2 что такое составное высказывание приведите пример

Что такое составное высказывание? хочется узнать сестрёнке ей 9

Из элементарных высказываний можно строить более сложные (составные) высказывания, используя связки И, ИЛИ, НЕ.

Примеры. Забор красный И забор деревянный.

Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя

Забор НЕ красный.

Смысл этих высказываний понятен.

Высказывание с И содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба эти элементарные высказывания. Если хоть одно из них ложно, — составное высказывание ложно.

Высказывание с ИЛИ тоже содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с ИЛИ истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих элементарных высказываний. Если оба эти высказывания ложны, — составное высказывание ложно.

Высказывание с НЕ содержит одно элементарное высказывание (в русском языке НЕ часто ставится в середину этого высказывания). Составное высказывание с НЕ истинно, если исходное элементарное высказывание ложно и, наоборот, если исходное высказывание истинно, то составное высказывание с НЕ ложно.

Составные высказывания можно строить не только из элементарных высказываний, но и из других составных высказываний. В этом построение составных высказываний похоже на построение алгебраических выражений. Например, понятно, что означает такое высказывание (хотя оно написано не на русском языке, а с использованием скобок J )

(Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя) И (Коля НЕ старше, чем Ваня)

Здесь 3 элементарных высказывания.

§ 4. Логические операции И и ИЛИ

Логика высказываний позволяет строить составные высказывания. Они создаются из нескольких простых высказываний путем соединения их друг с другом с помощью логических операций НЕ, И, ИЛИ и др.

4.1. Логическая операция И

Определение истинности или ложности составного высказывания зависит от того, являются ли истинными или ложными простые высказывания, входящие в его состав, а также от той логической операции, которая их связывает.

Составное высказывание А И В, образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией И, истинно тогда и только тогда, когда А и В одновременно истинны (пример 4.1 и пример 4.2).

Операцию И называют логическим умножением. Равенства 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 0 · 0 = 0, верные для обычного умножения, верны и для логического умножения.

Представим таблицу истинности для логической операции И:

А И В

Если хотя бы одно из простых высказываний, связанных операцией И, будет ложным, то и составное высказывание будет ложным.

Для записи логической операции И используют следующие обозначения: A И B, A AND B, A · B, A * B, A ∧ B, A & B.

4.2. Логическая операция ИЛИ

Составное высказывание А ИЛИ В, образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией ИЛИ, ложно тогда и только тогда, когда А и В одновременно ложны (пример 4.3).

Другими словами, составное высказывание А ИЛИ В будет истинным, если истинно хотя бы одно из двух составляющих его простых высказываний (пример 4.4).

Таблица истинности для логической операции ИЛИ имеет следующий вид:

Операцию ИЛИ называют логическим сложением. Равенства 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, верные для обычного сложения, верны и для логического сложения.

Для записи логической операции ИЛИ можно использовать следующие выражения: A ИЛИ B, A OR B, A + B, A ∨ B, A | B.

Если в логическом выражении присутствует несколько логических операций, то важно определить порядок их выполнения. Наивысшим приоритетом обладает операция НЕ. Логическая операция И, т. е. логическое умножение, выполняется раньше операции ИЛИ — логического сложения (пример 4.5* и пример 4.6*).

Для изменения порядка выполнения логических операций используют скобки: в этом случае сначала выполняются операции в скобках, а затем — все остальные.

Логические операции И и ИЛИ подчиняются переместительному закону:

A И B = B И A ;

A ИЛИ B = B ИЛИ A .

Чтобы определить значение составного логического выражения, иногда достаточно знать значение только одного простого высказывания.

Так, если в составном высказывании с операцией И значение хотя бы одного простого высказывания является ложным, то и значение составного высказывания будет ложным. Если в составном высказывании с операцией ИЛИ значение хотя бы одного простого будет истинным, то и значение составного высказывания будет истинным (пример 4.7).

Данное высказывание является составным, поскольку оно содержит два простых высказывания:

«Число 456 трехзначное» (высказывание А) и «Число 456 четное» (высказывание В). Высказывания А и В соединены вместе логической операцией И, в результате получено составное высказывание А И B. Высказывание А истинно, высказывание В истинно. Поэтому высказывание А И B истинно: (А И B) = 1.

Пример 4.2. Высказывание А: «Геракл — герой древнегреческой мифологии». Истинно, А = 1.

Высказывание В: «Геракл — сын бога Зевса». Истинно, B = 1.

Высказывание А И В: «Геракл — герой древнегреческой мифологии И сын бога Зевса». Истинно, (А И В) = 1.

Пример 4.3. Проанализируем высказывание «Семиклас-сники изучают философию или астрономию».

Данное составное высказывание образовано из двух простых высказываний: «Семиклассники изучают философию» (высказывание А), «Семиклас-сники изучают астрономию» (высказывание В), которые связаны логической операцией ИЛИ. В результате получилось составное высказывание А ИЛИ B. Высказывание А ложно, высказывание В ложно. Поэтому высказывание А ИЛИ B ложно: (А ИЛИ B) = 0.

Пример 4.4. Высказывание А: «Франциск Скорина — белорусский первопечатник». Истинно, А = 1.

Высказывание В: «Стефан Баторий — турецкий султан». Ложно, B = 0.

Высказывание «Франциск Скорина — белорусский первопечатник, ИЛИ Стефан Баторий — турецкий султан» будет истинным, (А ИЛИ В) = 1.

Пример 4.5*.
Рассмотрим выражение: А ИЛИ B И НЕ С. Распишем по действиям вычисление значения логического выражения:

Значение высказывания F, полученное в 3-м действии, определит значение исходного логического выражения.

Пример 4.6*.
Пусть высказывание А = 1, B = 0, С = 0. Найдем значение логического выражения: А ИЛИ B И НЕ С.

Значит, при начальных значениях А = 1, B = 0, С = 0 значение логического выражения А ИЛИ B И НЕ С истинно.

Пример 4.7. Высказывание А: «Прогноз погоды обещает дожди». Высказывание В: «Сейчас на улице идет дождь».

Высказывание А И B будет ложным, если мы увидели, что на улице нет дождя (независимо от того, что обещал прогноз погоды).

1 В каких условиях составное высказывание А И В может быть истинным?

• Если А истинно и В истинно.
• Если А истинно, а В ложно.
• Если А ложно и В истинно.
• Если А ложно, а В истинно.

2 В каких случаях составное высказывание А ИЛИ В может быть ложным?

• Если А истинно, а В ложно.
• Если А ложно, а В истинно.
• Если А ложно и В ложно.
• Если А истинно и В истинно.

Упражнения

1 Определите, истинными или ложными являются нижеприведенные составные высказывания.

1. Мяч круглый, ИЛИ Земля плоская.
2. Кролики — домашние животные, И баобаб растет в Беловежской пуще.
3. Клавиатура — устройство ввода информации, ИЛИ винчестер — устройство вывода информации.
4. М. Ю. Лермонтов написал стихотворение «Парус», И И. А. Крылов написал басню «Квартет».
5. Сосна — хвойное дерево, И кедр — не хвойное дерево.
6. Процессор — устройство обработки информации в компьютере, ИЛИ наушники — не устройство ввода информации.
7. Континенты и острова — это большие участки суши.

2 О том, как прошли летние каникулы, Кира рассказала своим друзьям следующее:

1. Я была у бабушки в деревне, и рядом с деревней было озеро.
2. По озеру плавала лодка или утка.
3. Мы с бабушкой насобирали малины и смородины.
4. Я составила букет из цветов. В нем были ромашки или гвоздики.

Подготовьте к каждому из высказываний Киры рисунки, учитывая, что все высказывания истинны.

3 Откройте файл с рисунком и разложите грибы по корзинкам так, чтобы было истинным следующее высказывание: «В большой корзине все грибы съедобные, и в маленькой корзине все грибы несъедобные».

4 Откройте файл с рисунком и поставьте все цветы в вазы так, чтобы было истинным высказывание: «В синей вазе все цветы розы, или в красной вазе все цветы не красного цвета».

5* Найдите значения логических выражений, если А = 1, B = 1, С = 0, D = 0.

1. Высказывания

Алгебра логики — это раздел математической логики, изучающий высказывания и логические операции над ними.

Алгебра логики помогает нам понять внутреннее устройство компьютера. Ты уже знаешь, что компьютер обрабатывает информацию только в двоичном коде. Логика поможет тебе понять, как взаимодействуют между собой два состояния: \(0\) и \(1\). Процессор компьютера работает за счёт выполнения логических операций, но о них ты узнаешь позже.

Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Например: 7 × 8 = 56 , 26 > 4 , «Осенние месяцы: сентябрь, октябрь, ноябрь», «Графический планшет — это устройство ввода информации» — это всё истинные высказывания.

«Земля имеет форму квадрата», «Монитор — это устройство для ввода информации», 3 > 21 , 15 − 6 = 10 — это ложные высказывания.

Высказываниями не могут быть восклицательные и побудительные предложения, определения, уравнения (т. к. там есть переменные), односложные утверждения — «Он хороший» (не для всех непонятный он может быть хорошим).

В алгебре логики высказывания обозначаются латинскими буквами .

Для алгебры логики содержание высказывания не играет никакой роли, главным здесь является, истинно это высказывание или ложно.

Если высказывание истинно, то оно равно \(1\). Если ложно, то \(0\).
Например, \(A\) \(=\) «Монитор — это устройство для вывода информации» можно записать как A = 1 .

Высказывания могут быть простыми и сложными . Простые состоят из одного высказывания, а сложные — из нескольких высказываний, объединённых логическими операциями.

Составные высказывания и логические выражения

Из элементарных высказываний можно строить более сложные (составные) высказывания, используя связки И, ИЛИ, НЕ.

Примеры. Забор красный И забор деревянный.

Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя

Забор НЕ красный.

Смысл этих высказываний понятен.

Высказывание с И содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба эти элементарные высказывания. Если хоть одно из них ложно, — составное высказывание ложно.

Высказывание с ИЛИ тоже содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с ИЛИ истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих элементарных высказываний. Если оба эти высказывания ложны, — составное высказывание ложно.

Высказывание с НЕ содержит одно элементарное высказывание (в русском языке НЕ часто ставится в середину этого высказывания). Составное высказывание с НЕ истинно, если исходное элементарное высказывание ложно и, наоборот, если исходное высказывание истинно, то составное высказывание с НЕ ложно.

Составные высказывания можно строить не только из элементарных высказываний, но и из других составных высказываний. В этом построение составных высказываний похоже на построение алгебраических выражений. Например, понятно, что означает такое высказывание (хотя оно написано не на русском языке, а с использованием скобок : )

(Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя) И (Коля НЕ старше, чем Ваня)

Здесь 3 элементарных высказывания.

2.2. Логические значения. Логические операции.

Мы уже знаем, что каждому высказыванию можно приписать одно из двух логических значений ­– истина (часто обозначается: 1) или ложь (часто обозначается: 0). Слова И, ИЛИ, НЕ задают операции над логическими значениями (логические операции). Действительно, например, составное высказывание с И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба его элементарные высказывания. Если хоть одно из них ложно, — составное высказывание ложно. Здесь нам не важно, каковы были исходные высказывания. Истинность составного высказывания зависит только от логического (иногда говорят — истинностного) значения исходных высказываний.

Так как логических значений всего два, то эти операции можно описать таблицами.

У операций И, ИЛИ, НЕ есть «научные» названия (даже несколько для каждой операции �� и специальные обозначения (в примерах A, B обозначают какие-то конкретные логические значения):

НЕ: отрицание, инверсия. Обозначение: ¬ (например, ¬А);

И: конъюнкция, логическое умножение.

Обозначается /\ (например, А /\ В) либо & (например, А & В);

ИЛИ: дизъюнкция, логическое сложение.

Обозначается \/ (например, А \/ В).

В математике используются и другие логические операции.

Каждая логическая операция может быть задана своей таблицей. Вот еще два примера логических операций:

1) следование (импликация); обозначается → (например, А → В); см. таб. 4. Выражение А → В истинно если A ложно ИЛИ B истинно. То есть, А → В означает то же самое, что и (¬А) \/ В.

2) тождество (эквивалетность); обозначается ≡ (например, A ≡ B); см. таб 5. Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны).

2.3. Логические выражения. Таблицы истинности.

Логические операции играют для логических значений ту же роль, что и арифметические операции для чисел. Аналогично построению алгебраических выражений, с помощью логических операций можно строить логические выражения. Как и алгебраические выражения, логические выражения могут включать константы (логические значений 1 и 0) и переменные. Если в логическом значении есть переменные, оно задает функцию (логическую функцию; синоним: булеву функцию). Значение такой функции при заданном наборе значений аргументов вычисляется подстановкой этих значений в выражение вместо переменных.

Для каждого логического выражения можно составить таблицу истинности, которая описывает, какое значение принимает соответствующая логическая функция (синоним: принимает выражение) при каждом допустимом наборе значений переменных. Вот таблицы истинности для выражений x \/ y (таблица 6), x → y (таблица 7) и (x → y) /\ (y → z) (таблица 8).

2.4. Эквивалентные выражения.

Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А/\В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).

Эквивалентные выражения имеют одинаковые таблицы истинности, а у неээквивалентных выражений таблицы истинности различны.

2.5. Приоритеты логических операций.

При записи логических выражений, как и при записи алгебраических выражений, иногда можно не писать скобки При этом соблюдаются следующие договоренности о старшинстве (приоритете) логических операций, первыми указаны операции, которые выполняются в первую очередь:

конъюнкция (логическое умножение),

дизъюнкция (логическое сложение),

Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и ((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).

Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.

4 комментария

2.3. Логические выражения. Таблицы истинности.
Значение такой функции при заданном наборе значений аргументов вычисляется подстановкой этих значений в МЫРАЖЕНИЕ вместо переменных Досадная опечатка, исправьте

Спасибо! Исправили ��

Таблица 8 построена совершенно неправильно. Откровенные грубые ошибки.
Первая строчка: (0 → 0 ) /\ (0 → 0)
будет равняться 1, т.к. 0→0=1, а 1/\1=1.
Исправьте: 1,3,6,7 строки!
И вообще лучше пересмотреть и перепроверить все остальные таблицы и всю статью в целом.