Как найти периметр основания пирамиды

1. Правильная пирамида

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина которой проецируется в центр основания, называется правильной пирамидой .

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой .

Правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, называется правильным тетраэдром .

Все грани правильного тетраэдра — равные равносторонние треугольники.

В средней школе нужно уметь решать задачи, где дана:

— правильная треугольная пирамида;

— правильная четырёхугольная пирамида;

— правильная шестиугольная пирамида.

Рис. \(1\). Правильная треугольная пирамида

Основание правильной треугольной пирамиды — равносторонний треугольник.

Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения медиан.

\(KD\) — апофема,

∠ \(NKD\) и ∠ \(NLD\) — двугранные углы при основании пирамиды,

∠ \(DCN\) и ∠ \(DBN\) — углы между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Рис. \(2\). Правильная четырёхугольная пирамида

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат.

Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).

\(ML\) — апофема,

∠ \(MLO\) — двугранный угол при основании пирамиды,

∠ \(MCO\) — угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Рис. \(3\). Правильная шестиугольная пирамида

Основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник.

Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания (шестиугольника).

\(SE = h\) — апофема,

∠ \(OES\) — двугранный угол при основании пирамиды.

Для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды существуют две формулы:

S б = 1 2 P основания ⋅ h и S б = S основания cos ϕ , где \(P\) — периметр основания, \(h\) — апофема, ϕ — двугранный угол при основании.

Объём пирамиды \(V =\) 1 3 S осн ⋅ H , где \(H\) — высота пирамиды.

Вычислить площадь полной и боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды.

С помощью онлайн калькулятора вы сможете вычислить площадь полной и боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через формулы. Чтобы вычислить площадь полной и боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды, просто введите ваши данные.

1. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через ребро основания и высоту боковой грани (апофема).
2. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через площадь основания и апофему.
3. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через радиус описанной окружности и апофему.
4. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через диагональ основания и апофему.
5. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через периметр основания и апофему.
6. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через ребро основания и боковое ребро.
7. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды через ребро основания и высоту боковой грани (апофема).
8. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды через площадь основания и высоту боковой грани (апофема).
9. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды через диагональ основания и высоту боковой грани (апофема).
10. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды через периметр основания и высоту боковой грани (апофема).
11. Площадь полной поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через ребро основания и боковое ребро.
12. Площадь полной поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через радиус описанной окружности и апофему.

1. Площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна сумме площадей ее основания и четырёх боковых граней.
2. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды равна сумме площадей четырёх боковых граней.
3. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
4. Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды равна произведению ребра основания на апофему, и умноженному на два.

Площадь боковых поверхностей правильной четырёхугольной пирамиды через ребро основания и высоту боковой грани (апофема).

S бок = 2 ah

Где: a — ребро основания, h — высота боковой грани (апофема).

Как найти периметр основания пирамиды

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Периметр основания правильной треугольной пирамиды

Задача.
Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см 2 (16√3). Вычислить периметр основания пирамиды.

Решение.
Правильный треугольник — это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник.
Площадь равностороннего треугольника равна:

Соответственно:
16√3 = a 2 √3 / 4
16 = a 2 / 4
a 2 = 64
a = 8 см

Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
8 * 3 = 24 см

Пирамида

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

• боковые рёбра правильной пирамиды равны;
• в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна Пи, а каждый из них соответственно Пи/n, где n — количество сторон многоугольника основания;
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.