Внешний угол равнобедренного треугольника
Чему равен внешний угол равнобедренного треугольника? Какие у него свойства?
Как и для всякого треугольника, внешний угол при любой вершине равнобедренного треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Помимо этого, внешние углы равнобедренного треугольника имеют свои свойства.
Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника в два раза больше внутреннего угла при его основании.
Дано: ∆ ABC, AC=BC,
∠BCF — внешний угол при вершине C.
Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то
Поскольку ∠A=∠B (как углы при основании равнобедренного треугольника), то
Что и требовалось доказать.
Внешний угол при основании равнобедренного треугольника на 90º больше половины внутреннего угла при его вершине.
Дано: ∆ ABC, AC=BC,
∠NBC — внешний угол при вершине B.
Доказать: ∠NBC=1/2 ∠C +90º.
1) ∠A=∠ABC (как углы при основании равнобедренного треугольника).
Отсюда ∠NBC=180º-∠ABC=180º-(90º-1/2 ∠C)=90º+ 1/2 ∠C.
Что и требовалось доказать.
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.
При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:
Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:
Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:
Из этого следует, что
Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:
Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Сумма внешних углов
Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°
Рассмотрим треугольник ABC:
Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:
(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.
Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° — (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° — 180° = 360°.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2024 | © | izamorfix.ru |
Внешний угол треугольника. Задание В7
Если в геометрической задаче присутствуют слова «внешний угол треугольника«, нам надо вспомнить несколько фактов:
1. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом треугольника:
2. Сумма смежных углов равна 180°
3. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним:
Чтобы найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника, нужно найти эту функцию соответствующего внутреннего угла, а затем воспользоваться следующим формулами приведения:
. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.
Найдем тангенс угла А, а затем воспользуемся формулой приведения.
Отсюда . Соответственно, по формуле приведения (3), тангенс внешнего угла при вершине А равен -0,25.
Ответ: -0,25
2 . Задание B7 (№ 27386)
В треугольнике ABC угол C равен 
.
Воспользуемся формулой приведения (2): sinA=0,1
Ответ: 0,1.
3 . Задание B7 (№ 27387)
В треугольнике ABC угол C равен .
.
.
Если косинус внешнего угла при вершине A равен 
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»
Для вас другие записи этой рубрики:
- Вписанный четырехугольник. Задание 6
- Вычисление элементов прямоугольных треугольников. ОГЭ (ГИА) Задание 9, ЕГЭ Задание 6 (часть 2)
- Видеолекция «Планиметрия.Часть В. Окружность»
- Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В7 (2015
- Четырехугольники. ОГЭ (ГИА) задание 11, ЕГЭ Задание 6
- Вычисление элементов прямоугольных треугольников. ОГЭ (ГИА) Задание 9, ЕГЭ Задание 6 (часть 1)
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника — это часть плоскости, ограниченной двумя лучами, исходящими из одной точки, которая равна разности между 180° и внутренним углом. Ее диапазон значений — от 0° до 180°.
Среди свойств ВУТ выделяют:
- сумма ВУ треугольника, взятых по одному при каждой точке соединения сторон, равняется 360 ° ;
- ВУТ приравнивается к сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: \angle1=\angle B+\angle C;
- при одной точке соединения сторон сумма внешнего и внутреннего углов составляет 180 ° .
Следует отметить, что у каждого треугольника есть два угла, которые являются смежными с ним. Получается, что у данной геометрической фигуры шесть внешних углов.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Чему равен, как найти при вершине
Определение
Для того, чтобы найти ВУТ при вершине, необходимо сложить значения не соседних с ним частей плоскости, которые ограничены двумя лучами, рассматриваемой геометрической фигуры.
Продемонстрируем это положение на примерах.
Задача №1
В треугольнике DEF угол D = 50 ° , а F = 45 ° . Найти: ВУ при каждой вершине фигуры.
Сумма углов треугольника всегда равна 180°. Из этого следует, что \angle E=180˚-\angle D-\angle F=85^\circ. ВУ при точке соединения сторон DE и DF будет равняться сложенным внутренним углам при вершинах E и F, а это 130°. Соответственно, ВУ при E составляет 95°, а при F — 135°.
Ответ: ∠ D = 130°, ∠ E = 95°, ∠ F = 135°.
Задача №2
В треугольнике ABC ВУ при вершине A = 68°, а при вершине C = 55°. Найти: Внутренний угол при B. На иллюстрации отображены пронумерованные названия углов.
Если сложить смежные углы, то в любом случае получится 180°. Из этого составляем равенства: ∠ A = 180° – ∠ 3 = ∠ 180° – 112° = 68°; ∠ С = 180° – ∠ 2 = ∠ 180° – 125° = 55°. Далее из сложенного вычитаем уже известное: ∠ A = 180° – ∠ A – ∠ C = ∠ 180° – 68° – 55° = 57°.
Теорема о внешнем угле треугольника, доказательство
Определение
Теорема о ВУТ звучит следующим образом: внешний угол треугольника равняется сумме двух других, не смежных с ним.
Доказательство
Предположим, что MNP — треугольник с внешним углом q. Углы n и q являются соседними, поэтому их сумма составляет 180°. Из этого следует, что q = 180° – n. Согласно теореме о сумме углов треугольника n = 180° – (m + p). Поэтому m + p = 180° – n. Вследствие того, что q = 180° – n, то q = m + p. Теорема доказана.