Сколько раз при счете до 100 встречается цифра 3

Математика Сколько раз при счете до 100 встречается цифра 3?

Xthn_13(666) Искусственный Интеллект (143755) Ильдар Тухбагалиев, у меня тоже.

Ильдар ТухбагалиевУченик (113) 1 год назад

а где 21ый?

Остальные ответы

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Сколько раз при счете до 100 встречается цифра 3

от 1 до 100 сколько раз встречается цифра 9?

Поделиться
�� ✿︎❤ ●•❤️ Лилия❤️• ●❤✿︎�� 🙂 ��

От формулировки задачи многое зависит. Ответом может являться 20 или 1.
Если задача звучит так: сколько цифр 9 на промежутке чисел от 1 до 100? Известно, что числа состоят из цифр: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Поэтому на промежутке чисел от 1 до 100 цифра девять встречается в числах: 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99, то есть 20 раз. Если же вопрос звучит так: сколько чисел 9 от одного до ста, ответ 1.

Поделиться
Мереке Абдрахманов
Виктория Белоусова

10 раз если считать на конце каждого десятка. (ну может не правильно изъясняю. вот что я имею ввиду 9, 19, 29 и т.д). а если считать так 9 +9, ну как через разряд то 11 раз. а скажите правильный ответ, очень интересно. так как в мат-ка я профан

Поделиться
Мереке Абдрахманов
Виктория Белоусова

как считать объясните, чтоб 20 раз получилось.

Мереке Абдрахманов
Виктория Белоусова

все я пропустила их. да и и получается 20 ть. спасибо.

Мереке Абдрахманов

и вам спасибо за ответ. хорошего настроения

Виктория Белоусова

Алла Хошенко

ну лень колупаться в занимательной арифметике перельмана. честно. не знаю. цифру не запомнила. книжку искать лень. в гугл не полезу. что еще интересного?

Поделиться
Показать все комментарии
Мереке Абдрахманов

все они ревнивы

Алла Хошенко

значит, не силен держать много баб в руках. силу ищи. тебя делят. на всех не хватает. какого тогда еще новых ищете?

Мереке Абдрахманов
Алла Хошенко

отвлекусь немного. дела у меня. может и спишемся. улыбку — на ширину плеч и все будет замечательно!

Мереке Абдрахманов

и вам счастья и улыбок искренних

точно известно,что до Тель-Авива 2 часа на поезде,4 часа до Москвы и 90 минут до Н.Н.,ну и на такси 30 минут до желанной женщины.

Поделиться
Мереке Абдрахманов
Мереке Абдрахманов

тебя интересуют цифры,,а мне интереснее живая женщина..))

Мереке Абдрахманов
Мереке Абдрахманов
Виолетта Цораева

Интересно, что никто не читает ничьих ответов. Вы уже 10 раз сказал ответ, а народ заново считает.. )))))))))))

Поделиться
Алексей Ронин
Виолетта Цораева

Я условно сказала 10.. )))

Алексей Ронин
Любовь Хайдарова

12 раз это если вопрос конкретный и речь идёт о цифре, а если с подвохом и речь идёт о числе то 1 раз

Поделиться
Показать все комментарии
Любовь Хайдарова

9 19 29 39 49 59 69 79 89 90 99 где нашли ещё 8 девяток

Любовь Хайдарова

9 19 29 39 49 59 69 79 89 90 99 где нашли ещё 8 девяток

Мереке Абдрахманов
Любовь Хайдарова
Мереке Абдрахманов
Лариса Третьякова

Уравнение было очень сложным, но профессор с присущей ему скромностью назвал его обыкновенным.

Поделиться
Мереке Абдрахманов
Лариса Третьякова

Математику, физику и инженеру дали три одинаковых ластика и попросили определить их объем. Математик достал сантиметр и измерил длину окружности шарообразного ластика. Затем он разделил результат на 2 Пи, чтобы узнать его радиус. А затем по известной формуле вычислил объем ластика. Физик взял ровно один литр воды, бросил туда ластик и измерил объем вытесненной им воды. А инженер? Инженер просто записал артикул и ГОСТ ластика и затем посмотрел его объем в справочнике.

Анатолий Андреев

В тесятках — 9, вприбававим еденицы и цп первую цифру у предмоследнеего, получится : 11 ответ: 11

Поделиться
Мереке Абдрахманов
Анатолий Андреев

Тогда бесконечное колличество,тк не упоминалось о простых цифрах

Мереке Абдрахманов
Анатолий Андреев

Ну, разве что прибавлять цифры меж собой))

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ — 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Текст научной работы на тему «ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ — 2»

Sciences of Europe # 100, (2022)_73

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ — 2

Международная Академия информационных технологий, зав. кафедрой машинного обучения Санкт-Петербург

REPRESENTATION OF NUMERICAL INFORMATION — 2

International Academy of Information Technology, Head of the Department of Machine Learning

Saint-Petersburg DOI: 10.5281/zenodo.7049736

Вторая часть обзора публикаций автора и учеников, посвящённых системам счисления. ABSTRACT

The second part of the review of the author’s and students’ publications on number systems. Ключевые слова: системы счисления. Keywords: number systems.

Исторические прототипы систем счисления [7]

Десятичная система счисления ведет свою историю с Древнего Египта, то есть с IV тысячелетия до нашей эры. Она не была полноценной позиционной системой счисления. В ней были цифры для обозначения первых восьми степеней 10 (от единицы до миллиона). Подобно более поздней римской записи, каждую такую цифру повторяли нужное число раз (от 0 до 9).

В более позднем Египте появились иератические цифры. 36 иероглифов использовали в качестве символов для 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000 и 9000. Иератические цифры не формировали позиционную систему, поэтому отдельные цифры можно было писать в любом порядке.

Вавилонская клинописная система счисления использовалась на заре человеческой цивилизации — в III тысячелетии до нашей эры. Она сочетала три основания — 1, 10 и 60.

Ее появление вызвано сочетанием двух причин. Во-первых, при счете на пальцах можно фиксировать до 60 различных положений (косточек или суставов между ними). Во-вторых, 60 лет -наименьшее общее кратное периодов обращения вокруг Солнца всех планет Солнечной системы, доступных для наблюдения без оптических приборов. Поэтому именно 60 лет были периодом, на который составлялись древние астрономические календари. Шестидесятилетний цикл летоисчисления широко известен как восточный календарь (в двух вариантах — японском и китайском).

Для чисел от 1 до 9 использовались вертикальные клинья (палочки), как в единичной системе счисления. Для сокращения записи использовался угловой клин, заменявший 10 вертикальных. Угловой клин можно было повторять до 5 раз, а вместо 6 угловых клиньев вновь писался вертикальный, но

перед ними. Тем самым наборы от 1 до 9 вертикальных и от 1 до 5 угловых клиньев превращались в цифры (десятичные и шестидесятеричные). Еще один специальный символ (аналог нуля) использовался для указания пропуска пустых разрядов, т.е. для обозначения границы между шестидесятерич-ными классами, но лишь в тех случаях, когда без него запись числа могла бы стать двусмысленной.

Римская система счисления. С помощью семи цифр — 1=1, У=5, Х=10, Ь=50, С=100, Б=500, М=1000 — можно весьма успешно и довольно выразительно представлять натуральные числа в диапазоне до нескольких тысяч. Она продолжает ограниченно использоваться для указания порядковых числительных (часов, столетий, номеров съездов или конференций и т.п.).

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то она вычиталась.

Индейцы племени майя пользовались весьма замысловатой системой счисления. В ней единица второго разряда равна 5, единица третьего — 4 единицам второго разряда, четвертого — 18 единицам третьего, а единица каждого последующего разряда — 20 единицам предыдущего.

Славянская система счисления. Буквам старой славянской азбуки были присвоены цифровые значения: от 1 до 10, затем через 10 до 100 и через 100 до 1000. Используя не более трех букв можно было записать любое натуральное число от 1 до 1110. Славянская кириллическая нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке на основе предшествовавшей ей греческой.

Греческая система счисления, как и славянская, использовала буквы своего алфавита для обозначения цифр от 1 до 10, затем через 10 до 100 и т.д.

Алгоритмы арифметических действий «в столбик» с многозначными числами

Основание системы счисления может быть любым. В случае десятичной системы счисления всего полвека назад все эти алгоритмы обстоятельно изучались даже в начальной школе.

Слагаемые (их количество может быть любым) подписывают друг под другом так, чтобы одноимённые разряды оказались на одной вертикали. При необходимости в нужных местах следует вписать незначащие нули.

Начинают с самого младшего разряда. Если сумма всех цифр в нём превышает основание системы счисления, то возникает перенос в следующий разряд. Он равен целой части от деления этой суммы на основание системы счисления. А остаток записывают в качестве цифры итоговой суммы в этом разряде.

Затем последовательно переходят к каждому следующему разряду. Кроме цифр всех слагаемых, наравне с ними учитывают перенос из предыдущего разряда. Так до тех пор, пока разряды не закончатся.

Прежде всего, вычитать можно только меньшее из большего по абсолютной величине числа. Знак неравенство между ними определяет знак разности.

Как и в случае сложения, числа подписывают друг под другом так, чтобы одноимённые разряды оказались на одной вертикали. Недостающие разряды уменьшаемого в конце записи лучше сразу заполнить незначащими нулями.

Начинают с самого младшего разряда. Если цифра уменьшаемого в нём не меньше цифры вычитаемого, то их разность сразу записывают в качестве цифры итоговой разности. В случае противоположного неравенства приходится заимствовать единицу из следующего (непосредственно старшего) разряда. Чтобы не забыть о заимствовании, над цифрой следующего разряда ставят точку, указывающую на её уменьшение на 1. Заимствованную единицу «разменивают» на число единиц младшего разряда, равное основанию системы счисления, и добавляют к имеющейся в этом разряде цифре уменьшаемого. Так как в сумме получится число не меньшее основания системы счисления, то теперь уже ничто не мешает вычесть из него цифру вычитаемого.

Затем последовательно переходят к каждому следующему разряду. Так как в качестве уменьшаемого выбрано большее по абсолютной величине число, то заимствования заведомо не перейдут в несуществующие разряды (которые можно дополнить незначащими нулями в начале записи).

Если нужно сложить несколько чисел с разными знаками, то часто удобно сначала найти

суммы одинаковых по знаку чисел, а затем из большей вычесть меньшую. Важным исключением из этого правила является случай, когда есть пары близких по величине и противоположных по знаку чисел. Тогда начать лучше с них.

Наконец, ничего этого вообще не нужно делать в уравновешенных системах счисления. В них знак числа (слагаемого или результата) просто определяется по знаку первой цифры.

Обычно множители содержат относительно немного цифр. В этом случае первый множитель последовательно умножают на каждую цифру второго, а все полученные произведения складывают. Важно только не ошибиться с записью промежуточных результатов в нужных разрядах.

Если риск такой ошибки велик, то можно каждую цифру первого множителя умножить на каждую цифру второго. Взятое из таблицы умножения произведение двух цифр нужно записать в разряд, номер которого равен сумме номеров разрядов, из которых взяты эти цифры. При такой записи слагаемых окажется гораздо больше, зато в каждом из них не более двух цифр.

Сначала из начала записи делимого выделяют группу цифр, равную по длине записи делителя. Если записанное ими число меньше делителя, то добавляют ещё одну цифру. Выделенное число нацело делят на делитель, для чего нужно угадать однозначный результат деления.

Здесь возможна ошибка в любую сторону. В случае завышения цифры частного контрольное произведение оказывается больше выделенного числа, что указывает на необходимость уменьшить эту цифру. А в случае занижения цифры частного остаток (разность) получается больше делителя, что указывает на необходимость увеличить эту цифру.

Если цифра найдена верно, то её записывают в качестве очередной (на первом шаге — первой) цифры частного. Затем к остатку приписывают следующую по порядку цифру делимого. Если после её добавления получится число меньше делителя, то в качестве следующей цифры частного сразу пишут ноль. В противном случае подбирают следующую цифру частного, как описано абзацем выше.

Если частное не окажется целым числом (чего заранее знать нельзя), то деление может продолжаться неограниченно долго. Можно прервать его в любой момент, когда будет достигнута нужная точность. Но заведомо не следует продолжать вычисления после того, как остатки (и цифры частного) начнут периодически повторяться.

Извлечение квадратного корня

Сначала цифры числа группируют парами (начиная с нулевого разряда).

Затем из старшей пары извлекают квадратный корень с недостатком. Его значение записывают в качестве первой цифры результата, а сам квадрат вычитают из старшей пары, после чего записывают после разности следующую пару цифр. Для определённости назовём это выделенной группой.

Начиная со второго шага формируют вспомогательное число. На этом шаге оно двузначное (в соответствующей системе счисления), а первая цифра вдвое больше записанной цифры результата. Вторую цифру вспомогательного числа подбирают так, чтобы результат умножения вспомогательного числа на неё оказался меньше выделенной группы, но как можно ближе к ней.

Когда она найдена, вторую цифру вспомогательного числа записывают в качестве второй цифры результата. Результат умножения вычитают из выделенной группы, после чего приписывают после неё следующую пару цифр.

Наконец, к вспомогательному числу прибавляют цифру результата. Итог служит началом записи следующего вспомогательного числа, к которому точно так же нужно подобрать очередную цифру.

Проиллюстрируем этот алгоритм на примере нахождения первых цифр ^2 в десятичной системе. Так как 1

В исходном числе все цифры дробной части — незначащие нули. Разность 2—1=1. Приписав к ней пару нулей, получаем выделенную группу 100. Первая цифра вспомогательного числа — 2. Чтобы подобрать вторую цифру, замечаем, что 24-4=96

Разность 100—96=4. Приписав к ней пару нулей, получаем выделенную группу 400. Начало записи следующего вспомогательного числа — 24+4=28. Так как 281 1=281

Разность 400—281=119. Приписав к ней пару нулей, получаем 11900. Начало записи следующего вспомогательного числа — 281+1=282. Так как 2824-4=11296

Некоторые форматы представления чисел в микрокалькуляторах и компьютерах [7]

Запись в формате с фиксированной запятой

использовалась в первых электронно -вычислительных машинах (в частности, в советских «Урал-1»). Она позволяет представить числа, абсолютная величина которых не превосходит единицы, и притом лишь те из них, которые имеют данное фиксированное число двоичных или двоично-десятичных разрядов.

Нормализованная (инженерная, научная) форма записи чисел используется сейчас большинством микрокалькуляторов, компьютеров и иных вычислительных устройств. Запись числа состоит из двух частей — мантиссы и порядка, каждая из которых имеет свой собственный знак и строго определенное число десятичных (двоичных или иных) разрядов. Диапазон для мантиссы определен одним из двух правил. Чаще всего, она меньше единицы, но больше единицы следующего младшего разряда соответствующей системы счисления (как правило, десятичной или двоичной). Противоположное пра-

вило: мантисса больше единицы, но меньше единицы следующего старшего разряда (одновременно может действовать только одно из этих двух правил, но никак не оба сразу).

Сложные позиционные системы счисления [7]

Дата — время. Традиционный способ представления моментов и больших промежутков времени сочетает использование нескольких разных единиц измерения. При переходе от тысячелетий к векам, от них к десятилетиям, а затем к годам, вес разряда в записи даты изменяется в 10 раз. Год состоит из 12 месяцев, месяц — из 4 недель, неделя -из 7 суток. Сутки состоят из 24 часов, час — из 60 минут, а минута — из 60 секунд. Более мелкие интервалы времени, чаще всего, измеряют десятыми, сотыми, тысячными и т.д. долями секунды (хотя известно и об употреблении шестидесятеричного деления секунды и ее последующих долей). Таким образом, мы имеем здесь дело с системой счисления, сочетающей в себе сразу шесть различных оснований: 4, 7, 10, 12, 24 и 60.

Факториальная система счисления известна специалистам в теории чисел. В ней единица второго разряда равна 2, единица третьего — 3 единицам второго разряда, четвертого — 4 единицам третьего и т.д.: единица к-ого разряда равна к единицам предыдущего и имеет вес к! .

Фибоначчиевская система счисления известна еще более узкому кругу специалистов. В ней вес к-ого разряда равен к-ому числу из последовательности Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ., в которой каждый очередной член равен сумме двух предыдущих. Это позволяет не только использовать всего 2 цифры — 0 и 1, но и дополнительно потребовать, чтобы нигде в записи числа две единицы не стояли рядом. Так как в итоге единицы встречаются в записи числа сравнительно редко, то это существенно облегчает вычисления.

Примеры итерационных систем счисления Золотая система счисления [3]

Найдём наиболее «простые» элементарные функции, пригодные для создания итерационных систем счисления. Как и выше, оставим в силе соглашение о том, что все формульные выражения для g(x) действуют лишь при х>0, а на отрицательную полуось распространяются требованием четности g(x).

Прежде всего, обратимся к дробно-линейным функциям.

Самым простым является выбор g(x)=x-(1/x). Без дополнительных усилий здесь, кроме всех необходимых условий, выполнено требование нормировки: g(1)=0. А уравнение g(x)=1 приводит к уравнению золотого сечения x2-x-1=0, чем и оправдан выбор названия этой системы счисления.

К тому же самому выбору привела и другая попытка: поиск g(x) среди суперпозиций тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Требование монотонности g(x) для x>0 выделяет арктангенс и ветви тангенса. Чтобы вписаться

в необходимые для g(x) условия, нужны еще и линейные замены по обеим осям. В итоге самым простым из приемлемых формульных выражений оказалось g(x)=-2ctg(2arctgx). Преобразование его к виду x—(1/x) — тождество из числа «подарков абитуриенту технического вуза».

Найдем базовые точки деления числовой оси для золотой системы счисления. Как обычно, на стартовом уровне это число 0, а на первом: -1 и +1. Запись нуля — O, единиц — NO и PO. Первая цифра в записи любого числа указывает на его знак, а вторая — на знак порядка. Базовые точки второго уровня — корни золотого сечения: (±1±V5)/2 (все 4 комбинации знаков), их запись — NNO, NPO, PNO и PPO (в порядке возрастания). Базовые точки последующих уровней находятся из уравнения g(x)=b, где b — любая из базовых точек предыдущего уровня. Все эти уравнения — квадратные, что позволяет находить цифры записи числа в золотой системе счисления значительно быстрее и проще, чем в башенных.

Система счисления Штерна-Броко [1]

Прежде всего, уточним обозначения. Как и во всех интервальных системах счисления, для записи числа используем три цифры — N, O и P со значениями -1, 0 и +1 соответственно (цифра O используется только в качестве признака конца записи точного числа). По умолчанию, ниже любая такая запись будет относиться именно к системе счисления Штерна-Броко [2]. Если через X обозначено некоторое слово из букв N и P, а k — натуральное число, то Xk обозначает k-кратную конкатенацию (повторную запись) слова X. В частности, Nk и Pk — слова, состоящие из k одинаковых букв.

Теорема 1. Система счисления Штерна-Броко является итерационной системой счисления с порождающей функцией f(x)=( | x |+i)sign(x)

Здесь sign(x) обозначает знак числа x. Формула для f(x) равносильна следующему условному оператору: если x>0, то f(x)=x+1, иначе f(x)=1/(1-x). Обратную функцию g(y) («аналог логарифма») также удобнее представить условным оператором: если | y |>1, то g(y)=| y | —1, иначе g(y)=1—1/| y |. Итерации f(x) порождают дерево базовых точек системы счисления Штерна-Броко.

Перечислим базовые точки высших уровней. Вершина дерева O=0 — единственная базовая точка нулевого (стартового) уровня. На первом уровне лежат две точки: P0=f(0)=1 и N0=-f(0)=-1 . На втором — четыре: NNO=-f(f(0))=-2, NPO=-f(-f(0))=-1/2, PN0=f(-f(0))=1/2, PP0=f(f(0))=2. Далее, аналогично, если x — базовая точка какого-то уровня, то f(x) и -f(x) — базовые точки следующего уровня.

Была составлена и реализована программа вычисления базовых точек системы счисления Штерна-Броко. Результаты вычислений проанализированы и обобщены, а выводы сформулированы в виде следующих теорем и их следствий (которые были доказаны уже для произвольного уровня дерева базовых точек).

Теорема 2. Любое натуральное число n является базовой точкой n-ого уровня системы счисления Штерна-Броко (номер уровня равен самому числу) и записывается в ней словом PnO. Тем самым, система счисления Штерна-Броко может считаться расширением единичной («палочной») системы счисления.

Следствие. Nn0=-n, PNn0=1/n, NPn0=-1/n.

Последняя дробь называется медиантой дробей p/q и r/s . Среди всех рациональных чисел, лежащих между x и z именно она имеет наименьший знаменатель.

Следствие 3.1. Если переписать в порядке возрастания все базовые точки системы счисления Штерна-Броко, значения которых лежат между 0 и 1, а уровень не превосходит данного натурального числа n, то в точности получится n-ый ряд Фарея.

Следствие 3.2. Все рациональные числа и только они являются базовыми точками системы счисления Штерна-Броко.

Следствие 3.3. Дроби, числитель и знаменатель которых являются соседними числами Фибоначчи образуют в дереве базовых точек системы счисления Штерна-Броко бесконечный нисходящий зигзагообразный путь: 0=0/1, P0=1/1, PN0=1/2, PNP0=2/3, PNPN0=3/5, PNPNP0=5/8, (PN)30=8/13, (PN)3P0=13/21 и т.д. Другой аналогичный путь образуют дроби, числитель и знаменатель которых стоят в ряду Фибоначчи через номер: 0=0/1, PN0=1/2, PNN0=1/3, PNNP0=2/5, PNNPN0=3/8, PNNPNP0=5/13, PNNPNPN0=8/21 и т.д.

Логарифмическая тригонометрия [5]

Зафиксируем произвольное b>eA(1/e) в качестве основания логарифмирования и основания башенной системы счисления. Далее у всех функций, обозначения которых начинаются с буквы l, подразумевается (но для удобства печати опущен) нижний индекс b.

Построим отображение расширенной (символом да без знака) числовой оси на стандартную окружность. С этой целью введём функцию «логарифмический аргумент» (по выбранному основанию b). Прежде всего, 1а(да)=0. Далее для всех базовых точек башенной системы счисления с основанием b индукцией по их уровням используем следующее правило удвоения аргумента:

В частности, имеем

— на нулевом уровне: la(0)=n,

— на первом уровне: la(1)=n/2, la(-1)=3n/2,

— на втором уровне: la(b)=n/4, la(1/b)=3n/4, la(-1/b)=5n/4, la(-b)=7n/4,

— на третьем уровне: la(bAb)=n/8, la(bA(1/b))=3n/8, la(bA(-1/b))=5n/8, la(bA(-b))=7n/8,

la(-bA(1/b))=13n/8, la(-bAb)=15n/8 и т.д.

Так как логарифм базовой точки является базовой точкой предыдущего уровня, то последовательное применение правила удвоения аргумента позволяет определить la(x) для всех базовых точек. Неравенство b>eA(1/e) нужно здесь для того, чтобы не нарушался порядок точек на числовой оси. Именно для таких b неравенство log x
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Легко видеть, что образы базовых точек k-ого уровня представляют собой дроби со знаменателем 2Ak, в числителях которых п умножается на все нечётные числа, меньшие 2A(k+1) . Чётным же числителям соответствуют базовые точки предыдущих уровней (их номер зависит от того, сколько двоек сократится). Так как при переходе к каждому следующему уровню расстояния между образами соседних базовых точек сокращаются вдвое, то все они (в совокупности по всем уровням) образуют всюду плотное подмножество на интервале [0, 2п] и соответствующей ему окружности. Следовательно, с сохранением монотонности (убывания) и непрерывности можно однозначно распространить la(x) на произвольные вещественные числа x. При этом правило удвоения аргумента останется в силе.

Термин «аргумент» отсылает к тригонометрической форме представления комплексного числа eAla(x)i, вещественную и мнимую части которого назовём соответственно логарифмическим косинусом lc(x) и логарифмическим синусом ls(x). Известные из школьного курса формулы превращаются в:

lc(log x)= lc2(x)-ls2(x)= 2lc2(x)-1= 1-2ls2(x)

и ls(log x)= 2lc(x)ls(x) .

Представление на окружности превращает операцию логарифмирования в двойное наматывание этой окружности на себя. Так как длина любой дуги при этом удваивается, то рано или поздно она превысит длину полуокружности. Отсюда следует изящное доказательство того факта, что последовательное применение операции log(abs(x)) к двум разным числам обязательно на некотором шаге даст результаты разных знаков. Этот факт, весьма важный для обоснования корректности представления чисел в башенных системах счисления, был анонсирован автором ещё в 1997г. [4], но первоначальное весьма громоздкое доказательство не было опубликовано.

20 лет назад была иллюзия, будто компьютерная отрасль немедленно использует информационные системы счисления [6]. Действительно, башенные системы счисления имеют целый ряд преимуществ в сравнении с основными. Они качественно расширяют диапазон доступных для вычисления чисел и более компактно хранят информацию о них. Отсутствие реакции отрасли тогда можно было объяснить её собственными успехами и интересами рынка. Не было смысла заниматься перестройкой производства в ситуации, когда основные параметры вычислительных машин (быстродействие и объём памяти) ежегодно росли примерно в 4 раза.

Позднее выявилась более глубокая причина. В башенных системах счисления нет простых алгоритмов типа вычислений в столбик. Конечно, остаётся путь перевести числа из башенной системы счисления в основную, провести вычисления в ней, а результат перевести обратно в башенную систему счисления. Но этот путь в принципе невозможен для чисел, записываемых в основных системах счисления гигабайтами цифр.

Классический математический анализ разработал методы вычисления элементарных и специальных функций с помощью их разложения в степенные ряды. При этом операция возведения в степень является итерацией умножения, умножение является итерацией сложения, а сложение является итерацией многократного добавления единицы. Это означает, что вычисление любой функции можно запрограммировать в виде сложного четырёхуровневого цикла, внутри которого будет использоваться только операция «+1». Заметим, что и счётчик цикла использует только операцию «+1».

В случае же башенной системы счисления вместо «+1» в роли простейшей элементарной операции выступает логарифмирование (а также обратная к нему операция возведения Ь в произвольную степень). Встаёт задача построения «логарифмического анализа» — новой системы специальных функций и алгоритмов их вычисления. В том числе, многоуровневых итераций операций логарифмирования и возведения Ь в степень. Введённые здесь функции 1а, 1с и к — первый шаг в этом направлении.

Признаки делимости в основных системах счисления

Делимость на основание, его степени и их делители

В системе счисления с основанием d наиболее прост признак делимости на d. Для этого необходимо и достаточно, чтобы запись числа заканчивалась нулём.

Чтобы вывести из него признак делимости на удобно рассмотреть двойную систему счисления с основаниями dk и d. Так как ноль в системе счисления с основанием dk при переходе к основанию d превращается в к нулей подряд, то для делимости на dk необходимо и достаточно, чтобы запись числа заканчивалась (не менее чем) к нулями.

Если число делится на d, то оно делится и на любой делитель г этого d. При этом делимость не утратится, если к последней цифре добавить г. Значит, для делимости на г необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра в записи числа в системе счисления с основанием d делилась на г.

Наконец, вернувшись к двойной системе счисления с основаниями dk и d, получим признаки делимости на делители dk . Если теперь г обозначает делитель dk , то для делимости на г необходимо и достаточно, чтобы делилось на г число, образованное k последними цифрами в записи проверяемого числа в системе счисления с основанием d .

В частности, в десятичной системе счисления получаем хорошо известные признаки делимости на 10, 2, 5 ^=1), 100, 4 ^=2), 1000 ^=3) и др.

Делимость на число, на единицу меньшее основания, и его делители

Рассмотрим теперь делимость на d—1. Так как в системе счисления с основанием d само d записывается как 10 и даёт при делении на d—1 остаток 1, то все степени d тоже при делении на d—1 дадут остаток 1. Если в записи 10к заменить первую 1 произвольной цифрой т, то при делении на d—1 получим в остатке именно это т.

Теперь разобьём запись произвольного числа в системе счисления с основанием d на разрядные слагаемые (в каждом из них нулями являются все цифры, кроме первой). Каждое слагаемое при делении на d—1 даст в остатке соответствующую цифру.

Значит, остаток при делении проверяемого числа на d—1 будет точно таким же, как и у его суммы цифр.

Следовательно, данное число делится на d—1 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на d—1.

Рассмотрим теперь делимость на г, служащее делителем d—1. Если данное число делится на d— 1, то оно делится и на г. При этом делимость на г не утратится, если добавить г к любой цифре. При таком добавлении на г увеличится и сумма цифр. Если же в результате добавления г происходит переполнение разряда, то из суммы цифр вычитается d—1, что сохраняет делимость суммы цифр на г. Резюмируя, получаем следующий признак.

Если г является делителем d—1, то проверяемое число делится на г тогда и только тогда, когда делится на г его сумма цифр в системе счисления с основанием d.

Делимость на произвольное простое число

Пусть р — произвольное простое число. Возможны два случая. Первый, когда р является делителем dk при каком-либо к, уже рассмотрен выше. Если это не так, то из малой теоремы Ферма следует, что р является делителем dk —1 при каком-либо к. Остаётся применить признак из предыдущего абзаца к двойной системе счисления с основаниями dk и d.

Отсюда следует возможность сформулировать признаки делимости на любое простое число в любой основной системе счисления. Чтобы проверить делимость, нужно найти подходящее к, разбить запись числа в системе счисления с основанием d на группы по к цифр (начиная с конца записи) и сложить все эти числа. Проверяемое число делится на г тогда и только тогда, когда делится на г сумма этих чисел. Ясно, что практическое использование этого признака зависит от того, сколь большим окажется к.

Сумма цифр числа, делящегося на данное число Постановка задачи

Через s(n,d) обозначим сумму цифр натурального числа п в системе счисления с основанием d . Ищем минимум ^к^) этой суммы на множестве ^к) натуральных чисел п, делящихся на данное число к.

Существование минимума очевидно, хотя в отдельных случаях минимум достигается при весьма больших п. Все примеры будут относиться к Ц(к)=^к,10), но этот случай ничем не выделяется среди остальных (он ничуть не проще других, однако и не сложнее).

Частные случаи рассматриваемой задачи предлагались на состоявшейся в апреле 2002г. международной дистанционной математической олимпиаде «Третье тысячелетие». В разных вариантах там предлагалось найти ^к) для к= 5, 6, 7, 8, 9, 55, 66,

77, 88, 99, 555, 666, 777, 888, 999 и 2002 .

Первая тысяча значений ^к) выложена в формате галереи Web-страниц по ссылкам с http://digitsum.narod.rU/T/Index.htm . Ниже важное из их вычислений.

Описание алгоритма Первый этап

Пронаблюдаем за последовательностью 1, d, 2 3 п

d , d , . d , . по модулю к. Простейший случай: когда в ней встретится 0 (ясно, что и после него будут только одни нули).

Ясно, что это случится тогда (и только тогда), п

когда d делится на к при некотором п, и приведет к результату ^к^)=1.

Основной случай: когда в последовательности 2 3 п 1, d, d , d , . d , . по модулю к нулей нет.

Так как число различных остатков при делении на к конечно, то последовательность по модулю к должна зациклиться. Цикл не обязан вернуться к 1 (т.е. может начаться не с самого начала, как в десятичной дроби 1/6=0,1666. ).

Здесь интереснее другое: содержит ли последовательность максимально возможный остаток

к>1. Если ДА, то это означает, что d +1 делится на к при некотором натуральном п. Ясно, что в этом случае ^к4)>2 .

Рассмотренный ранее вариант для этой

серии тоже возможен, хотя и является редчайшим исключением. Важнее другое: в оставшихся случаях всегда ^к^)>2 .

Прежде всего, формализуем два предыдущих этапа.

Последовательность 1, d, d , d , . d , . по модулю к нет нужды выписывать всю сразу. Доста-0

точно начать с г=1 ( =d — это стартовое значение текущего остатка), а затем на каждом шаге цикла умножать г на d и приводить по модулю к. Предыдущие этапы алгоритма сводятся лишь к проверке условий г=0 и г=к-1. Как только какое-то из них выполнится, мы сразу же перейдем к соответствующему из двух предыдущих случаев и сделаем итоговый вывод: Ц(к^)=1 или ^к^)=2.

Однако ни одно, ни другое из условий (г=0 или г=^1) может никогда не наступить. Поэтому возникает вопрос, когда нужно прервать цикл.

Здесь есть две возможности. Во-первых, как уже сказано, должна зациклиться последовательность остатков по модулю к. Поэтому в качестве условия выхода из цикла можно выбрать повтор ранее встречавшегося остатка. Так как список остатков может оказаться достаточно длинным (до к-1), а его просмотр соответственно долгим, то удобнее завести массив Ь[0:к] битов, указывающих, был ранее использован ли данный остаток. Итак, первоначально установим все Ь(1)=0. Получив каждое очередное значение г, начинаем с проверки Ь(г). Если Ь(г)=0, то остаток г встретился впервые, поэтому заменим Ь(г) на 1. Если же Ь(г)=1, то остаток г появился уже не в первый раз, следовательно, цикл нужно прервать.

Другую возможность прервать цикл дает замечание, что при делении на к не может получиться более к различных остатков. Поэтому достаточно фиксировать лишь номер п текущего шага и прервать цикл по условию п>к.

Четвертый этап Итак, прерывание цикла на предыдущем этапе

означает, что в последовательности 1, d, d , d , . п

d , . по модулю к не встретились (и уже никогда не появятся) ни нули, ни к-1. Отсюда следует, что на к не делятся не только сами члены последова-2 3 п

тельности 1, d, d , d , . d , . но и никакие их попарные суммы. Поэтому ^к^)>2.

Чтобы найти ^к^), можно составлять суммы по 3 остатка, по 4, по 5 и так до тех пор, пока одна из них не окажется равной нулю по модулю к. На каком шаге это произойдет, таким и будет Рано или поздно, но это обязательно случится.

Например, в силу очевидного неравенства t(k,d)

Технически реализовать это можно по-разному. Но любом случае вместо списка самих остатков (который на каждом шаге неизбежно придется упорядочивать) лучше иметь дело либо с битовыми массивами, аналогичными b[0:k], но отвечающими каждому из этих шагов, либо превратить b[0:k] в массив целых чисел, записывая в b(r) номер шага, на котором впервые встретился остаток r. В последнем случае на шаге с номером m нужно выбрать все номера r, для которых b(r)=m-1, затем каждый такой номер сложить с каждым (из выбранных на втором шаге) номером q, для которого b(q)=1, и, если b(r+q)=0, то заменить этот ноль на m. Номер r+q нужно все время приводить по модулю k. И, как только появится r+q=0 по модулю k, прервать цикл и выдать текущее значение m в качестве итогового t(k,d).

Первые два этапа алгоритма реализованы в таблице Excel, размещённой на

http://digitsum.narod.ru/R/1129.xls . Чтобы ею воспользоваться, нужно ввести k в ячейку D1, а d (если оно не 10) — в ячейку B1. Тогда в первом столбце Вы

увидите последовательность 1, d, d , d , . d , . по модулю k. Если k>1129, то таблицу нужно продлить до k строк (чтобы это сделать, достаточно выделить несколько последних строк, мышью навести курсор точно на правый нижний угол выделения и протянуть его вниз до k-ой строки.

Последующие этапы алгоритма реализованы на Паскале. Проведены вычисления t(k) для k

Первая сотня значений t(k) — таблица (в заголовках строк указаны десятки, а в заголовках столбцов — единицы двузначного числа k; значение t(k) находится в пересечении соответству-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 1 3 1 1 3 2 1 9

1 1 2 3 2 2 3 1 2 9 2

2 1 3 2 2 3 1 2 9 2 2

3 3 3 1 6 2 2 9 3 2 3

4 1 5 3 3 2 9 2 2 3 2

5 1 3 2 3 9 2 2 3 2 3

6 3 2 3 9 1 2 6 3 2 3

7 2 3 9 2 3 3 2 2 3 4

8 1 9 5 3 3 2 3 3 2 2

9 9 2 2 3 2 2 3 2 2 18

Просмотр таблицы с найденными значениями ^к) позволяет заметить ряд закономерностей.

В подавляющем большинстве клеток таблицы встречаются лишь четыре разных значения ^к). Это 1 (простейший случай и соответствующий ему первый этап алгоритма), 2 (простой случай и соответ-

ствующий ему второй этап алгоритма), 3 и 9 (признаки делимости). Редким признакам делимости (на 33 и 99) соответствуют разовые значения 6 и 18. Наконец, значение 3 встречается также для к, не делящихся на 3 (третий этап алгоритма).

От этой массовой закономерности в первой сотне значений отклоняются лишь три: ^41)=5,

t(79)=4, а также t(82)=5, являющееся следствием первого из них.

Если далее рассматривать лишь простые k, то среди первой тысячи значений t(k) резко выделяется также t(239)=7.

В большинстве задач теории чисел интерес представляют только простые числа (иногда еще и их степени). В этой же задаче есть и составные k, для которых поиск значения t(k) приводит к нестандартному выводу.

Первым из таких k является 123. Так как оно делится на 41, то t(123) не меньше, чем t(41), то есть 5. Однако есть другая причина, из-за которой t(123) не может быть равным 5. Так как 123 делится на 3, то и t(123) должно делиться на 3. Поэтому t(123)>5. Ясно, что t(123)=6.

Следующий аналогичный пример — k=717. Так как оно делится на 239, то t(717) не меньше, чем t(239), то есть 7. Однако, так как 717 делится на 3, то и t(717) должно делиться на 3. Поэтому t(717)>7. Утроив 717, получим число 2151, для которого s(2151)=9, что приводит к выводу t(717)=9.

1. Phedotov P.V. Farey and Fibonacci Fractions in Stern-Brocot’s Numeration. // Политехнический симпозиум «Молодые ученые — промышленности Северо-Западного региона». Секция «Численные методы и математическое моделирование». СПб, 2006. Стр. 69-70.

2. Кноп К.А. Недвоичная система счисления. // Домашний компьютер, 2001, N8.

3. Кравченко А.А., Кравченко С.П. Золотая система счисления. // Актуальные проблемы современной науки. Ч. 1. — Самара, 2001. — с. 38.

4. Федотов В.П. Башенные системы счисления. — В сб. «Информационные технологии в образовании. К 80-летию РГПУ им. Герцена». СПб, 1998.

5. Федотов В.П. Логарифмическая тригонометрия. — В сб. «Наука сегодня: теория и практика». -Вологда: ООО «Маркер», 2017 — ISBN 978-5906850-59-1 — с. 7-9.

6. Федотов В.П. Новые системы счисления как альтернатива интервальным вычислениям. // Межд. конф. по мягким вычислениям и измерениям SCM-2003. СПб, 2003.

7. Федотова М.В. Информационные системы счисления. // Межд. конф. «Интел-Юниор, 2001». М., МИФИ, 2001.

8. Phedotov P.V. Сумма цифр числа, делящегося на данное число. — Доклад на 12 Сахаровских чтениях, Санкт-Петербург, Академический университет, 2002. — http://digitsum.narod.ru.

9. Phedotov P.V. Дроби Фарея и Фибоначчи в системе счисления Штерна-Броко. — Доклад на Политехническом симпозиуме «Молодые ученые -промышленности Северо-Западного региона». Секция «Численные методы и математическое моделирование». СПб, 2006. Стр. 69-70. -https://studydoc.ru/doc/117335;

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

http ://pandia. org/text/77/479/52242-2.php.

10. Баранова Н.В. Почти ступенчатость представления вещественных чисел в башенных системах счисления. — Доклад на 5-ой Международной конференции молодых учёных, посвященной памяти С.Н. Бернштейна. — Санкт-Петербург, СПбГУ,

11. Баранова Н.В. Итерационные системы счисления. — Доклад на 6-ой Международной конференции молодых учёных, посвященной памяти С.Н. Бернштейна. — Санкт-Петербург, СПбГУ,

12. Баранова Н.В. Итерационные системы счисления. — Доклад на 2-ой Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки». — Самара, 2001.

13. Кноп К.А. Недвоичная система счисления. // Домашний компьютер, 2001, N8. -https://web.archive.org/web/20070312094803/http://n ew.homepc.ru/offline/2001/62/12455.

14. Кноп К.А. Дерево Штерна — Броко. -http://ru-

wiki.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5 %D0%B2%D0%BE_%D0%A8%D1%82%D0%B5% D1%80%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%91 %D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%BE.

15. Кравченко А.А. Золотая система счисления. — Доклад на 2-ой Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки». — Самара, 2001. -http ://aakravchenko. narod. ru/SAMARA/1. htm.

16. Кравченко А.А. Свойства двоичной логарифмической высоты. — Доклад на 3-ей Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки». — Самара, 2002. -http ://aakravchenko. narod. ru/SAMARA/2. htm.

17. Кравченко Ю.А. Информационная уравновешенная троичная система счисления. — Доклад на 3-ей Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки». — Самара, 2002. -http://yakravchenko.narod.ru/S3/Lhtm.

18. Федотов В.П. Логарифмическая тригонометрия. — В сб. «Наука сегодня: теория и практика».

— Вологда: ООО «Маркер», 2017 — ISBN 978-5906850-59-1 — с. 7-9. -http://volconf.ru/files/archive/01_30.08.2017.pdf.

19. Федотова М.В. Информационные системы счисления. — Доклад на конкурсе «Интел-Юниор-2001» — Москва, МИФИ, 2001. -http://www.mashavph.narod.ru/Intel01/0.htm.

20. Федотова М.В. Интервальные системы счисления. — Доклад на 2-ой Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки». — Самара, 2001.

21. Федотова М.В. Степени матриц с неотрицательными целыми элементами. — Доклад на конкурсе «Интел-Юниор-2002» — Москва, МИФИ, 2002. — http://www.mashavph.narod.ru/Intel02/1.htm.

22. Федотова М.В. Логарифмическая высота. -Доклад на 3-ей Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки». — Самара, 2002. -http://www.mashavph.naгod.гu/Samaгa02/1.htm.

23. Федотова М.В. Классификация систем счисления. — Доклад на 7-ой Международной кон-

ференции памяти П.Л. Чебышева. — Санкт-Петербург, СПбГУ, 2002. —

Число

В повседневной жизни, в математике, в точных науках почти повсеместно используются числа. При помощи чисел происходит измерение различных величин. Числа помогают количественно характеризовать различные свойства предметов. Например, цены на продукты в магазине, массу и габариты предметов вокруг нас, возраст людей, расстояние между городами и т. п. Всё это и не только это выражается с помощью чисел. При помощи чисел даже можно описать настроение человека, например, по шкале от 1 до 10, где 1 — очень грустный, 10 — очень радостный. Собственно математика (как наука, изучающая числа) берет своё начало со счета, а уже далее используются буквенные выражения и параметры. Но начинается все именно со счета, точнее с устного счета. Без чисел было бы весьма затруднительно ввести градацию чего-либо, сложно было бы производить сравнения. Например, если бы не было меры массы тела в граммах, выражающейся конкретным числом грамм, то люди бы описывали предметы только как легкие, более легкие, тяжелые, очень тяжелые, чрезвычайно тяжелые и т. д. Это бы значительно затруднило общий прогресс и развитие человеческой цивилизации.

• 1 Виды чисел
• 2 Системы счислений. Десятичная и двоичная системы
• 3 Названия больших чисел
• 4 Простые числа
• 5 Специальные числа: Пи, e
• 6 Признаки делимости
• 7 Средние значения
• 8 Примечания
• 9 Литература

Виды чисел

Имеется большое количество различных видов чисел. От наиболее простых натуральных, известных каждому ребёнку, до весьма сложных и специфичных комплексных, изучаемых в специальных разделах математики, физики. Ниже приводятся определения различных чисел. Перед этим важно отметить, что все числа определённого вида образуют в совокупности множество таких чисел. Например, множество простых чисел. Строго говоря, понятия число и множество чисел — разные понятия. Также, если не оговорено противное, термины «числа» и «множество чисел» — будут являться синонимами.

• Натуральные числа — числа используемые при счете: 1, 2, 3, 4, … Это самые простые числа, которыми начинает пользоваться каждый ребёнок ещё в детском саду, осваивая технику устного счета до 10. Множество всех натуральных чисел обозначается обычно латинской буквой N.
• Целые числа — это натуральные числа, а также число 0, и отрицательные числа вида −1, −2, −3, …. Можно сказать, что множество целых чисел образуется как множество натуральных чисел, дополненное множеством натуральных чисел, взятых со знаком минус, а также числом 0. Очевидно, что целых чисел больше, чем натуральных чисел. Хотя, и тех и тех — бесконечное количество. Сразу сделаем оговорку, что сравнивать количество двух бесконечных множеств не так-то просто. Порой сравнение таких множеств требует специальных навыков и знаний из области высшей математики. Множество целых чисел обозначается буквой Z.

• Положительные числа — это любые числа, не только натуральные, большие нуля. Например, 3 >> , 5,75 и т. п.
• Отрицательные числа — это любые числа, которых бесконечное множество, меньшие нуля. Необходимость введения отрицательных чисел появляется, чтобы, например, иметь возможность выражать температуру воздуха, когда на улице мороз. Также отрицательные числа начали употребляться на практике, когда нужно было говорить о денежном долге или недостаче, например, долг в 10 рублей удобно обозначить через −10 руб.
• Неотрицательные числа — это множество положительных чисел, а также число 0.
• Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби m / n , где m и n — целые, при этом n не равно 0. При этом множество рациональных чисел включает в себя множество целых чисел, так как любое целое число Z представляется в виде Z / 1 . Множество рациональных чисел обозначается символом Q.
• Десятичные дроби — это числа, которые можно записать в виде m/n, где n- степень числа 10, например, 3 / 100 или 7 / 10000 . Для таких дробей существует десятичный вид записи. Для наших примеров это будет соответственно 0,03 и — 0,0007.
• Бесконечные периодические десятичные дроби — это дроби вида 0 , 33 ( 3 ) или 0 , 25 ( 25 ) . Здесь в скобках записывается сам период. Важно отметить, что каждая такая дробь есть число рациональное. Например, периодической дроби 0 , 33 ( 3 ) соответствует обыкновенная дробь 1 / 3 .
• Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными. Примером таких чисел могут быть бесконечные непериодические десятичные дроби. Например, дробь 0,1234567891011121314… где после запятой последовательно записываются все натуральные числа не является периодической и является иррациональным числом. Также на практике иррациональные числа появились, когда нужно было посчитать диагональ квадрата со стороной 1. По теореме Пифагора данная диагональ составляет 2 >> , что не является рациональным числом. В самом деле, если предположить что 2 = m / n >=m/n> и дробь m / n — несократимая, то возведя обе части равенства в квадрат получим m 2 = 2 ∗ n 2 =2*n^> . Отсюда следует вывод, что m — четное число. Но тогда получим что и n- число четное, что противоречит несократимости исходной дроби. На самом деле любое число вида N >> , где N — не является квадратом числа, является иррациональным.
• Действительные (или вещественные) числа — это множество рациональных и иррациональных чисел. Графически множество действительных числе представляется как числовая прямая. Множество действительных чисел обозначается буквой R. Сделаем важную оговорку, что до сих пор здесь выше по тексту обсуждались только действительные числа.
• Комплексные числа — числа вида a + b ∗ i , где a, b — вещественные числа, i — мнимая единица, то есть число, квадрат которого дает единицу. Здесь принято называть a — действительная часть, b — мнимая часть комплексного числа. Графически множество комплексных числе представляет собой плоскость. Для того чтобы это представить, действительную часть (ее обозначают Re) числа можно откладывать по оси абсцисс, а мнимую часть (Im, от латинского imaginarius — мнимый)— по оси ординат. В этом представлении комплексные числа похожи на вектора на плоскости. На рисунке можно видеть комплексное число 3 + 2 ∗ i .

изображение комплексных чисел на плоскости

Для комплексных чисел также можно искать длину (или модуль) [1] числа = a 2 + b 2 +b^>>> . Легко видеть, что в случае b = 0 получаем подмножество всех действительных чисел. Иными словами, каждое действительное число является комплексным числом с нулевой мнимой частью. Возникновение комплексных чисел связано, например, с необходимостью решений квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Хоть комплексных чисел и бесконечное количество, все решает одно единственное число (мнимая единица) i. Комплексные числа нельзя сравнивать на больше меньше между собой, нельзя сравнивать с нулем. Можно лишь отдельно сравнивать мнимые и действительные части числа. Множество комплексных чисел обозначается символом C. Взаимосвязь перечисленных выше множеств чисел N, Z, Q, R, C представлена на рисунке 1.

• Проценты — это сотая часть числа, в переводе с латыни pro centum — «сотая часть». Говорят, когда-то у наборщика сломалась литера, в результате чего возник этот причудливый знак %, признанный затем во всем мире. Запись отношений стала удобнее, исчезли нуль и запятая, а символ % сразу указывает, что перед нами относительная величина, а не граммы, литры, рубли или метры [2] . В наши дни процент часто рассматривают как специальную запись любого числа. Например, число 136 можно записать как 13600 %.
• Промилле — тысячная доля числа или 0,1 % какого-либо числа. Данный вид числа также носит относительный характер, как и проценты. Например, 0,003 составляет 3 промилле. Промилле обозначается специальным символом ‰ ;

символ для обозначения промилле

• Аликвотные дроби — это дроби вида 1 / n , где n — натуральное число. Название термина произошло от латинского «aliquot» — несколько. Древние египтяне именно таким дробям отдавали предпочтение, за исключением дроби 2 / 3 . Интересными задачами были представление какой-либо дроби в виде суммы аликвотных дробей. Например, 2 / 43 = 1 / 42 + 1 / 86 + 1 / 129 + 1 / 301 .
• Алгебраические числа — это числа, являющиеся корнями различных уравнений вида a n ∗ x n + . . . + a 1 ∗ x + a 0 = 0 *x^+. +a_*x+a_=0> , где a i > — целые.
• Трансцендентные числа — действительные числа, не являющиеся алгебраическими. Сюда относятся, например, числа π и е.

Системы счислений. Десятичная и двоичная системы

В повседневной жизни нас окружают числа, состав которых записывается через цифры от 0 до 9. Иными словами, используемых цифр в записи числа всего десять. Поэтому общепринятая система счисления называется десятичной позиционной системой счисления. Она называется позиционной системой счисления, так как значение числа зависит от позиции цифр, используемых в нём (чем левее стоит цифра в записи числа, тем больше её вклад в величину числа). При этом 10 — в данной системе счисления является основанием. С другой стороны для понимания значимости числа 10 в данной системе счисления, приведем тот факт, что любое число можно разложить в сумму его разрядов, то есть по десяткам, сотням, тысячам и т. д. Например, число 2537 = 2 ∗ 1000 + 5 ∗ 100 + 3 ∗ 10 + 7 ∗ 1 = 2 ∗ 10 3 + 5 ∗ 10 2 + 3 ∗ 10 1 + 7 ∗ 10 0 +5*10^+3*10^+7*10^> . При этом цифры, используемые в записи исходного числа, будут коэффициентами в этом разложении. Данное разложение любого числа будет стандартным в десятичной позиционной системе счисления.

В то же время свое применение находят и другие системы счисления. Если в качестве основания системы счисления использовать не 10, а 2, то получится запись чисел уже в двоичной системе счисления. При этом цифрами в двоичной системе счисления будут только 0 и 1, а любое число будет записываться при помощи нулей и единиц. Например, число 1101 в двоичной системе [3] будет 1 ∗ 2 3 + 1 ∗ 2 2 + 0 ∗ 2 1 + 1 ∗ 2 0 = 8 + 4 + 1 = 13 +1*2^+0*2^+1*2^=8+4+1=13> в десятичной системе счисления. Получается, что число 13 в десятичной системе имеет 2 разряда для записи, а в двоичной системе целых 4 разряда, так как различных цифр для записи числе всего две. Использование двоичной системы счисления нашло свое применение в персональных компьютерах и вычислительной технике, где для данной ячейки ноль — это отсутствие сигнала, а 1 — его наличие. Вообще говоря можно использовать любое основание (целое положительное число, большее единицы) в качестве системы счисления. Алгоритм и логика остаются такими же. Весьма популярна также система счисления с основанием 12, где счет идет дюжинами.

Названия больших чисел

Самого большого числа не существует, но существует потребность называть большие числа именами. Например, единица с шестью нулями или 10^6 есть миллион, 10^9 есть миллиард. Хотя данных терминов можно было и не изобретать, а именовать миллион как тысяча тысяч. Миллиард можно наименовать как тысяча миллионов. Тем не менее существуют специальные названия для чисел вплоть до 10 99 > . Также есть специальные отдельные числа, например, число 10 100 > — гугол, а 10 в степени гугол — гуголплекс. Ниже приведены названия на русском языке первых 14 больших чисел [4] :

Простые числа

Здесь будем рассматривать только натуральные числа. Любое такое число делится нацело (то есть без остатка), как минимум, на единицу и на себя. Если же число делится ещё на какое-либо, то оно называется составным числом. В противном случае такое число называется простым числом. Например, число 18 делится нацело на 1, 18, 2, 3, 6 и 9. То есть 18 — число составное. Число 19 делится только на 1 и на 19, поэтому является простым. Для того чтобы ответить на вопрос является ли какое-либо число простым, нужно, в первую очередь, попробовать разложить данное число на множители, при этом 1 здесь не будет считаться множителем. Например, 15 = 3 ∗ 5 , поэтому видно, что 15 не является простым числом. 45 = 9 ∗ 5 = 3 2 ∗ 5 *5> .

Однако если число достаточно большое, например 1999, то сразу не получается его ни разложить на множители, ни доказать, что множителей таких не существует. На самом деле, чтобы доказать, что это число является простым, достаточно перебрать в качестве делителей не все числа вплоть до 1999, а лишь до 44. Это становится очевидным, если понять, что 44 < 1999 < 45 > . В самом деле, если существует делитель, то существует и пара делителей (исключая само число и единицу). При этом меньший делитель не должен превышать 45.

Простых чисел бесконечно много. Чтобы доказать данный факт можно использовать метод доказательства от противного. В самом деле, предположив, что есть максимальное простое число V, рассмотрим число А, равное произведению всех простых числе до V включительно и увеличенное на 1. То есть A = 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 ∗ . . . ∗ V + 1 . Число А будет и представлять простое число, большее V. В самом деле, оно не может быть составным, так как в своем разложении видно, что при делении на каждое простое число дает в остатке 1.

Специальные числа: Пи, e

Наиболее часто встречаются такие константы (то есть постоянные) как π , e. Эти два числа получили широкое применение в различных областях математики и физики и поэтому заслуживают отдельного внимания.

Число Пи — это отношение длины окружности к её диаметру. При этом такое отношение не зависит от размера самой окружности и постоянно для любых окружностей. Обозначение Пи появилось из первой буквы греческого слова «периферия» (окружность). Значение числа Пи выражается бесконечной и непериодической десятичной дробью, поэтому данное число является иррациональным. первые несколько знаков после запятой числа Пи выглядят так 3 , 141592653589. В наше время мощные современные компьютеры могут найти данное число с точностью до миллиона и более знаков после запятой. Однако в древности эти знаки приходилось находить на практике с помощью построений, например, вписывая и описывая в данную окружность правильные многоугольники и увеличивая число их сторон. В этом случае длина окружности была заключена между длинами описанного и вписанного многоугольника. Также значение числа Пи математики пытались найти, используя его разложение в виде бесконечных числовых рядов или произведений дробей. Например, Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1674 г. [5] установил следующую формулу: π / 4 = 1 − 1 / 3 + 1 / 5 − 1 / 7 + . . . . Однако данный ряд сходится очень медленно, поэтому на практике для нахождения точных знаков после запятой мало применим.

Торт с числом Пи

Число e выражается следующей бесконечной непериодической десятичной дробью 2,718281828459… Число е равно пределу числовой последовательности при неограниченном росте n, то есть e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n \left(1+>\right)^> Обозначение e ввел Леонард Эйлер в 1736 г. Он также вычислил первые 23 знака этого числа. Число e иррациональное и трансцендентное. Доказательство трансцендентности впервые привел французский математики Шарль Эрмит в 1873 г. Также число е играет огромную роль в математическом анализе и теории функций. Если рассмотреть показательную функцию с основанием е (её называют экспонентной e x > , то у такой функции значение производной будет совпадать с самой функцией. ( e x ) ′ = e x )’=e^>

Также если рассмотреть логарифм с основанием е, то такой логарифм будет называться натуральным логарифмом.

Признаки делимости

В различных прикладных задача очень полезно раскладывать исходное число на множители, а для этого нужно быть знакомым с признаками делимости.

• Признак делимости на 2. Число N делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.
• Признак делимости на 4. Число N делится на 4 тогда и только тогда, если на 4 делится число, образованное из двух последних цифр числа N.
• Признак делимости на 8. Число N делится на 8 тогда и только тогда, если на 8 делится число, образованное из трех последних цифр числа N. Например, 1184 делится на 8, так как 184 делится нацело на 8.
• Признак делимости на 5. Число N делится на 5 тогда и только тогда, если его последняя цифра 0 или 5.
• Признак делимости на 3. Число N делится на 3 тогда и только тогда, если сумма его цифр делится на 3. Например, число 774 делится на 3, так как 7 + 7 + 4 = 18 делится нацело на 3.
• Признак делимости на 9. Число N делится на 9 тогда и только тогда, если сумма его цифр делится на 9.
• Признак делимости на 11. Число N делится на 11 тогда и только тогда, если сумма его цифр, стоящих на нечетных местах, отличается от суммы его цифр, стоящих на четных местах, на величину, кратную 11. Например, 176 делится на 11, так как 7 − 7 = 0 делится на 11.
• Признак делимости на 13. Число N делится на 13 тогда и только тогда, если на 13 делится число, полученное из исходного зачеркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверенного значения этой цифры. Например, 143 делится на 13, так как 14 + 4 ∗ 3 = 26 делится нацело на 13.

Средние значения

В повседневной практике наиболее часто используется в качестве среднего значения (средний возраст, средняя цена и т. п.) «среднее арифметическое». Среднее арифметическое m для двух положительных чисел а и в составляет их полусумму, то есть на языке формул это записывается следующим образом: m = a + b 2 >> Более редко используются следующие виды средних величин:

Средствами школьной элементарной математики доказывается, что выполняется следующее соотношение между вышеприведенными средними величинами:

Примечания

1. ↑Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М. : Физматлит, 1984. — 432 с. >
2. ↑Глав. ред. М.Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. — Изд. 1-е. — М. : Аванта+, 1999. — 688 с. — ISBN 5-89501-018-0.
3. ↑Любомудров А.А.Системы счисления. Методы перевода чисел из позиционной системы счисления с основанием p1 в позиционную систему счисления с основанием p2. — М. : НИЯУ МИФИ, 2009. — 28 с.
4. ↑Названия числовых великанов // Журнал Квант. — 1998. — № 2 . — С. 33 .
5. ↑Глав. ред. М.Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. — Изд. 1-е. — М. : Аванта+, 1999. — 688 с. — ISBN 5-89501-018-0.
6. ↑Глав. ред. М.Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. — Изд. 1-е. — М. : Аванта+, 1999. — 688 с. — ISBN 5-89501-018-0.

Литература

• Выгодский М. Я.Справочник по элементарной математике. — М. : Наука, 1978.
• Якушева Е.В., Попов А.В.,Якушев А.Г. Математика все для экзамена. — М. : УНЦ ДО, 2004. — ISBN 5-88800-226-7. >
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — 591 с.
• Воробьёв Н. Н.Признаки делимости. — 4-е изд. — М. : Наука, 1988. — Т. 39. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6.
• В. А. Ильин, В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова . — 3-е изд. , перераб. и доп. — М. : Проспект, 2006. — ISBN 5-482-00445-7.

Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!

• Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN
• Наука
• Все статьи
• Числа
• Математические объекты