Как оценивается погрешность по графику

Погрешность построения графика функции

Эта тема в настоящий момент находится в архиве и закрыта для публикации сообщений.

Информация

Недавно просматривали 0 пользователей

Ни один зарегистрированный пользователь не просматривает эту страницу.

Оценка погрешности результатов при опытном исследовании характеристик оросителей промышленных градирен Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Давлетшин Ф. М., Гильфанов К. Х.

Предложен алгоритм оценки погрешности результатов при опытном исследовании характеристик оросителей промышленных градирен. Представлены формулы и результаты расчета погрешностей для реального эксперимента по исследованию характеристик оросителей.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Error estimate for results at experimental researching characteristics of sprinklers industrial cooling towers

The error estimation algorithm for results of experimental researching characteristics of sprinklers industrial cooling towers is offered. Formulas and results of calculated errors for real experiment for researching characteristics of sprinklers are presented.

Текст научной работы на тему «Оценка погрешности результатов при опытном исследовании характеристик оросителей промышленных градирен»

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ ОПЫТНОМ ИССЛЕДОВАНИИ ХАРАКТЕРИСТИК ОРОСИТЕЛЕЙ ПРОМЫШЛЕННЫХ ГРАДИРЕН

Ф.М. ДАВЛЕТШИН, К.Х. ГИЛЬФАНОВ

Казанский государственный энергетический университет

При модернизации или реконструкции промышленных градирен с целью повышения эффективности их работы в системе оборотного водоснабжения практически всегда происходит замена оросителя.

В настоящее время существует множество различных конструкций оросителей, отличающихся маркой материала, конструкцией и взаимным расположением составляющих их отдельных элементов. Сравнительные расчёты охлаждающей способности различных типов оросителей при различных условиях работы градирен, как рекомендуется в [1], можно производить по числу Меркеля:

где в хг- объёмный коэффициент массоотдачи; И — высота оросителя; qw -плотность орошения градирни; А — эмпирический коэффициент, характеризующий влияние конструктивных особенностей оросителя на его охлаждающую способность; т — показатель степени, характеризующий зависимость объёмного коэффициента массоотдачи от изменения массовой скорости воздуха; X = Св / Gw — отношение массового расхода воздуха к расходу воды.

Этот критерий справедлив также для экспериментальной оценки новых конструкций оросителей при их создании и модернизации существующих. Как любой критерий, полученный из эксперимента в результате косвенных измерений, он нуждается в оценке точности.

Известно [2], что относительная погрешность косвенных измерений (в данном случае числа Меркеля) может быть определена по следующей формуле:

В приведённой формуле (2) под величиной f подразумевается функциональная зависимость числа Ме, обычно используемая при обработке экспериментов, т.е.

где СМ) — удельная теплоёмкость воды; г — удельная энтальпия воздуха; г» —

удельная энтальпия насыщенного воздуха; К = 1————- поправочный

коэффициент в упрощённом уравнении теплового баланса; А* = * 1 — *2 — перепад

температур воды в градирне; Агс„ = А*/ I ———— — средняя разность удельных

Считается [1] наиболее удобным и точным величину А1ср определять интегрированием по методу Симпсона или П.Л. Чебышева. Однако, как

показывают предварительные расчёты, для первоначальной оценки погрешности числа Ме функцию 1/(г — г») в исследуемом диапазоне температур (*1, *2) можно заменить линейной зависимостью, т.е. принять

И тогда, выражение (2), с учётом (3) и (4), запишется так:

— 1п(г» 2 — г’і) — 1п(г»і — і 2) ]■ МХі >2

[1п(іі — і2) + 1п(і»і + і»2 — і2 — іі) —

Значения энтальпий, входящих в (5), подсчитываются по следующим формулам:

і»і = іі + Л»і -(2493 +1,97■ іі ); і»і = ів + &»в -(2493 +1,97■ ів ); С п ■ Мі

давление; ів и ф в — соответственно температура и относительная влажность

воздуха на входе в градирню; іі — удельная энтальпия насыщенного воздуха над © Проблемы энергетики, 2007, № 1-2

поверхностью воды при температуре Ь1 или Ь 2; г 1 и г 2 — соответственно удельная энтальпия воздуха в ядре потока при входе в градирню и на выходе из неё.

Под аргументом Хг в формуле (5) подразумеваются величины, непосредственно измеряемые в эксперименте. Это температура воды; Ь1 и Ь2, параметры входящего в градирню воздуха Ь в и ф в, расход воды и воздуха через градирню и Ов .

Дифференцирование по каждому из этих параметров, с учётом зависимости

(6), приводит выражение (5) к следующему виду:

бМе = [(41 • Л1 )2 + (А2 • ЛЬ2 )2 (Аз • Лв )2 + ( ■ ЛРб )2 + + (А5 • Лфв )2 + (Аб • в )2 + (А7 • 5^ )] °’5,

гд 1 1 гд 2 У 1 1 1 Ч

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рз = Р1 + Р2 ; Р2 = г»2 -г1; Р1 = г» 1 -г2 .

Значения частных производных от энтальпий по соответствующему аргументу находятся по цепному правилу дифференцирования сложных функций, имея в виду зависимости (6).

Как отмечалось ранее, обработка результатов экспериментального исследования оросителей ведётся по выражению (з). В результате строится

зависимость числа Меркеля от комплекса А • И • Xт . По графику Ме = / (X)

определяются значения параметров А и т.

Метрологическое обеспечение экспериментальной установки по определению характеристик оросителей обычно включает в себя приборы замера температур і в, і і и і 2, расходов воды , воздуха С в и относительной влажности и ф в.

В качестве датчиков температуры часто используются термоэлектрические преобразователи, ввиду их простоты изготовления, удобства использования и высоких метрологических характеристик. Измерение выходного сигнала (термо-

э.д.с.) с высокой точностью осуществляется цифровыми вольтметрами. В частности, вольтметр В7-21 обеспечивает температурную погрешность при работе с хромель-копелевыми термопарами около ±0,03 °С.

Расход воздуха измеряется методом переменного перепада с помощью стандартной диафрагмы. Суммарная (методическая и инструментальная) погрешность для воздуха [3] оценивается величиной 5Ов = ±2,5 . 3 %.

Для измерения расхода воды с метрологической и экономической точки зрения целесообразно использовать электромагнитные расходомеры типа ИР-61, имеющие допустимую основную погрешность ±0,5 %. Измерение относительной влажности входящего в градирню воздуха осуществляется с помощью аспирационного психрометра МВ-4М с допустимой погрешностью измерения относительной влажности ±7 % или гигрометра ГС-210 (предел допустимой погрешности +3 %) [3].

Возвращаясь к уравнению (1), можно определить относительную погрешность объёмного коэффициента массоотдачи в хг, базируясь на зависимости (2), т.е.

где ЛИ — относительная погрешность определения высоты оросителя.

Как видно из выражения (8) величина Ар хг в основном определяется

погрешностью определения числа Меркеля.

С учётом перечисленных выше приборных погрешностей, по выражению

(7) были проведены расчёты 5Ме на различных режимах работы градирни.

Установлено, что погрешность определения числа Ме составляет около ±6 . 8 % при перепаде температур ЛЬ = 8 . 1° °С и X > 1 и возрастает до ±15 . 2° % при ЛЬ = 2 . 4 °С и снижении X до 0,з. 0,5. Изменение фв в пределах 5° . 95 % оказывает достаточно слабое влияние на величину 6Ме(в пределах 0,5 . 1,5 %). Применение указанных выше приборов для измерения расходов воды и воздуха через градирню обеспечивает вполне приемлемую точность полученных результатов. Т.е. можно констатировать, что погрешность определения числа Ме достаточно высока для такого рода теплотехнических экспериментов (если принять во внимание принятые ранее допущения) и составляет в среднем ±12 . 15 %.

The error estimation algorithm for results of experimental researching characteristics of sprinklers industrial cooling towers is offered. Formulas and results of

calculated errors for real experiment for researching characteristics of sprinklers are presented.

1. Пономаренко В.С, Арефьев Ю.И. Градирни промышленных и энергетических предприятий: Справочное пособие / Под общ. ред. В.С.

Пономаренко. — М.: Энергоатомиздат: 1998. — 376 с.

2. Зайдель А.Н. Ошибки измерения физических величин. — Л.: Энергия, Ленинградское отделение, 1974. — 108с.

3. Нуждин А.С., Ужанский В.С. Измерения в холодильной технике: Справочное руководство. -М.: Агропромиздат, 1986. — 368с.

4. Преображенский В.П. Теплотехнические измерения и приборы. — М.: Энергия, 1978. — 704с.

Определение погрешности измерений

Погрешности измерений.
Определение погрешности измерений.
Классификация погрешностей.
Случайные погрешности.
Систематические погрешности.
Методы исключения систематических погрешностей.
Грубые погрешности и методы их исключения.
Погрешности косвенных измерений.

2.

Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих
источников, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на
результат измерения, но суммарное воздействие всех источников может
оказаться достаточно сильным.
Случайная ошибка может принимать различные по абсолютной величине
значения, предсказать которые для данного акта измерения невозможно. Эта
ошибка в равной степени может быть как положительной, так и
отрицательной. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. При
отсутствии систематических ошибок они служат причиной разброса
повторных измерений относительно истинного значения (рис.1).
Если, кроме того, имеется и систематическая ошибка, то результаты
измерений будут разбросаны относительно не истинного, а смещенного
значения (рис.2).
Рис. 1
Рис. 2

3.

Определение погрешности
В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения
погрешности измерений используют различные методы.
•Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в
пределах от минимального до максимального результата измерений, и
погрешность как половина разности между максимальным и минимальным
результатом измерения:
•Средняя квадратическая погрешность:
•Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

4.

Наиболее часто встречающиеся на практике ошибки распределены по
нормальному закону:
Если случайная ошибка распределена по нормальному закону, то для ответа
на этот вопрос необходимо вычислить интеграл

5.

Расчёты показывают (рис. 3),
что в 68,27 % отклонения случайной величины, распределённой по
нормальному закону, не превышают σ,
в 95,45 % – 2σ.
Наконец, вероятность того, что случайная величина, распределённая
нормально, отклоняется от математического ожидания больше, чем на 3σ,
пренебрежимо мала и составляет 0,27 % – правило трёх сигм.
Рисунок 3. Правило трёх сигм

6.

•Погрешность прямых измерений — вычисляются по формуле
где : t = Sxαs ; Sx — Средняя квадратическая погрешность среднего
арифметического, а αs — коэффициент Стьюдента, а А — число,
численно равное половине цены деления измерительного прибора.
•Погрешность косвенных воспроизводимых измерений — погрешность
вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:
Если F = F(x1,x2. xn), где xi — непосредственно измеряемые независимые
величины, имеющие погрешность Δxi, тогда:
•Погрешность косвенных невоспроизводимых измерений — вычисляется
по принципу прямой погрешности, но вместо xi ставится значение
полученное в процессе расчётов.

7.

Приборные погрешности определяются двумя факторами:
1. классом точности прибора, связанным с его устройством – элементной
базой и принципом действия.
Абсолютная погрешность через класс точности оценивается следующим
образом: (Dx) к.т.= (g/100)Х,
где g — класс точности в %, указанный на панели прибора,
Х = Хmax – предел измерения для стрелочных приборов,
либо Х есть текущее значение для магазинов сопротивления, индуктивности,
емкости;
2. ценой делений шкалы прибора:
(Dx) ц.д. =
h,
где h – цена деления шкалы прибора, т.е. расстояние между ближайшими
штрихами шкалы, выраженное в соответствующих единицах измерения.

8.

Простейший способ определения (Dх)р дает метод Корнфельда, который
предписывает следующий образ действий, если физическая величина х измерена n
раз:
1) имея х1 , …,хn – значений измеряемой величины х, выбираем
из
хmax и хmin и находим среднее значение х:
2) находим абсолютную погрешность Dxр =
3) Записываем результат в виде:
с
,
где a – доверительная вероятность того, что истинное значение измеренной величины
находится на отрезке
.
Доверительная вероятность определяет собой долю средних значений х, полученных
в аналогичных сериях измерений, попадающих в доверительный интервал.
Недостатком метода Корнфельда является то обстоятельство, что вероятность
приводимого результата определяется исключительно количеством n проведенных
измерений и не может быть изменена посредством увеличения
или уменьшения доверительного интервала ± Dх.

9.

метод расчета погрешностей Стьюдента.
Последовательность расчета погрешностей этим методом такова:
1) Вы измерили и получили несколько (i = 1. m) значений случайной
величины х i.
Сначала исключаем промахи, то есть заведомо неверные результаты.
2) По оставшимся n значениям определяем среднее значение величины
3) Определяем среднеквадратичную погрешность среднего значения
:
:

10.

4) Задаемся доверительной вероятностью a.
По таблице коэффициентов Стьюдента (квантили или процентили
распределения Стьюдента) определяем по известному значению числа
измерений n и доверительной вероятности a коэффициент Стьюдента tan.
5) Определяем погрешность среднего значения
величины
(доверительный интервал)
D
= tan s
6) Записываем результат
=(
±D
) с указанием доверительной вероятности a.

11.

Чтобы получить значение tα,k, необходимо найти строку, соответствующую нужному k,
числу степеней свободы, расчитываемому по формуле k = n − 1, и колонку,
соответствующую нужному α. Искомое число находится в таблице на их пересечении.
Квантили tα,n
twotailed
test
1-0.9/2
1-0.8/2
1-0.7/2
1-0.6/2
1-0.5/2
1-0.4/2
1-0.3/2
1-0.2/2
1-0.1/2
10.05/2
10.02/2
onetailed
test
1-0.9
1-0.8
1-0.7
1-0.6
1-0.5
1-0.4
1-0.3
1-0.2
1-0.1
1-0.05
1-0.02
1
0.1584
0.3249
0.5095
0.7265
1.0000
1.3764
1.9626
3.0777
6.3138
12.706
2
31.820
5
2
0.1421
0.2887
0.4447
0.6172
0.8165
1.0607
1.3862
1.8856
2.9200
4.3027
6.9646
3
0.1366
0.2767
0.4242
0.5844
0.7649
0.9785
1.2498
1.6377
2.3534
3.1824
4.5407
4
0.1338
0.2707
0.4142
0.5686
0.7407
0.9410
1.1896
1.5332
2.1318
2.7764
3.7469
5
0.1322
0.2672
0.4082
0.5594
0.7267
0.9195
1.1558
1.4759
2.0150
2.5706
3.3649
Пример
t0.2,4 = 0.2707;
t0.8,4 = − t0.2,4 = − 0.2707.

12.

В
научных
статьях
обычно
приводят
доверительный
соответствующий доверительной вероятности α =0,7 (0,68).
интервал
Такой интервал называется стандартным, при его использовании часто значение
доверительной погрешности не приводят.
Использование метода Стьюдента является необходимым, когда требуется знать
значение физических параметров с заданной доверительной вероятностью (как в
ряде лабораторных работ).
На практике доверительная вероятность погрешности разброса выбирается в
соответствии с доверительной вероятностью, соответствующей классу точности
измерительного прибора.
Для большинства исследований, в которых не выдвигается жестких требований к
вероятности полученных результатов, метод Корнфельда является вполне
приемлемым.

13.

14.

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой
механике
—
фундаментальное
неравенство
(соотношение
неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного
определения пары характеризующих квантовую систему физических
наблюдаемых величин, описываемых некоммутирующими операторами
(например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и
магнитного поля).
Соотношение неопределенностей задаёт нижний предел для произведения
среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых.
Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г.,
является одним из краеугольных камней квантовой механики.
В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую
неопределённость потому, что значение
чрезвычайно мало, и поэтому
соотношения неопределенностей накладывают такие слабые ограничения
на погрешности измерения, которые заведомо незаметны на фоне
реальных практических погрешностей наших приборов или органов
чувств.

15.

Погрешность измерения и принцип неопределенности Гейзенберга
Принцип неопределенности Гейзенберга устанавливает предел точности
одновременного определения пары наблюдаемых физических величин,
характеризующих квантовую систему, описываемых некоммутирующими
операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения,
электрического и магнитного поля). Таким образом, в квантовой механике
постулируется
принципиальная
невозможность
одновременного
определения с абсолютной точностью некоторых физических величин. Этот
факт накладывает серьезные ограничения на применимость понятия
«истинное значение физической величины».
Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного
измерения любой величины (для многомерных величин тут
подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор
коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена
точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины.
Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не
препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно
измерить её координату (это ограничение называется стандартный
квантовый предел для координаты).

16.

Если имеется несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то
измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться
определённому распределению вероятности — это фундаментальный
постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического
отклонения Δx координаты и среднеквадратического отклонения Δp
импульса, мы найдем что:
,
где — приведённая постоянная Планка.
В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как
наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в
случае нормального распределения переменных, приводит для
произведения неопределённостей к большей нижней границе .
Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние
может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда
p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть
определён точно, в то время как x — нет. Во всех же других состояниях, и x
и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой)
точностью.

17.

•самое известное отношение неопределённости — между координатой и
импульсом частицы в пространстве:
•отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами
оператора полного углового момента частицы:
где i, j, k различны и Ji обозначает угловой момент вдоль оси xi.
•следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто
представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует
осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

18.

19.

Правила построения графиков физических величин
1.Оформление осей, масштаб, размерность.
Результаты измерений и вычислений удобно представлять в графическом
виде.
Графики строятся на миллиметровой бумаге; размеры графика не должны
быть меньше 150×150 мм (половина страницы лабораторного журнала).
На лист прежде всего наносятся координатные оси (результаты прямых
измерений, как правило, откладываются на оси абсцисс).
На концах осей наносятся обозначения физических величин и их единицы
измерения.
Затем на оси наносятся масштабные деления так, чтобы расстояние
между делениями составляли 1, 2, 5 единиц или 1; 2; 5·10± n, где n – целое
число.
Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю по
одной или более осям.
Начало отсчета по осям и масштаб следует выбирать так, чтобы:
1) кривая (прямая) заняла все поле графика;
2) углы между касательными к кривой и осями должны быть близки к 45º
(или 135º) по возможности в большей части графика.

20.

2. Графическое представление физических величин. После выбора и
нанесения на оси масштабов на лист наносятся значения физических
величин. Их
обозначают маленькими кружочками,
треугольниками,
квадратами, причем числовые значения, соответствующие нанесенным
точкам, не сносятся на оси. Затем от каждой точки вверх и вниз, вправо и
влево откладываются в виде отрезков соответствующие погрешности в
масштабе графика.
2.1. После нанесения точек строиться график, т.е. проводится предсказанная
теорией плавная кривая или прямая так, чтобы она пересекала все области
погрешностей или, если это не возможно, суммы отклонений
экспериментальных точек снизу и сверху кривой должны быть близки. В
правом или в левом верхнем углу (иногда посередине) пишется название той
зависимости, которая изображается графиком.
2.2. Исключение составляют градуировочные графики, на которых точки,
нанесенные без погрешностей, соединяются последовательными отрезками
прямых, а точность градуировки указывается в правом верхнем углу, под
названием графика. Однако, если в процессе градуировки прибора
абсолютная погрешность измерений изменялась, то на градуировочном
графике наносятся погрешности каждой измеренной точки. (Такая ситуация
реализуется при градуировке шкалы «амплитуда» и «частота» генератора ГСК
при помощи осциллографа). Градуировочные графики служат для отыскания
промежуточных значений линейных интерполяций.

21.

3. Линейные аппроксимации.
В экспериментах часто требуется построить график зависимости полученной
в работе физической величины Y от полученной физической величины х,
аппроксимируя Y(x) линейной функцией
, где k, b –
постоянные.
Графиком такой зависимости является прямая, а угловой коэффициент k,
часто сам является основной целью эксперимента.
Естественно, что k в этом случае представляет собой также физический
параметр, который должен быть определен с присущей данному
эксперименту точностью.
Одним из методов решения данной задачи является метод парных точек.
Однако следует иметь в виду, что метод парных точек применим при наличии
большого числа точек n ~ 10, кроме того, он является достаточно
трудоемким.
Более простым и при его аккуратном исполнении, не уступающим в
точности методу парных точек, является следующий графический метод
определения
:

22.

1) По экспериментальным точкам, нанесенным с погрешностями, проводится прямая с
использованием метода наименьших квадратов (МНК). Основополагающей
идеей аппроксимации по МНК является минимизация суммарного
среднеквадратичного отклонения экспериментальных точек от искомой прямой
.
При этом коэффициенты
определяются из условий минимизации:
Здесь
— экспериментально измеренные значения, n – число
экспериментальных точек.
В результате решения данной системы имеем выражения для расчета
коэффициентов
по экспериментально измеренным значениям:

23.

2) После вычисления коэффициентов проводится искомая прямая.
Затем выбирается экспериментальная точка, имеющая наибольшее, с учетом ее
погрешности, отклонение от графика в вертикальном направлении DYmax как
указано на рис 4. Тогда относительная погрешность Dk/k, обусловленная неточностью
значений Y, равна:
где
измерительный интервал значений Y от max до min.
При этом в обеих частях равенства стоят безразмерные величины, поэтому DYmax
и
можно одновременно вычислять в мм по графику или одновременно
брать с учетом размерности Y
Рис. 4.

24.

3) Аналогично вычисляется относительная погрешность
погрешностью при определении х.
, обусловленная
.
4)
Если одна из погрешностей,
например,
, или величина х имеет очень малые погрешности
Dх, незаметные на графике, то можно считать
dk= dky.
5) Абсолютная погрешность Dk=dk*k. В результате
.

§ 3. Обработка результатов косвенных измерений физических величин

Основная задача косвенных измерений – нахождение искомой величины, которая является функцией одного или нескольких аргументов: U=f(A,B,C…). Обычно вид функции известен, а величины А, В, С… измеряются непосредственно в эксперименте. По результатам этих измерений необходимо получить оценку величины U и определить точность этой оценки.

Среднее арифметическое значение и погрешность косвенных измерений можно вычислить двумя методами:

Можно при каждом наблюдении величин а, в, с…вычислять значение u, а среднее арифметическое значение и доверительный интервал вычислять по тому же методу, что и для прямых измерений.

можно найти среднее значение и абсолютную погрешность каждого аргумента по всем измерениям, а затем оценку искомой величины по формуле:

=f(,,…) (3.1) Величину абсолютной погрешности вычисляют по формуле: (3.2) Причем все частные производные при А =,B=,C=… , а значенияА,В,С… вычисляют в результате прямых измерений. Частные производные нужно взять по всем переменным, а затем, если получилось несколько слагаемых, содержащих дифференциал одной и той же переменной, нужно сгруппировать эти слагаемые с учетом их знаков, появившихся при дифференцировании, и вынести общий дифференциал за скобку. После этого нужно взять сумму абсолютных величин частных дифференциалов и заменить знак дифференциала знаком абсолютной погрешности . При этом доверительная вероятность для погрешности косвенного измерения будет такой же, как и для погрешности аргументов. Запишем формулу (3.2) для нескольких частных случаев. 1 погрешность от произведения U=A k B l C j : (3.3) 2Погрешность от суммы U=A+B: (3.4) 3 Погрешность от сложной суммы рассмотрим на таком примере а=cb 2 +z 3 : введем следующие обозначения: x=cb 2 y=z 3 , тогда a=(x 2 +y 2 ) 0. 5 , где x=cb 2 ((c/c) 2 +(2b/b) 2 ) 0. 5 y=3z 2 z, подставив полученные выражения в начальную формулу, найдем абсолютную погрешность а нашего выражения. Рассмотрим пример. Для вычисления ускорения свободного падения методом математического маятника расчетная формула имеет вид: Введем обозначения А=l₁-l₂, B=T₁ 2 , C=T₂ 2 , D=B-C, упростив выражение получим: Используя формулу (3.3) находим погрешность от произведения: , где (А) 2 =(l₁) 2 +(l₂) 2 (D) 2 =(B) 2 +(C) 2 C=2T₂T₂ B=2TT =>Если же функция удобна для логарифмирования, то сначала проще найти относительную погрешность: (3.5) А затем найти абсолютную погрешность: U= Для облегчения вычислений рекомендуется использовать таблицу1: Таблица 1 Формулы для вычисления погрешности функций

№ пп	функция	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
1	X k	k k-1 x	kx/
2	X 1/k	x/(k k-1/k )	x/k
3	lnx	x/	x/(ln)
4	e kx	ke k x
5	lgx	0.4343x/	0.4343x/lg
6	a kx	k lnaa k x	k lna x
7	x/(1+x)	x/(1+) 2	kx/(((1+x))
8	1/x k	kx/ k-1	kx/
9	Sin kx	k cos k x	k ctg kx
10	Cos kx	k sin k x	k tg kx
11	Tg kx	kx/cos 2 k	2kx/sin 2k
12	Ctg kx	kx/sin 2 k	2kx/sin 2k

Примечание При использовании различных констант (ускорение свободного падения, скорость света в вакууме) погрешность определяют как разность данного приближенного значения и более точного. Например, используется значение ускорения свободного падения g=9,81 м/с 2 . более точное значение равно 9,807 м/с 2 , следовательно, g=0,003 м/с 2 . Часто для числа  используют приближенное его значение 3,14, а более точное – 3,142. следовательно, абсолютная погрешность равна 0,002. Если константу округляют так, что число значащих цифр в ней больше их числа в значениях других аргументов, то константа практически не вносит погрешностей в результат измерений. При использовании таблицы необходимо погрешность аргумента тригонометрических функций брать в радианах. Оценка погрешностей при определении искомой величины по таблице или графику. Ряд величин необходимо брать из таблиц. При этом часто приходится пользоваться методом интерполяции. Интерполяция – нахождение приближенных значений функции y=f(x) в точках х, лежащих между точками x_i (i=1,2,3,4…), если известны значения функции f(x_i) лишь в этих точках, причем х₁23…n. Простейшая линейная интерполяция для х, принадлежащая отрезку [x₁; x₂], составляется по формуле: (3.6)

t,C	, кг/м 3
19	998,43
20	998,23
21	998,02
22	997,79

Например, надо найти плотность воды при температуре 20,4С. по таблице и вышеприведенной формуле находим: =998,23+0,4(998,02-998,23)/(21-20)= =998,15. Если используются табличные данные, то абсолютные погрешности этих величин принимаются равными 5 единицам разряда, следующего за последней значащей цифрой числа. В приведенном примере =0,005 кг/м 3 . Если измеряемая величина определяется по графику, то абсолютная погрешность, с которой определяется искомая величина, также находится из графика. Пусть величина а имеет погрешность а, отвечающую на графике, например, одному делению в выбранном масштабе. Тогда абсолютная погрешность функции f(a) определяется на данном участке кривой как изменение ординаты, вызванное изменением абсциссы на величину а (см. рис.1) Рис.1 нахождение абсолютной погрешности по графику Построение графиков. В том случае, когда требуется проследить зависимость какой-то физической величины от другой, например, зависимость коэффициента преломления среды от длины световой волны, при обработке результатов измерений обычно используют графический метод. При этом следует сначала, не производя точных измерений, проследить за ходом кривой y=f(x) в широком интервале измеряемых величин. Это позволит заранее обнаружить значения аргумента, при которых функция меняется очень заметно (области максимума, минимума, точки перегиба). Очевидно, что в этих областях измерения надо производить чаще, т.е. при меньших изменениях значения аргумента. При построении графиков следует руководствоваться следующими правилами.

Графики нужно строить на миллиметровой бумаге
При построении графика следует заранее выбрать масштаб, нанести деления масштаба по осям координат и лишь после этого приступать к нанесению экспериментальных точек. Значения независимого аргумента откладываются по оси абсцисс, а по оси ординат – значения функции.
по координатным осям необходимо указать не только откладываемые величины, но и единицы измерения.
при выборе масштаба надо стремиться к тому, чтобы кривая занимала весь лист. Шкала для каждой переменной может начинаться не с нуля, а с наименьшего округленного значения и кончаться наибольшим.
чем крупнее масштаб, тем точнее график. Наименьшее расстояние, которое можно отсчитывать на графике, должно быть не менее величины абсолютной ошибки измерения. Лучше всего брать масштаб графика таким, чтобы величина абсолютной ошибки соответствовала на графике отрезку 1мм. Это относится к величинам, откладываемым как по оси абсцисс, так и по оси ординат.
нанесенные на график точки полагается обводить кружком радиусом, равным абсолютной ошибке измеряемой величины. Вообще говоря, размер экспериментальных точек, наносимых на график, не являются произвольным, а должен быть выбран в соответствии с точностью измерений. Вокруг каждой точки должен быть построен прямоугольник со сторонами, равными абсолютной погрешности аргумента и функции. В частном случае этот прямоугольник превратится в квадрат, который можно заменить окружностью. Так в большинстве случаев погрешности значений функции больше погрешности аргумента, то наносят только погрешности функции в виде отрезка длиной, равной удвоенной погрешности в данном масштабе. При этом экспериментальные точки находятся в середине этого отрезка. Который в обоих концах ограничивается черточками (см. рис.).
нанесенные экспериментальные точки соединяют между собой плавной линией, без искривлений и углов (их наличие говорит о том, что в наблюдениях или вычислениях допущены грубые ошибки). Следовательно, график может служить для контроля и улучшения наблюдений.
кривая должна охватывать как можно больше точек или проходить между ними так, чтобы по обе стороны от нее точки располагались равномерно.
кривая на графике должна получаться не слишком крутой и не слишком пологой. Это достигается выбором разных масштабов по координатным осям.

Рис.2 Изображение результата на графике. Пользуясь кривой можно проводить интерполирование, т.е. находить значение искомой величины для таких значений аргумента, которые непосредственно не наблюдались. Для этого из любой точки оси абсцисс можно провести ординату до пересечения с этой кривой. Длина этой ординаты будет представлять значение искомой величины для соответствующего значения независимого аргумента. Кроме того, можно определить значения одной величины, которые соответствуют максимальному или минимальному значению другой, хотя последняя и не определяется непосредственно. Вопросы для самоконтроля

что называется физической величиной?
Что называется Измерением физической величины?
Какое измерение называется прямым?
Что называется действительным значением физической величины?
Что называется абсолютной, относительной погрешностью измерения?
каким образом можно увеличить точность измерения?
Как классифицируются погрешности по своим свойствам?
Как вычисляется оценка абсолютной погрешности прямого измерения?
как найти погрешность нониуса штангенциркуля, если она не указана на приборе?
каков алгоритм обработки результатов многократных измерений?
Как производят округление числового значения среднего арифметического?
сколько значащих цифр оставляется в окончательной записи погрешности результата измерения?
Как устроен штангенциркуль?
чему равна погрешность измерения, если в результате наблюдений получается ряд совершенно одинаковых значений?
как записывается окончательный результат измерения если:
1. =61.345 l=0.473
2. =28.038м 3 V=0.13м 3
3. =5.0075c t=0.05c
4. =274.386Па p=0.176Па

какое измерение называется косвенным?
как определяется погрешность результатов косвенных измерений?
в каких единицах выражается погрешность аргумента тригонометрических функций?
как оценивается абсолютная погрешность в случае однократного наблюдения?
чему равна абсолютная погрешность числа , если используется значение =3,14, а более точное – 3,142?
как определяется абсолютная погрешность физических констант?
как находится абсолютная погрешность величины, значение которой берется из таблицы?
как находится абсолютная погрешность величины ,которая определяется по графику?.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Оценка измеряемой физической величины с помощью доверительного интервала. Цель работы: усвоить обработку результатов прямых измерений, измерить высоту цилиндрического тела. Приборы и инструменты: штангенциркуль, цилиндрическое тело. При домашней подготовке необходимо: 1) проработать пп.3.1-3.5 настоящих указаний, 2)составить бланк отчета о лабораторной работе, 3)приготовить ответы на вопросы для самоконтроля. Описание штангенциркуля. Рис.3 Штангенциркуль служит для линейных измерений. Он состоит из масштабной линейки 1 и нониуса 2 (см.рис.3). цена деления масштабной линейки 1 мм. Нониус – специальная шкала, дополняющая обычный масштаб и позволяющая повысить точность измерений в 10..20 раз. Нониус изготовляется так, что длина делений нониуса равна (kN-1) делений шкалы Na_н=(kN-1)а_ш, где а_н, а_ш – цена деления нониуса и основной шкалы. Величина = а_ш/N называется погрешностью нониуса. Масштабная линейка и нониус снабжены измерительными выступами (губками) 3 и 4,расстояние между которыми изменяется при перемещении нониуса вдоль масштабной линейки. Винт 5 служит для фиксирования положения нониуса на масштабной линейке. При измерениях штангенциркулем внешних размеров тело слегка зажимается между выступами 3 и 4. при этом нулевая отметка шкалы нониуса смещается относительно нулевой отметки масштабной линейки на величину длины l измеряемого тела. По масштабной линейке отсчитывают целое число наименьших делений n, до нулевой отметки шкалы нониуса и смотрят, какая отметка шкалы нониуса m совпадает с некоторой отметкой шкалы масштабной линейки. Зная величины n, m по формуле l=(n+m) определяют нужный размер тела. Погрешность нониуса  наносится на масштабной линейке штангенциркуля. Программа работы

ознакомиться с устройством штангенциркуля.
измерить высоту цилиндрического тела
обработка результатов наблюдений.

Порядок выполнения работы

убедиться, что штангенциркуль исправен, определить погрешность нониуса.
поместить цилиндр между выступами 3 и 4 штангенциркуля, слегка сжать их и произвести отсчет.
проделать еще 10 раз операции описанные в п.2
обработать результаты наблюдений.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 Измерение объема тела. Цель работы: достичь прочного усвоения метода Стьюдента, усвоить обработку косвенных измерений; найти объем цилиндрического тела. Приборы и материалы: штангенциркуль, цилиндрическое тело. При домашней подготовке следует: проработать пп.3.1-3.5 настоящих указаний, 2)составить бланк отчета о лабораторной работе, 3)приготовить ответы на вопросы для самоконтроля, 4)вывести формулу для нахождения абсолютной погрешности измерения объема. Программа работы.

измерение диаметра цилиндра
измерение объема цилиндра

Порядок выполнения работы.

убедиться, что штангенциркуль исправен, определить погрешность нониуса.
поместить цилиндр между выступами 3 и 4 штангенциркуля, слегка сжать их и произвести отсчет.
проделать еще 10 раз операции описанные в п.2
обработать результаты наблюдений
вычислить объем цилиндра по формуле V>=(d>2h>)/4d>, h> — среднее значение диаметра и высоты цилиндра соответственно

найти абсолютную и относительную погрешности измерения объема

записать окончательный результат.

=d>, h> — Абсолютная погрешность: V= Число : === 6. Измерение диаметра цилиндра: Ранжирование: Размах: Q₁= Q_n= Q_T= Вывод: Обработка результатов по методу Стьюдента 7. измерение объема цилиндра =V=V/V=

Окончательный результат:

Приложение 1 Тольяттинский государственный университет Кафедра физики Группа Студент Отчет О лабораторной работе № 1

Похожие публикации:

Elenberg ht 410 как включить радио

Гугл хром не запускается при нажатии что делать

Как включить secure boot в биосе msi

Как заменить деталь в сборке компас 3d