконец, лишь избранные догадываются, что эти факты можно совмещать и на выходе получить следующий результат:

Таким образом, наше исходное уравнение перепишется следующим образом:

А вот это уже вполне решаемо! Слева в уравнении стоит показательная функция, справа в уравнении стоит показательная функция, ничего кроме них нигде больше нет. Следовательно, можно «отбросить» основания и тупо приравнять показатели:

Получили простейшее линейное уравнение, которое любой ученик решит буквально в пару строчек. Ну ладно, в четыре строчки:

Если вы не поняли, что сейчас происходило в последних четырёх строчках — обязательно вернитесь в тему «линейные уравнения» и повторите её. Потому что без чёткого усвоения этой темы вам рано браться за показательные уравнения.

Со всеми остальными мы идём дальше. На очереди третье уравнение:

Ну и как такое решать? Первая мысль: $9=3\cdot 3=^>$, поэтому исходное уравнение можно переписать так:

Затем вспоминаем, что при возведении степени в степень показатели перемножаются:

Ну а дальше вообще всё стандартно:

И вот за такое решение мы получим честно заслуженную двойку. Ибо мы с невозмутимостью покемона отправили знак «минус», стоящий перед тройкой, в степень этой самой тройки. А так делать нельзя. И вот почему. Взгляните на разные степени тройки:

Составляя эту табличку, я уж как только не извращался: и положительные степени рассмотрел, и отрицательные, и даже дробные. ну и где здесь хоть одно отрицательное число? Его нет! И не может быть, потому что показательная функция $y=>$, во-первых, всегда принимает лишь положительные значения (сколько единицу не умножай или не дели на двойку — всё равно будет положительное число), а во-вторых, основание такой функции — число $a$ — по определению является положительным числом!

Ну и как тогда решать уравнение $^>=-3$? А никак: корней нет. И в этом смысле показательные уравнения очень похожи на квадратные — там тоже может не быть корней. Но если в квадратных уравнениях число корней определяется дискриминантом (дискриминант положительный — 2 корня, отрицательный — нет корней), то в показательных всё зависит от того, что стоит справа от знака равенства.

Это знание ещё неоднократно поможет нам, когда придётся решать более сложные задачи. А пока хватит лирики — пора изучить основной алгоритм решения показательных уравнений.

Как решать показательные уравнения

Итак, сформулируем задачу. Необходимо решить показательное уравнение:

Согласно «наивному» алгоритму, по которому мы действовали ранее, необходимо представить число $b$ как степень числа $a$:

Кроме того, если вместо переменной $x$ будет стоять какое-либо выражение, мы получим новое уравнение, которое уже вполне можно решить. Например:

И как ни странно, эта схема работает примерно в 90% случаев. А что тогда с остальными 10%? Остальные 10% — это немного «шизофреничные» показательные уравнения вида:

Ну и в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 3? В первую? А вот и нет: $^>=2$ — маловато. Во вторую? Тоже нет: $^>=4$ — многовато. А в какую тогда?

Знающие ученики уже наверняка догадались: в таких случаях, когда «красиво» решить не получается, к делу подключается «тяжёлая артиллерия» — логарифмы. Напомню, что с помощью логарифмов любое положительное число можно представить как степень любого другого положительного числа (за исключением единицы):

\[a=^<<<\log >_>a>>,\quad a \gt 0,\quad 1\ne b \gt 0\]

Помните эту формулу? Когда я рассказываю своим ученикам про логарифмы, то всегда предупреждаю: эта формула (она же — основное логарифмическое тождество или, если угодно, определение логарифма) будет преследовать вас её очень долго и «всплывать» в самых неожиданных местах. Ну вот она и всплыла. Давайте посмотрим на наше уравнение и на эту формулу:

Если допустить, что $a=3$ — наше исходное число, стоящее справа, а $b=2$ — то самое основание показательной функции, к которому мы так хотим привести правую часть, то получим следующее:

Получили немного странный ответ: $x=<<\log >_>3$. В каком-нибудь другом задании многие при таком ответе засомневались бы и начали перепроверять своё решение: вдруг там где-то закралась ошибка? Спешу вас обрадовать: никакой ошибки здесь нет, и логарифмы в корнях показательных уравнений — вполне типичная ситуация. Так что привыкайте.:)

Теперь решим по аналогии оставшиеся два уравнения:

Вот и всё! Кстати, последний ответ можно записать иначе:

Это мы внесли множитель в аргумент логарифма. Но никто не мешает нам внести этот множитель в основание:

При этом все три варианта являются правильными — это просто разные формы записи одного и того же числа. Какой из них выбрать и записать в настоящем решении — решать только вам.

Ну и как такое решать? Это вообще можно решить? И если да, то как?

Без паники. Все эти уравнения быстро и просто сводятся к тем простым формулам, которые мы уже рассмотрели. Нужно лишь знать вспомнить парочку приёмов из курса алгебры. Ну и конечно, здесь никуда без правил работы со степенями. Обо всём этом я сейчас расскажу.:)

Преобразование показательных уравнений

Первое, что нужно запомнить: любое показательное уравнение, каким бы сложным оно ни было, так или иначе должно сводиться к простейшим уравнениям — тем самым, которые мы уже рассмотрели и которые знаем как решать. Другими словами, схема решения любого показательного уравнения выглядит следующим образом:

1. Записать исходное уравнение. Например: $^>+^>=^>-11$;
2. Сделать какую-то непонятную хрень. Или даже несколько хреней, которые называются «преобразовать уравнение»;
3. На выходе получить простейшие выражения вида $^>=4$ или что-нибудь ещё в таком духе. Причём одно исходное уравнение может давать сразу несколько таких выражений.

С первым пунктом всё понятно — записать уравнение на листик сможет даже мой кот. С третьим пунктом тоже, вроде, более-менее ясно — мы такие уравнения уже целую пачку нарешали выше.

Но как быть со вторым пунктом? Что за преобразования? Что во что преобразовывать? И как?

Что ж, давайте разбираться. Прежде всего, отмечу следующее. Все показательные уравнения делятся на два типа:

1. Уравнение составлено из показательных функций с одним и тем же основанием. Пример: $^>+^>=^>-11$;
2. В формуле присутствуют показательные функции с разными основаниями. Примеры: $^>\cdot ^>=^>$ и $^>\cdot ^>=0,09$.

Начнём с уравнений первого типа — они решаются проще всего. И в их решении нам поможет такой приём как выделение устойчивых выражений.

Выделение устойчивого выражения

Давайте ещё раз посмотрим на это уравнение:

Что мы видим? Четвёрка возводится в разные степени. Но все эти степени — простые суммы переменной $x$ с другими числами. Поэтому необходимо вспомнить правила работы со степенями:

Проще говоря, сложение показателей можно преобразовать в произведение степеней, а вычитание легко преобразуется в деление. Попробуем применить эти формулы к степеням из нашего уравнения:

Перепишем исходное уравнение с учётом этого факта, а затем соберём все слагаемые слева:

В первых четырёх слагаемых присутствует элемент $^>$ — вынесем его за скобку:

Осталось разделить обе части уравнения на дробь $-\frac$, т.е. по существу умножить на перевёрнутую дробь — $-\frac$. Получим:

Вот и всё! Мы свели исходное уравнение к простейшему и получили окончательный ответ.

При этом в процессе решения мы обнаружили (и даже вынесли за скобку) общий множитель $^>$ — это и есть устойчивое выражение. Его можно обозначать за новую переменную, а можно просто аккуратно выразить и получить ответ. В любом случае, ключевой принцип решения следующий:

Найти в исходном уравнении устойчивое выражение, содержащее переменную, которое легко выделяется из всех показательных функций.

Хорошая новость состоит в том, что практически каждое показательное уравнение допускает выделение такого устойчивого выражения.

Но есть и плохая новость: подобные выражения могут оказаться весьма хитрыми, и выделить их бывает довольно сложно. Поэтому разберём ещё одну задачу:

Возможно, у кого-то сейчас возникнет вопрос: «Паша, ты что, обкурился? Здесь же разные основания — 5 и 0,2». Но давайте попробуем преобразовать степень с основание 0,2. Например, избавимся от десятичной дроби, приведя её к обычной:

Как видите, число 5 всё-таки появилось, пускай и в знаменателе. Заодно переписали показатель в виде отрицательного. А теперь вспоминаем одно из важнейших правил работы со степенями:

Тут я, конечно, немного слукавил. Потому что для полного понимания формулу избавления от отрицательных показателей надо было записать так:

С другой стороны, ничто не мешало нам работать с одной лишь дробью:

Но в этом случае нужно уметь возводить степень в другую степень (напомню: при этом показатели складываются). Зато не пришлось «переворачивать» дроби — возможно, для кого-то это будет проще.:)

В любом случае, исходное показательное уравнение будет переписано в виде:

Вот и получается, что исходное уравнение решается даже проще, чем ранее рассмотренное: тут даже не надо выделять устойчивое выражение — всё само сократилось. Осталось лишь вспомнить, что $1=^>$, откуда получим:

Вот и всё решение! Мы получили окончательный ответ: $x=-2$. При этом хотелось бы отметить один приём, который значительно упростил нам все выкладки:

В показательных уравнениях обязательно избавляйтесь от десятичных дробей, переводите их в обычные. Это позволит увидеть одинаковые основания степеней и значительно упростит решение.

Перейдём теперь к более сложным уравнениям, в которых присутствуют разные основания, которые вообще не сводятся друг к другу с помощью степеней.

Использование свойства степеней

Напомню, что у нас есть ещё два особо суровых уравнения:

Основная сложность тут — непонятно, что и к какому основанию приводить. Где устойчивые выражения? Где одинаковые основания? Ничего этого нет.

Но попробуем пойти другим путём. Если нет готовых одинаковых оснований, их можно попробовать найти, раскладывая имеющиеся основания на множители.

Начнём с первого уравнения:

Но ведь можно поступить наоборот — составить из чисел 7 и 3 число 21. Особенно это просто сделать слева, поскольку показатели и обеих степеней одинаковые:

Вот и всё! Вы вынесли показатель степени за пределы произведения и сразу получили красивое уравнение, которое решается в пару строчек.

Теперь разберёмся со вторым уравнением. Тут всё намного сложнее:

Прежде всего, сделаем то, что я рекомендовал ещё в самом начале урока — избавимся от десятичной дроби:

В данном случае дроби получились несократимыми, но если бы что-то можно было сократить — обязательно сокращайте. Зачастую при этом появятся интересные основания, с которыми уже можно работать.

У нас же, к сожалению, ничего особо не появилось. Зато мы видим, что показатели степеней, стоящий в произведении слева, противоположны:

Напомню: чтобы избавиться от знака «минус» в показателе, достаточно просто «перевернуть» дробь. Что ж, перепишем исходное уравнение:

Во второй строчке мы просто вынесли общий показатель из произведения за скобку по правилу $>\cdot ^>=<<\left( a\cdot b \right)>^>$, а в последней просто умножили число 100 на дробь.

Теперь заметим, что числа, стоящие слева (в основании) и справа, чем-то похожи. Чем? Да очевидно же: они являются степенями одного и того же числа! Имеем:

Таким образом, наше уравнение перепишется следующим образом:

Дальше всё просто. При возведении степени в степень показатели перемножаются:

При этом справа тоже можно получить степень с таким же основанием, для чего достаточно просто «перевернуть» дробь:

Окончательно наше уравнение примет вид:

Вот и всё решение. Основная его идея сводится к тому, что даже при разных основаниях мы пытаемся любыми правдами и неправдами свести эти основания к одному и тому же. В этом нам помогают элементарные преобразования уравнений и правила работы со степенями.

Но какие правила и когда использовать? Как понять, что в одном уравнении нужно делить обе стороны на что-то, а в другом — раскладывать основание показательной функции на множители?

Ответ на этот вопрос придёт с опытом. Попробуйте свои силы сначала на простых уравнениях, а затем постепенно усложняйте задачи — и очень скоро ваших навыков будет достаточно, чтобы решить любое показательное уравнение из того же ЕГЭ или любой самостоятельной/контрольной работы.

А чтобы помочь вам в этом нелёгком деле, предлагаю скачать на моём сайте комплект уравнений для самостоятельного решения. Ко всем уравнениям есть ответы, поэтому вы всегда сможете себя проверить.

В общем, желаю удачной тренировки. И увидимся в следующем уроке — там мы будем разбирать действительно сложные показательные уравнения, где описанных выше способов уже недостаточно. И простой тренировки тоже будет недостаточно.:)

Смотрите также:

1. Преобразование показательных уравнений
2. Решение показательных неравенств
3. Тест по теории вероятностей (1 вариант)
4. Общая схема решения задач B15
5. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции
6. Более сложные задачи на производительность

• Вход для учеников
• ЕГЭ-2024
• Школьникам
• 1. Арифметика
• Арифметика
• Дроби
• Модуль
• Проценты
• Корни
• Степени
• Прогрессии
• Текстовые задачи
• 2. Алгебра
• Уравнения
• Системы уравнений
• Неравенства
• Системы неравенств
• Рациональные дроби
• Функции
• Многочлены
• Логарифмы
• Экспонента
• Задачи с параметром
• Вероятность
• 4. Геометрия
• Треугольники
• Многоугольники
• Окружность
• Стереометрия
• Векторы
• 3. Математический анализ
• Тригонометрия
• Предел
• Производная
• Интегралы
• Студентам
• Реклама
• Обо мне

• © 2010—2024 ИП Бердов Павел Николаевич
  ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
• При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
  Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
• Карта сайта

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Примеры решений

На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Для краткости их часто называют просто линейными уравнениями. Материал не представляет особых сложностей, главное, уметь уверенно интегрировать и дифференцировать.

Начнем с систематизации и повторения.

На что в первую очередь следует посмотреть, когда вам предложено для решения любое дифференциальное уравнение первого порядка? В первую очередь нужно проверить, а нельзя ли у данного диффура разделить переменные? Если переменные разделить можно (что, кстати, далеко не всегда очевидно), то нужно использовать алгоритмы и приемы решения, которые мы рассмотрели на первом уроке – Дифференциальные уравнения первого порядка. Советую посетить этот урок чайникам и всем читателям, которые чувствуют, что их знания и навыки в теме пока не очень хороши.

Если переменные в ДУ разделить не удалось, переходим к следующему этапу – проверяем, а не является ли уравнение однородным? Проверку обычно выполняют мысленно или на черновике, с самим алгоритмом проверки и образцами решения однородных уравнений можно ознакомиться на втором уроке – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то в 90% случаев перед вами как раз линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид:

Что мы видим?
1) В линейное уравнение входит первая производная .
2) В линейное уравнение входит произведение , где – одинокая буковка «игрек» (функция), а – выражение, зависящее только от «икс».
3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение , тоже зависящее только от «икс». В частности, может быть константой.

Примечание: разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части в часть со сменой знака.

Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные модификации линейного уравнения.

– Как уже отмечалось, выражение может быть некоторой константой (числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид:

– Выражение тоже может быть некоторой константой , тогда линейное уравнение принимает вид: . В простейших случаях константа равна +1 или –1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще: или .

– Рядом с производной может находиться множитель , зависящий только от «икс»: – это тоже линейное уравнение.

Решить дифференциальное уравнение

Решение: данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: .

Как решить линейное уравнение?

Существуют два способа решения. Первый способ – это так называемый метод вариации произвольной постоянной, если вас интересует именно он, пожалуйста, перейдите по ссылке. Второй способ связан с заменой переменной и подстановкой, иногда его называют методом Бернулли. В данной статье будет рассматриваться метод подстановки, он алгоритмически прост и понятен, и решение уравнения принимает чёткий трафаретный характер. Рекомендую начинающим.

В который раз у меня хорошая новость! Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной-единственной заменой:

, где и – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс».

Коль скоро проводится замена , то нужно выяснить, чему равна производная. По правилу дифференцирования произведения:

Подставляем и в наше уравнение :

В чём состоит задача? Необходимо найти неизвестные функции «у» и «вэ», которые зависят от «икс». И как раз этому будут посвящены все последующие действия.

После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах:

У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:

Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно:

Приравниваем к нулю то, что находится в скобках: .

Если , тогда из нашего уравнения получаем: или просто .

Уравнения записываем в систему:
.

Именно в таком порядке.

Система опять же решается стандартно.

Сначала из первого уравнения находим функцию . Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными, поэтому его решение я приведу без комментариев.

Функция найдена. Обратите внимание, что константу на данном этапе мы не приписываем.

Далее подставляем найденную функцию во второе уравнение системы :

Да тут ништяк, экспоненты сокращаются, и получается диффур, даже не простейший, а для студенток муз-педа.

Из второго уравнения находим функцию .

Функция найдена. А вот здесь уже добавляем константу .

Ха. А задача-то решена! Вспоминаем, с чего всё начиналось: .
Обе функции найдены:

Записываем общее решение:

В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса:

Ответ: общее решение

Проверка выполняется по той же технологии, которую мы рассматривали на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка.

Берём полученный ответ и находим производную:

Подставим и в исходное уравнение :

Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено правильно.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: данное уравнение имеет «классический» вид линейного уравнения. Проведем замену: и подставим и в исходное уравнение :

После подстановки проведем вынесение множителя за скобки, какие два слагаемых нужно мучить – смотрите предыдущий пример. Хотя, наверное, все уже поняли:

Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках: , автоматически получая и второе уравнение системы:

Из первого уравнения найдем функцию :

– найденную функцию подставим во второе уравнение системы :

Теперь находим функцию . Уравнение опять получилось простенькое:

Обе функции найдены:

Таким образом:
Общее решение:

Ответ: общее решение:

Желающие могут выполнить проверку, для проверки в ответе лучше предварительно раскрыть скобки.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Если у вас возникли (или возникнут) проблемы технического характера, пожалуйста, вернитесь к первому уроку Дифференциальные уравнения первого порядка.

Как видите, алгоритм решения линейного уравнения довольно прост. В чем особенность решения линейных уравнений? Особенность состоит в том, что практически всегда в ответе получается общее решение, в отличие, например, от однородных уравнений, где общее решение хорошо выражается крайне редко и ответ приходится записывать в виде общего интеграла.

Рассмотрим что-нибудь с дробями

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Решение: алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце прибавится один небольшой пунктик.

Обратите внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной форме. Этого в данном случае можно не делать, но я все-таки рекомендую всегда переписывать уравнения в привычном виде :

Данное ДУ является линейным, проведем замену:

Типовой вынос за скобки:

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :

– подставим найденную функцию во второе уравнение системы и найдем функцию :

Обе функции найдены, таким образом, общее решение:

На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Как находить частное решения для диффура первого порядка, мы очень подробно рассмотрели на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка.

В данном случае:

Ответ: частное решение:

А вот проверку частного решения еще раз повторим. Сначала проверяем, действительно ли выполняется начальное условие ?
– да, начальное условие выполнено.

Теперь берём полученный ответ и находим производную. Используем правило дифференцирования частного:

Подставим и в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, задание выполнено верно.

Найти решение задачи Коши
,

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Перейдем к рассмотрению «частных видов» линейных уравнений, о которых шла речь в начале урока.

Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения
,

Решение: в данном уравнении слагаемые опять не на своих местах, поэтому сначала пытаемся максимально близко приблизить диффур к виду :

Что здесь особенного? Во-первых, в правой части у нас константа . Это допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель , который зависит только от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей линейное уравнение не перестает быть линейным.

Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в самом начале.

Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из нужных нам слагаемых недоступно:

Вот теперь проводим вынесение множителя скобки:

Обратите внимание на тот факт, что за скобки мы вынесли не только функцию , но еще и «икс». Всё, что можно вынести за скобки – выносим.

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :

– подставим во второе уравнение системы:

Таким образом, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Найти частное решение ДУ
,

Это пример для самостоятельного решения.

Какие трудности встречаются в ходе решения линейного уравнения? Основной камень преткновения состоит в том, что может появиться довольно сложный интеграл. Как правило, неприятный интеграл появляется при нахождении функции (в то время как с нахождением функции обычно проблем не возникает).

Рассмотрим пару примеров с такими интегралами.

Найти общее решение ДУ

Решение: сначала приводим линейное уравнение к родному виду :

Уравнение кажется простым, но, как я уже отмечал, впечатление может быть обманчивым. Не редкость, когда «страшный» диффур на самом деле оказывается несложным, а «легкий» на вид диффур вызывает мучительную боль за бесцельно прожитые часы.

Составим и решим систему:
.

Из первого уравнения найдем :

– подставим найденную функцию во второе уравнение:

Такой интеграл, кстати, еще нигде не встречался в моих уроках. Он берется по частям. Вспоминаем формулу интегрирования по частям: . Но, вот незадача, буквы и у нас уже заняты, и использовать те же самые буквы в формуле – не есть хорошо. Что делать? Используем ту же формулу, но с другими буквенными обозначениями. Можно выбрать любые другие буквы, я привык записывать правило с «а» и «бэ»:

Интегрируем по частям:

Если возникли трудности или недопонимание, освежите знания на уроках Метод замены переменной и Интегрирование по частям.

Ответ: общее решение:

Давненько я не вспоминал интегрирование по частям, даже ностальгия появилась. А поэтому еще один пример для самостоятельного решения. Какой пример? Конечно же, с логарифмом! Ну а чего еще от меня можно было ожидать? =)

Найти общее решение дифференциального уравнения

В предложенном примере проявлена небольшая вольность для любознательных фанатов матана. Нет, алгоритм остался точно таким же, просто я сразу начал решать диффур, не перенеся предварительно в правую часть. Полное решение и ответ в конце урока.

В моей коллекции есть уравнения и с более трудными интегралами, но сейчас речь идет о дифференциальных уравнениях. В этой связи я намеренно не включил в урок такие задачи, все-таки интегралы изучаются в другой теме.

Надеюсь, мои примеры и объяснения были полезны, до скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 3. Решение: данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену:

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :

– подставим во второе уравнение системы:

Таким образом:
Ответ: общее решение:

Пример 5. Решение: данное уравнение является линейным неоднородным, замена:

Составим и решим систему:
.
Из первого уравнения найдем :

– подставим во второе уравнение системы:

Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Пример 7. Решение: данное уравнение является линейным неоднородным, замена:

(раскрыли только левые скобки!)

Составим и решим систему:
.
Из первого уравнения найдем :

– подставим во второе уравнение:
(Примечание: здесь использовано основное логарифмическое тождество: ).

Таким образом, общее решение:

Найдем частное, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Пример 9. Решение: данное ДУ является линейным, проведем замену:

Решим систему:

Из первого уравнения найдем :

– подставим во второе уравнение:

Интегрируем по частям:

Таким образом:
Ответ: общее решение:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено