Как найти расстояние между прямыми в пространстве

Нахождение кратчайшего расстояния между прямыми в пространстве

Расстояние между прямыми в пространстве — это отрезок, который соединяет две прямые линии по самому короткому пути. Иными словами, он перпендикулярен обеим этим прямым.

Но не всегда две линии могут быть параллельны друг другу.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Определение

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.

Таким образом, чтобы найти расстояние между этими скрещивающимися прямыми, нужно от одной из прямых провести перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.

Между параллельными прямыми расстояние одинаково на протяжении всей их длины: перпендикуляр, опущенный из любой точки одной из этих линий, всегда будет одной и той же величины.

Метод координат для определения расстояния

Разберем пошагово способ определения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.

1. Определить координаты точек \(М_1\) и \(М_2\) , лежащих соответственно на прямых a и b.
2. Найти x, y и z направляющих векторов для прямых a и b.
3. Найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая b с помощью векторного произведения \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) .
4. Записать общее уравнение плоскости: \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\) и потом записать к нормированному виду уравнения плоскости, которое выглядит так: \(x\times\cos\left(\alpha\right)+y\times\cos\left(\beta\right)+z\times\cos\left(\gamma\right)-p=0\) , где p — свободный член (число, которое равно расстоянию точки начала координат до плоскости), а \(\cos\left(\alpha\right),\;\cos\left(\beta\right)\) и \(\cos\left(\gamma\right)\) — координаты единичного нормального вектора плоскости.
5. Далее, для определения расстояния от точки M до искомой плоскости, воспользуемся следующим уравнением: \(M_1H_1=\left|x_1\times\cos\left(\alpha\right)+y_1\times\cos\left(\beta\right)+z_1\cos\left(\gamma\right)-p\right|\) , где \(x_1\) ,\(y_1\) и \(z_1\) — координаты точки \(M_1\) , лежащей на прямой a, а \(H_1\) — точка, лежащая на искомой плоскости.

Примеры задач с решением

Задача 1

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром равным \(\sqrt\) см. Найти расстояние между прямыми \(DB_1\) и \(CC_1\) .

Решение

Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать в качестве расстояния между прямой \(CC_1\) и плоскостью, проходящей через \(DB_1\) параллельно \(CC_1\) . Так как \(DD_1\parallel CC_1\) , плоскость \((B_1D_1D)\) параллельна \(СС_1\) .

Сначала нужно доказать, что \(CO\) — перпендикуляр, проведенный к этой плоскости. \(CO\perp BD\) (как диагонали квадрата) и \(CO\perp DD_1\) (так как ребро \(DD_1\) перпендикулярно всей плоскости \((ABC)\) ). Получается, \(CO\) перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости. Значит, \(CO\perp(B_1D_1D)\) .

\(AC\) — диагонально квадрата — равна \(AB\sqrt2\) , то есть \(AC=\sqrt\times\sqrt2=\sqrt=8\) см. Следовательно, \(CO=\frac12\times AC=4\) см.

Задача 2

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространстве:

А прямую b канонические уравнения прямой в пространстве:

Вычислить расстояние между заданными прямыми.

Решение

Прямая a проходит через точку \(M_1(-2, 1, 4)\) и имеет направляющий вектор \(\overrightarrow a=(0, 2, -3)\) . Прямая b проходит через точку \(M_2 (0, 1, -4)\) , а ее направляющий вектором является вектор \(\overrightarrow b=(1, -2, 6)\) .

Найдем векторное произведение векторов \( \overrightarrow a=(0, 2, -3)\) и \(\overrightarrow b=(1, -2, 6): \left[\overrightarrow a\times\overrightarrow b\right]=\begin\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\0&2&-3\\1&-2&6\end=6\times\overrightarrow i-3\times\overrightarrow j-2\times\overrightarrow k\) .

Так, \(\overrightarrow n=\left[\overrightarrow a\times\overrightarrow b\right]\) плоскости X, проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты (6, -3, -2).

Таким образом, уравнение плоскости X есть уравнение плоскости, проходящей через точку \(M_2(0, 1, -4)\) и имеющей нормальный вектор \(\overrightarrow n=(6, -3, -2)\) :

Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости \(6x-3y-2z-5=0\) равен \ \(frac1^2+^2>>=\frac17\) . Значит, нормальное уравнение этой плоскости выглядит как \(\frac67x-\frac37y-\frac27z-\frac57=0\) .

Воспользуемся формулой для вычисления расстояния от точки \(M_1(-2, 1, 4)\) до плоскости \(\frac67x-\frac37y-\frac27z-\frac57=0: \left|M\_1H\_1\right|=\left|\frac67\times(-2)-\frac37\times1-\frac27\times4-\frac57\right|=\left|\frac7\right|=4\) см.

Расстояние между скрещивающимися прямыми: определение и примеры нахождения

Статья нацелена на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Будет рассмотрено определение расстояния между этими прямыми, получим алгоритм при помощи которого преобразуем нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Закрепим тему решением подобных примеров.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение

Предварительно необходимо доказать теорему, которая определяет связь между заданными скрещивающимися прямыми.

Раздел взаимного расположения прямых в пространстве говорит о том, что если две прямые называют скрещивающимися, если их расположение не в одной плоскости.

При переходе от определения расстояния между скрещивающимися прямыми определяем расстояние через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Расстояние между 2 прямыми в пространстве

Очень часто на практике необходимо найти расстояние между точкой и некой прямой линией или между двумя прямыми линиями в пространстве, например, иногда определять расстояние между двумя линиями приходится и в реальной жизни. Хорошая иллюстрация такого примера — это знак, который вешают на мосты для грузовиков, указывающий максимальную высоту грузовика, которая может проехать под данным мостом.

Расстояние от верхней грани грузовика и нижней грани в данном случае определяют как расстояние между двумя прямыми.

Расстояние между 2 прямыми в пространстве — это отрезок, соединяющий две прямые линии по наикратчайшему расстоянию между ними, то есть перпендикулярный к обеим прямым.

Определение 1

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной заданной прямой и плоскостью, в которой лежит вторая прямая.

Статья: Расстояние между 2 прямыми в пространстве

Поможем написать реферат за 48 часов

Чтобы было чуть проще понять, что это такое, давайте повторим определение скрещивающихся прямых:

Определение 2

Скрещивающиеся прямые — это две прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют каких-либо совместных друг для друга точек.

Соответственно, для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве, необходимо от одной из прямых опустить перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.

Расстояние же между двумя параллельными прямыми в пространстве является одинаковым на протяжении всей длины параллельных прямых, то есть перпендикуляр, опущенный из одной параллельной прямой на другую, всегда будет одной и той же длины вне зависимости от того, из какой именно точки его опустили.

Метод координат для определения расстояния между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве можно найти используя метод координат, для этого необходимо:

«Расстояние между 2 прямыми в пространстве» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач по учебе за 24 часа
Реферат по этой теме за 48 часов

1. Найти координаты точек $M_1$ и $M_2$, лежащих на прямых $a$ и $b$ соответственно.
2. Вычислить икс, игрек и зет направляющих векторов для прямых $a$ и $b$.
3. С помощью векторного произведения векторов $\overline$ и $\overline$ нужно найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая $b$. Затем необходимо записать общее уравнение плоскости: $A (x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$, и от него перейти к нормированному виду уравнения плоскости следующего вида: $ x \cdot cos α + y \cdot cos β + z \cdot cos – p = 0$, где $cos α, cos β$ и $cos γ$ — координаты единичного нормального вектора плоскости, а $p$ — свободный член, это число равно расстоянию от точки начала координат до плоскости.
4. Для вычисления расстояния от точки $M$ до искомой плоскости, нужно воспользоваться следующим уравнением: $M_1H_1 = |x_1 \cdot cos α + y_1 \cdot cos β + z_1 \cdot cos – p|$, где $x_1, y_1, z_1$ – координаты точки $M_1$, лежащей на прямой $a$, а $H_1$ — точка, лежащая на искомой плоскости.

Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными уравнениями: $d_1$: $\frac = \frac = \frac$

Рисунок 1. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве

Для этого воспользуемся следующей формулой:

Сначала найдём смешанное произведение векторов. Для этого найдём точки, лежащие на данных прямых, и их направляющие вектора:

$d_1$: $\frac = \frac = \frac$, точка, лежащая на прямой — $M_1$ с координатами $(2;-1;0)$, а направляющий вектор — $\overline$ с координатами $(2; -3; -1)$

$d_2$: $\begin \frac = \frac \\ z – 1 = 0 \end$, точка, лежающая на прямой — $M_2$ с координатами $(-1; 0; 1)$,

а её направляющий вектор — $\overline$ с координатами $(1; -2; 0)$

Теперь найдём вектор $\overline$:

Найдём смешанное произведение векторов:

$\overline \cdot \overline \cdot \overline = \begin <|ccc|>2& 1 & -3 \\ -3& -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end = — \begin <|cc|>1 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end + \begin <|cc|>2 & 1 \\ -3 & -2 \\ \end = -(1 — 6) + (4 + 3) = 4$

Теперь найдём векторное произведение векторов:

$[|\overline × \overline|] = \begin <|ccc|>i& j & k \\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \end = \begin <|cc|>-3 & -1 \\ -2 & 0 \end \cdot \overline — \begin <|cc|>2 & -1 \\ 1 & 0 \end \cdot \overline + \begin <|cc|>2 & -3 \\ 1 & -2 \end \cdot \overline$

$[|\overline × \overline |]= -2 \overline — \overline — \overline$

Длина этого векторного произведения составит:

Соответственно, длина между скрещивающимися прямыми составит:

Даны две параллельные несовпадающие прямые $g$ и $m$, ниже приведены уравнения для них. Определить расстояние между ними.

Расстояние в этом случае для них вычисляется по следующей формуле:

$\overline, \overline$ — радиус-векторы для каждой прямой, а $s_1$ — направляющий вектор.

Радиус-вектор для первой прямой будет $r_1=\$, а направляющий вектор $s_1 = \$.

Радиус-вектор для второй прямой будет $r_2=\$, а направляющий вектор $s_2 = \$.

Найдём векторную разность радиус-векторов:

Теперь найдём её произведение с направляющим вектором для первой прямой:

$[\overline — \overline × \overline] = \begin <|ccc|>i & j & k \\ -2 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & 8 \\ \end = — 16j – 12k = \$

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение и примеры нахождения

В материале этой статьи разберем вопрос нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, в частности, при помощи метода координат. Разбор типовых примеров поможет закрепить полученные теоретические знания.

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение

Отметим, что расстояние между двумя параллельными прямыми – наименьшее из расстояний от точек одной прямой до точек другой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми

Мы уже выяснили, что, по сути, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, необходимо определить длину перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую. Способов, как это сделать, несколько. В каких-то задачах удобно воспользоваться теоремой Пифагора; другие предполагают использование признаков равенства или подобия треугольников и т.п. В случаях, когда прямые заданы в прямоугольной системе координат, возможно вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми, используя метод координат. Рассмотрим его подробнее.

Зададим условия. Допустим, зафиксирована прямоугольная система координат, в которой заданы две параллельные прямые a и b . Необходимо определить расстояние между заданными прямыми.

Решение задачи построим на определении расстояния между параллельными прямыми: для нахождения расстояния между двумя заданными параллельными прямыми необходимо:

— найти координаты некоторой точки М 1 , принадлежащей одной из заданных прямых;

— произвести вычисление расстояния от точки М 1 до заданной прямой, которой эта точка не принадлежит.

Опираясь на навыки работы с уравнениями прямой на плоскости или в пространстве, определить координаты точки М 1 просто. При нахождении расстояния от точки М 1 до прямой пригодится материал статьи о нахождении расстояния от точки до прямой.

Вернемся к примеру. Пусть прямая a описывается общим уравнением A x + B y + C 1 = 0 , а прямая b – уравнением A x + B y + C 2 = 0 . Тогда расстояние между двумя заданными параллельными прямыми возможно вычислить, используя формулу:

M 1 H 1 = C 2 — C 1 A 2 + B 2

Выведем эту формулу.

Используем некоторую точку М 1 ( x 1 , y 1 ) , принадлежащую прямой a . В таком случае координаты точки М 1 будут удовлетворять уравнению A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 . Таким образом, справедливым является равенство: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ; из него получим: A x 1 + B y 1 = — C 1 .

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

При С 2 ≥ 0 нормальное уравнение прямой b будет выглядеть так:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y — C 2 A 2 + B 2 = 0

А для С 2 ≥ 0 искомое расстояние определяется по формуле M 1 H 1 = — A A 2 + B 2 x 1 — B A 2 + B 2 y 1 — C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Таким образом, при любом значении числа С 2 длина отрезка | М 1 Н 1 | (от точки М 1 до прямой b ) вычисляется по формуле: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Выше мы получили: A x 1 + B y 1 = — C 1 , тогда можем преобразовать формулу: M 1 H 1 = — C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 — C 1 A 2 + B 2 . Так мы, собственно, получили формулу, указанную в алгоритме метода координат.

Разберем теорию на примерах.

Заданы две параллельные прямые y = 2 3 x — 1 и x = 4 + 3 · λ y = — 5 + 2 · λ . Необходимо определить расстояние между ними.

Решение

Исходные параметрические уравнения дают возможность задать координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая параметрическими уравнениями. Таким образом, получаем точку М 1 ( 4 , — 5 ) . Требуемое расстояние – это расстояние между точкой М 1 ( 4 , — 5 ) до прямой y = 2 3 x — 1 , произведем его вычисление.

Заданное уравнение прямой с угловым коэффициентом y = 2 3 x — 1 преобразуем в нормальное уравнение прямой. С этой целью сначала осуществим переход к общему уравнению прямой:

y = 2 3 x — 1 ⇔ 2 3 x — y — 1 = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 3 = 0

Вычислим нормирующий множитель: 1 2 2 + ( — 3 ) 2 = 1 13 . Умножим на него обе части последнего уравнения и, наконец, получим возможность записать нормальное уравнение прямой: 1 13 · 2 x — 3 y — 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x — 3 13 y — 3 13 = 0 .

При x = 4 , а y = — 5 вычислим искомое расстояние как модуль значения крайнего равенства:

2 13 · 4 — 3 13 · — 5 — 3 13 = 20 13

Ответ: 20 13 .

В фиксированной прямоугольной системе координат O x y заданы две параллельные прямые, определяемые уравнениями x — 3 = 0 и x + 5 0 = y — 1 1 . Необходимо найти расстояние между заданными параллельными прямыми.

Решение

Условиями задачи определено одно общее уравнение, задаваемое одну из исходных прямых: x-3=0. Преобразуем исходное каноническое уравнение в общее: x + 5 0 = y — 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . При переменной x коэффициенты в обоих уравнениях равны (также равны и при y – нулю), а потому имеем возможность применить формулу для нахождения расстояния между параллельными прямыми:

M 1 H 1 = C 2 — C 1 A 2 + B 2 = 5 — ( — 3 ) 1 2 + 0 2 = 8

Ответ: 8 .

Напоследок рассмотрим задачу на нахождение расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

В прямоугольной системе координат O x y z заданы две параллельные прямые, описываемые каноническими уравнениями прямой в пространстве: x — 3 1 = y — 1 = z + 2 4 и x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 . Необходимо найти расстояние между этими прямыми.

Решение

Из уравнения x — 3 1 = y — 1 = z + 2 4 легко определются координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая этим уравнением: М 1 ( 3 , 0 , — 2 ) . Произведем вычисление расстояния | М 1 Н 1 | от точки М 1 до прямой x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 .

Прямая x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 проходит через точку М 2 ( — 5 , 1 , 2 ) . Запишем направляющий вектор прямой x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 как b → с координатами ( 1 , — 1 , 4 ) . Определим координаты вектора M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 — ( — 5 , 0 — 1 , — 2 — 2 ) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , — 1 , — 4

Вычислим векторное произведение векторов :

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 — 1 4 8 — 1 — 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8 , 36 , 7 )

Применим формулу расчета расстояния от точки до прямой в пространстве:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + ( — 1 ) 2 + 4 2 = 1409 3 2

Ответ: 1409 3 2 .