Как найти проекцию точки на прямую

Как найти проекцию точки Р (-8;12) на прямую, проходящую через точки А (2;-3) и В (-5;1)?

Ортогональную?
Найти координаты вектора AB. Потом вывести вид уравнения нормали к нему. Подставить координаты точки P — и получить координаты данного вектора.
Найти координаты точки пересечения прямых, заданных векторами.

Остальные ответы
Рустам ИскендеровИскусственный Интеллект (136705) 5 лет назад

Я построил на клетчатом листе и получил К (-12; 5).
(Впрочем, и последующая «математическая проверка» дала то же самое. У вас всё до конца верно, только ответ написали неверно.)

Николай Чайковский Просветленный (39737) Традиций не меняем.

Кажется, готовую формулу встретил в «Справочнике по высшей математике» Выгодского, правда, издания начала 60-х годов. Неплохо бы искать и в Интернете.
А последовательность решения такова:
1) Составляется уравнение АВ по известной из учебника формуле;
2) Составляется уравнение прямой РК (К — искомая проекция) по другой формуле из учебника, исходя из того, что угловой коэффициент прямой РК равен обратному значению углового коэффициента прямой АВ, взятого с обратным знаком;
3) Решая совместно оба эти уравнения (если не ошибаюсь, в учебнике имеется готовая формула), находятся координаты искомой точки К.
Впрочем, так и поступил Чайковский.

Проекция точки на прямую

Пусть необходимо спроектировать точку на прямую Ах+Ву+С=0. проекцией точки на прямую является основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Нормалью к данной прямой является вектор . Составим уравнение проецирующей прямой. Она проходит через точку и параллельна вектору . Подставив координаты точки и вектора в каноническое уравнение прямой , получим:. Теперь необходимо найти координаты точки пересечения данной прямой и проектирующей, для чего объединим их в систему:решение этой системы есть координаты точки, являющейся проекцией точки на прямую

Пример: Даны вершины треугольника : ; ;. Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

Решение: 1) Составим уравнение высоты , проходящей через точку перпендикулярно вектору :

; , .

Ответ: .

2) Составим уравнение стороны :

, , ,

.

Найдем точку пересечения высоты и стороны .Обозначим эту точку N, она является проекцией точки А на сторону ВС. Для нахождения точки N, решим следующую систему уравнений:

Ответ: N.

3) Найдем середину стороны :

, , , .

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку М:

, , ,

.

Найдем середину стороны :

, .

, .

Составим уравнение прямой проходящей через точку и точку N:

, , ,

.

Найдем точку О пересечения найденных медиан:

Ответ: О.

Плоскость Общее уравнение плоскости

Алгебраическое уравнение первой степени в пространстве определяет плоскость. Общее уравнение плоскости можно записать в виде:

Любую плоскость можно представить в виде такого уравнение единственным способом. с точностью до коэффициента (т. е. при умножении уравнения на число, полученное уравнение задает ту же плоскость ) Плоскость в пространстве можно задать различными способами, рассмотрим некоторые из них:

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Опр.: Нормалью к плоскости называется вектор, перпендикулярный к данной плоскости.

Пусть необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной вектору .

Предположим, что такая плоскость построена, возьмем на ней произвольную точку М(x,y,z) . Составим вектор . Вектор перпендикулярен вектору , следовательно, их скалярное произведение равно нулю: , это условие имеет вид::

Данный способ задания плоскости называется плоскость по точке М( и нормали . Имея уравнение плоскости в общем виде: Ax+ By+ Cz+ D=0, можно выписать нормаль к плоскости .

Пример: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,2,-3), параллельно плоскости 3x-4y+5z-2=0

Решение: Выпишем нормаль к плоскости, т.е. вектор перпендикулярный плоскости: . Так как необходимо построить плоскость параллельную данной, то можно использовать вектор в качестве нормали к искомой плоскости. Составляем уравнение плоскости по точке А и нормали : после преобразования получим: 3x-4y+5z+20=0

Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую

Данная статья рассматривает понятие проекции точки на прямую (ось). Мы дадим ему определение с использованием поясняющего рисунка; изучим способ определения координат проекции точки на прямую (на плоскости или в трехмерном пространстве); разберем примеры.

Проекция точки на прямую, определение

В статье «Проекция точки на плоскость, координаты» мы упоминали, что проецирование фигуры является обобщенным понятием перпендикулярного или ортогонального проецирования.

Все геометрические фигуры состоят из точек, соответственно проекция этой фигуры есть множество проекций всех ее точек. Поэтому, чтобы иметь возможность спроецировать фигуру на прямую, необходимо получить навык проецирования точки на прямую.

Подробнее рассмотрим случай, когда необходимо определить координаты проекции заданной точки на координатные прямые и параллельные им прямые.

Пусть заданы координатные прямые O x и O y , а также точка М 1 ( x 1 , y 1 ) . Понятно, что проекцией заданной точки на координатную прямую O x вида y = 0 будет точка с координатами ( x 1 , 0 ) . Так и проекция заданной точки на координатную прямую O y будет иметь координаты 0 , y 1 .

Любую произвольную прямую, параллельную оси абсцисс, возможно задать неполным общим уравнением B y + C = 0 ⇔ y = — C B , а прямую, параллельную оси ординат — A x + C = 0 ⇔ x = — C A.

Тогда проекциями точки М 1 ( x 1 , y 1 ) на прямые y = — C B и x = — C A станут точки с координатами x 1 , — C B и — C A , y 1 .

Определите координаты проекции точки М 1 ( 7 , — 5 ) на координатную прямую O y , а также на прямую, параллельную прямой O y 2 y — 3 = 0 .

Решение

Запишем координаты проекции заданной точки на прямую O y : ( 0 , — 5 ) .

Запишем уравнение прямой 2 y — 3 = 0 в виде y = 3 2 . Становится видно, что проекция заданной точки на прямую y = 3 2 будет иметь координаты 7 , 3 2 .

Ответ: ( 0 , — 5 ) и 7 , 3 2 .

Пусть в трехмерном пространстве заданы прямоугольная система координат O x y z , точка М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и прямая a . Найдем координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Построим плоскость α , проходящую через точку М 1 и перпендикулярную прямой a . Проекцией заданной точки на прямую a станет точка пересечения прямой a и плоскости α . Исходя из этого, приведем алгоритм для нахождения координат проекции точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на прямую a :

— запишем уравнение прямой а (если оно не задано). Для решения этой задачи необходимо ознакомиться со статьей об уравнениях прямой в пространстве;

— составим уравнение плоскости α , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a (см. статью «Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой»);

— найдем искомые координаты проекции точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на прямую a – это будут координаты точки пересечения прямой α и плоскости α (в помощь – статья «Координаты точки пересечения прямой и плоскости»).

Задана прямоугольная система координат O x y z , и в ней – точка М 1 ( 0 , 1 , — 1 ) и прямая a . Прямой a соответствуют канонические уравнения вида: x + 2 3 = y — 6 — 4 = z + 1 1 . Определите координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Решение

Используем указанный выше алгоритм. Уравнения прямой a известны, поэтому первый шаг алгоритма пропускаем. Запишем уравнение плоскости α . Для этого определим координаты нормального вектора плоскости α . Из заданных канонических уравнений прямой a выделим координаты направляющего вектора этой прямой: ( 3 , — 4 , 1 ) , который будет являться нормальным вектором плоскости α , перпендикулярной прямой a . Тогда n → = ( 3 , — 4 , 1 ) – нормальный вектор плоскости α . Таким образом, уравнение плоскости α будет иметь вид:

3 · ( x — 0 ) — 4 · ( y — 1 ) + 1 · ( z — ( — 1 ) ) = 0 ⇔ 3 x — 4 y + z + 5 = 0

Теперь найдем координаты точки пересечения прямой а и плоскости α, для этого используем два способа:

1. Заданные канонические уравнения позволяют получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a :

x + 2 3 = y — 6 — 4 = z + 1 1 ⇔ — 4 · ( x + 2 ) = 3 · ( y — 6 ) 1 · ( x + 2 ) = 3 · ( z + 1 ) 1 · ( y — 6 ) = — 4 · ( z + 1 ) ⇔ 4 x + 3 y — 10 = 0 x — 3 z — 1 = 0

Чтобы найти точки пересечения прямой 4 x + 3 y — 10 = 0 x — 3 z — 1 = 0 и плоскости 3 x — 4 y + z + 5 = 0 , решим систему уравнений:

4 x + 3 y — 10 = 0 x — 3 z — 1 = 0 3 x — 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x — 3 z = 1 3 x — 4 y + z = — 5

В данном случае используем метод Крамера, но возможно применить любой удобный:

∆ = 4 3 0 1 0 — 3 3 — 4 1 = — 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 — 3 — 5 — 4 1 = — 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = — 78 — 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 — 3 3 — 5 1 = — 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = — 156 — 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 — 4 — 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 — 78 = 0

Таким образом, проекцией заданной точки на прямую a является точка c координатами ( 1 , 2 , 0 )

1. На основе заданных канонических уравнений легко записать параметрические уравнения прямой в пространстве:

x + 2 3 = y — 6 — 4 = z + 1 1 ⇔ x = — 2 + 3 · λ y = 6 — 4 · λ z = — 1 + λ

Подставим в уравнение плоскости, имеющее вид 3 x — 4 y + z + 5 = 0 , вместо x , y и z их выражения через параметр:

3 · ( — 2 + 3 · λ ) — 4 · ( 6 — 4 · λ ) + ( — 1 + λ ) + 5 = 0 ⇔ 26 · λ = 0 ⇔ λ = 1

Вычислим искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости α по параметрическим уравнениям прямой a при λ = 1 :

x = — 2 + 3 · 1 y = 6 — 4 · 1 z = — 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Таким образом, проекция заданной точки на прямую a имеет координаты ( 1 , 2 , 0 )

Ответ: ( 1 , 2 , 0 )

Напоследок отметим, что проекциями точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на координатные прямые O x , O y и O z буду являться точки с координатами ( x 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , y 1 , 0 ) и ( 0 , 0 , z 1 ) соответственно.

Вычислить координаты ортогональной проекции точки на отрезок

Проект для создания чертежей в svg , на нативном js . Столкнулся со следующей задачей: Известны координаты 3х точек A B C на плоскости. Точки A B являются началом и концом отрезка AB . Нужно найти координаты ортогональной проекции (точка D) точки С на отрезок АВ . Как это сделать?

Отслеживать
13.7k 12 12 золотых знаков 43 43 серебряных знака 75 75 бронзовых знаков
задан 17 янв 2019 в 10:27
Viktor Shcheplyagin Viktor Shcheplyagin
35 4 4 бронзовых знака

2 ответа 2

Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию

Проекцию можно найти, используя скалярное произведение векторов

 D = A + AB * Dot(AC, AB) / Dot(AB, AB) 

 abx = B.X - A.X aby = B.Y - A.Y dacab = (C.X - A.X) * abx + (C.Y - A.Y) * aby dab = abx * abx + aby * aby t = dacab / dab D.X = A.X + abx * t D.Y = A.Y + aby * t 

Здесь немного другие обозначения (C=P, N=D) и пояснения

Отслеживать
ответ дан 17 янв 2019 в 10:42
52.3k 3 3 золотых знака 19 19 серебряных знаков 43 43 бронзовых знака

Посмотрел Ваше решение — кажется, то, что нужно. Спасибо. Что такое скалярный коэффициент? В гугле, по запросу «скалярный коэффициент», ничего внятного не нашел.

17 янв 2019 в 13:50

Не скалярный коэффициент, а скалярное произведение векторов (в школе его изучают). Сумма покомпонентных произведений Dot(V,U) = V.X*U.X + V.Y*U.Y

17 янв 2019 в 15:35

• Метод «пересечения»: Если построить точку С’ = (Cx — (By — Ay), Cy + (Bx — Ax)) , то прямая CC’ будет перпендикулярна прямой AB . Пересечение прямых AB и CC’ даст вам точку D . Метод «тяжеловат» с вычислительной точки зрения из-за того, что использует пересечение двух прямых в качестве примитива. Но прост в реализации, если такой примитив уже есть под руками.
• Метод «расстояния»: Если AA , BB и CC — коэффициенты уравнения прямой, содержащей отрезок AB (легко вычисляются через координаты точек A и B ), то величина

DD = AA * Cx + BB * Cy + CC 

даст вам знаковое расстояние от этой прямой до точки C , домноженное на |(AA, BB)| . Если к точке C прибавить вектор DD * (-AA, -BB) , то мы получим точку, которая смещена относительно C в правильном направлении, но, условно выражаясь, «слишком далеко»: расстояние превышает требуемое в |(AA, BB)|^2 раз. Достаточно разделить смещение на эту величину — мы получим требуемую точку D

 DD D = C + ------------ * (-AA, -BB) |(AA, BB)|^2 

 |(A, D)| D = A + -------- * (A, B) |(A, B)| 

При этом скалярное произведение вектора (A, C) на вектор (A, B) — это длина проекции (A, D) , домноженная на |(A, B)| .

(A, C)•(A, B) = |(A, D)| * |(A, B)| 

 (A, C)•(A, B) D = A + ------------- * (A, B) |(A, B)|^2 

(Можно показать, что если собрать все вычисления второго метода в одну формулу, то она «сократится» до третьего метода.)