Докажите что fs перпендикулярна вс1

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 10 класс

Планиметрия
Стереометрия
А
А
а
М
Н
М
Н
Отрезок АН – перпендикуляр
Точка Н – основание перпендикуляра
Отрезок АМ – наклонная
Точка М – основание наклонной
Отрезок МН – проекция
наклонной на прямую а
Отрезок МН – проекция
наклонной на плоскость

5.

Планиметрия
Стереометрия
А
А
а
М
Н
М
Н
Из всех расстояний от точки А до
плоскости
различных точек прямой
а
наименьшим является длина
перпендикуляра.
Расстояние от точки до
Расстояние от точки до
прямой – длина
плоскости – длина
перпендикуляра
перпендикуляра

6.

Расстояние от лампочки до земли
измеряется по перпендикуляру,
проведенному от лампочки к
плоскости земли

7.

Постановка проблемы
Дана плоскость .
Из точки А опущен перпендикуляр на плоскость .
В плоскости проведена прямая с .
Вопрос: 1.Как найти расстояние от точки В до прямой с?
2.Как найти расстояние от точки А до прямой с?
А
П-Р
В
Н-я
П-я
М
с

8.

А
А
В
В
с
с
А
В
М
с
М
Прямая, проведенная в
плоскости через основание
наклонной, перпендикулярно к
ее проекции на эту плоскость,
перпендикулярна и
к самой наклонной.

9.

Прямая, проведенная в плоскости через
основание наклонной перпендикулярно к
ее проекции на эту плоскость,
перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней,
перпендикулярна и к ее проекции.
А
П-Р
Н-я
П-я
Н
М
a

10.

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного
треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите,
что МК ВС.
К
П-р
А
В
П-я
М
С
BC AМ
П-я
TTП
BC MК
Н-я

11.

Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая АК,
перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что КD = 6 см,
КВ = 7 см, КС = 9 см. Найдите:
а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника АВСD;
б) расстояние между прямыми АК и СD.
K
КА – искомое расстояние
АD – общий перпендикуляр
АD – искомое расстояние
6
D
9
П-я 1
С
П-Р
?
А
Найдем другие прямые углы…
TTП
СD AD
П-я 1
7
BC BA
П-я 2
В
CD Н-яDK1
TTП
BC BK
Н-я 2

12.

Домашнее задание.
П.15 изучить, № 15.2,15.4,

13.

№1.
Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного
треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его
плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если
АС = 4 см, а СМ = 2 7 см.
М
П-р
2 7
С
А
4
П-я
F
В
AВ СF
П-я
TTП
AВ MF
МF – искомое расстояние
Н-я

14.

№2.
Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости
прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники АМD и
МСD прямоугольные.
TTП
AD AB
М
П-я 1
DC BC
П-Р
А
П-я 1
D
П-я 2
В
С
AD AM
Н-я 1
TTП
DC CM
Н-я 2

15.

№3 (дом.)
Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС.
Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, АD = 12 см.
Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.
D
П-р
В
12
П-я
А
N 6
5
С
BC AN
П-я
TTП
BC DN
Н-я
АN и DN – искомые расстояния

Докажите что fs перпендикулярна вс1

Задание 14. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания АВ равна 3, а боковое ребро AA1 равно √3. На рёбрах C1D1 и DD1 отмечены соответственно точки К и М так, что D1K = KC1, a DM : MD1 = 1:3.

а) Докажите, что прямые MK и BK перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMK и ABB1.

а)Рассмотрим прямоугольный треугольник KMD1, так как ABCDA1B1C1D1 – правильная призма. По теореме Пифагора, имеем:

Рассмотрим прямоугольный треугольник BKB1, из которого:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:

Можно заметить, что . Следовательно, треугольник BKM – прямоугольный с катетами KM и BK, то есть, .

б)Угол между плоскостями BMK и ABB1 – это то же самое, что и угол между плоскостями BMK и DD1C1. Плоскости пересекаются по прямой KM, причем .

Построим прямую KL, которая принадлежит плоскости DD1C1 и перпендикулярна прямой KM. Рассмотрим подобные треугольники D1KM и C1LK (подобны по двум углам: ; ):

Следовательно, точка L совпадает с точкой C и и угол BKC–линейный угол двугранного угла между плоскостями BMK и DD1C1, а также между плоскостями BMK и ABB1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KC1C, из которого:

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCK (так как ):

Теорема о трех перпендикулярах

Повторение
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся
прямым, лежащим в плоскости, то она
перпендикулярна и этой плоскости.
a
p
p , a p,
q , a q,
a

6.

Планиметрия
Стереометрия
А
А
а
М
Н
М
Н
Отрезок АН – перпендикуляр
Точка Н – основание перпендикуляра
Отрезок АМ – наклонная
Точка М – основание наклонной
Отрезок МН – проекция
наклонной на прямую а
Отрезок МН – проекция
наклонной на плоскость

7.

Планиметрия
Стереометрия
А
А
а
М
Н
Н
М
Из всех расстояний от точки А
до различных точек прямой
а
плоскости
наименьшим является длина
перпендикуляра.
Расстояние от точки до
Расстояние от точки до
прямой – длина
плоскости – длина
перпендикуляра
перпендикуляра

8.

Расстояние от лампочки до земли
измеряется по перпендикуляру,
проведенному от лампочки к
плоскости земли

9.

Если две плоскости параллельны, то все точки одной
плоскости равноудалены от другой плоскости.
II
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных
плоскостей до другой плоскости называется
расстоянием между параллельными плоскостями.

10.

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой
равноудалены от этой плоскости.
a
a II
Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости
называется расстоянием между прямой и параллельной
ей плоскостью.

11.

В
Н-Я
П-Я
А
П-Р
С
Н-Я
П-Я
M

12.

Теорема о трех перпендикулярах.(ТТП)
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.
А
П-Р
Н
Н-я
П-я
М
a

13.

Обратная теорема.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней,
перпендикулярна и ее проекции.
А
П-Р
Н
Н-я
П-я
М
a

14. Применение знаний в стандартной ситуации

15.

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного
треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС.
Докажите, что МК ВС.
К
П-Р
А
В
П-я
М
С
BC AМ
П-я
TTП
BC MК
Н-я

16.

№1. Отрезок АD перпендикулярен к плоскости
равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС
= 5 см, ВС = 6 см, АD = 12 см.
Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.
D
П-Р
В
12
П-я
А
N 6
5
С
BC AN
П-я
TTП
BC DN
Н-я
АN и DN – искомые расстояния

17.

№2. В треугольнике угол С прямой, угол А равен 600,
AС=12см. DC (АВС). DC= 6 5 Найдите расстояния:
а) от точки С до прямой АВ, б) от точки D до прямой АВ.
АВ СN
D
AB DN
TTП
Н-я
П-я
6 5
П-Р
CN и DN – искомые расстояния
А
С
12
600
N
В

Виртуальная лаборатория ВиртуЛаб

Виртуальные лаборатории позволяют рассказать и показать о любых явлениях природы.

Механическая работа и мощность

1. Из курса физики 7 класса вы знаете, что если на тело действует сила и оно перемещается в направлении действия силы, то сила совершает механическую работу A, равную произведению модуля силы и модуля перемещения:

Единица работы в СИ — джоуль (1 Дж).

За единицу работы принимают такую работу, которую совершает сила 1 Н на пути 1 м.

Из формулы следует, что механическая работа не совершается, если сила равна нулю (тело покоится или движется равномерно и прямолинейно) или перемещение равно нулю.

Предположим, что вектор силы, действующей на тело, составляет некоторый угол a с вектором перемещения (рис. 65). Так как в вертикальном направлении тело не перемещается, то проекция силы F_y на ось Y работу не совершает, а проекция силы F_x на ось X совершает работу, которая равна A = F_xs_x.

работа постоянной силы равна произведению модулей векторов силы и перемещения и косинуса угла между этими векторами.

2. Проанализируем полученную формулу работы.

Если угол a = 0°, то cos 0° = 1 и A = Fs. Совершенная работа положительна и ее значение максимально, если направление силы совпадает с направлением перемещения.

Если угол a = 90°, то cos 90° = 0 и A = 0. Сила не совершает работу, если она перпендикулярна направлению перемещения тела. Так, работа силы тяжести равна нулю при движении тела по горизонтальной плоскости. Нулю равна работа силы, сообщающей телу центростремительное ускорение при его равномерном движении по окружности, так как эта сила в любой точке траектории перпендикулярна направлению движения тела.

Если угол a = 180°, то cos 180° = –1 и A = –Fs. Данный случай имеет место тогда, когда сила и перемещение направлены в противоположные стороны. Соответственно совершенная работа отрицательна и ее значение максимально. Отрицательную работу совершает, например, сила трения скольжения, поскольку она направлена в сторону, противоположную направлению перемещения тела.

Если угол a между векторами силы и перемещения острый, то работа положительна; если угол a тупой, то работа отрицательна.

3. Получим формулу для расчета работы силы тяжести. Пусть тело массой m свободно падает на землю из точки A, находящейся на высоте h относительно поверхности Земли, и через некоторое время оказывается в точке B (рис. 66, а). Работа силы тяжести при этом равна

В данном случае направление движения тела совпадает с направлением действу.щей на него силы, поэтому работа силы тяжести при свободном падении положительна.

Если тело движется вертикально вверх из точки B в точку A (рис. 66, б), то его перемещение направлено в сторону, противоположную силе тяжести, и работа силы тяжести отрицательна:

4. Работу силы можно вычислить, используя график зависимости силы от перемещения.

Предположим, под действием постоянной силы тяжести тело совершает перемещение. Графиком зависимости модуля силы тяжести F_тяж от модуля перемещения тела s является прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 67). Найдем площадь выделенного прямоугольника. Она равна произведению двух его сторон: S = F_тяжh = mgh. С другой стороны, этой же величине равна работа силы тяжести A = mgh.

Таким образом, работа численно равна площади прямоугольника, ограниченного графиком, координатными осями и перпендикуляром, восставленным к оси абсцисс в точке h.

Рассмотрим теперь случай, когда сила, действующая на тело, прямо пропорциональна перемещению. Такой силой, как известно, является сила упругости. Ее модуль равен F_упр = kDl, где Dl — удлинение тела.

Предположим, пружину, левый конец которой закреплен, сжали (рис. 68, а). При этом ее правый конец сместился на Dl₁. В пружине возник сила упругости F_{упр 1}, направленная вправо.

Если теперь предоставить пружину самой себе, то ее правый конец переместится вправо (рис. 68, б), удлинение пружины будет равно Dl₂, а сила упругости F_{упр 2}.

Вычислим работу силы упругости при перемещении конца пружины из точки с координатой Dl₁ в точку с координатой Dl₂. Используем для этого график зависимости F_упр(Dl) (рис. 69). Работа силы упругости численно равна площади трапеции ABCD. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты, т. е. S = AD. В трапеции ABCD основания AB = F_{упр 2} = kDl₂, CD= F_{упр 1} = kDl₁, а высота AD = Dl₁ – Dl₂. Подставим в формулу площади трапеции эти величины:

Таким образом, мы получили, что работа силы упругости равна:

5 * . Предположим, что тело массой m перемещается из точки A в точку B (рис. 70), двигаясь сначала без трения по наклонной плоскости из точки A в точку C, а затем без трения по горизонтальной плоскости из точки C в точку B. Работа силы тяжести на участке CB равна нулю, поскольку сила тяжести перпендикулярна перемещению. При движении по наклонной плоскости работа силы тяжести равна:

Работа силы тяжести при движении тела по траектории ACB равна A_ACB = A_AC + A_CB = mgh + 0.

Полученный результат показывает, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории. Она зависит только от начального и конечного положений тела.

Предположим теперь, что тело движется по замкнутой траектории ABCA (см. рис. 70). При перемещении тела из точки A в точку B по траектории ACB работа силы тяжести равна A_ACB = mgh. При перемещении тела из точки B в точку A сила тяжести совершает отрицательную работу, которая равна A_BA = –mgh. Тогда работа силы тяжести на замкнутой траектории A = A_ACB + A_BA = 0.

Нулю равна и работа силы упругости на замкнутой траектории. Действительно, предположим, что недеформированную вначале пружину растянули и ее длина увеличилась на Dl. Сила упругости при этом совершила работу A₁ = . При возвращении в состояние равновесия сила упругости совершает работу A₂ = . Суммарная работа силы упругости при растяжении пружины и ее возвращении в недеформированное состояние равна нулю.

6. Работа силы тяжести и силы упругости на замкнутой траектории равна нулю.

Силы, работа которых на любой замкнутой траектории равна нулю (или не зависит от формы траектории), называют консервативными.

Силы, работа которых зависит от формы траектории, называют неконсервативными.

Неконсервативной является сила трения. Например, тело перемещается из точки 1 в точку 2 сначала по прямой 12 (рис. 71), а затем по ломаной линии 132. На каждом участке траектории сила трения одинакова. В первом случае работа силы трения

7. Из курса физики 7 класса вы знаете, что важной характеристикой устройств, которые совершают работу, является мощность.

Мощностью называют физическую величину, равную отношению работы к промежутку времени, за который она совершена:

Мощность характеризует быстроту выполнения работы.

Единица мощности в СИ — ватт (1 Вт).

За единицу мощности принимают такую мощность, при которой работа 1 Дж совершается за 1 с.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют работой? Какова единица работы?

2. В каком случае сила совершает отрицательную работу; положительную работу?

3. По какой формуле вычисляют работу силы тяжести; силы упругости?

4. Как рассчитать работу, используя график зависимости F(s)?

5. Какие силы называют консервативными; неконсервативными?

6 * . Докажите, что работа силы тяжести и силы упругости не зависит от формы траектории.

7. Что называют мощностью? Какова единица мощности?

1. Мальчика массой 20 кг везут равномерно на санках, прикладывая силу 20 Н. Веревка, за которую тянут санки, составляет угол 30° с горизонтом. Чему равна работа силы упругости, возникающей в веревке, если санки переместились на 100 м?

2. Спортсмен массой 65 кг прыгает в воду с вышки, находящейся на высоте 3 м над поверхностью воды. Какую работу совершает сила тяжести, действующая на спортсмена, при его движении до поверхности воды?

3. Под действием силы упругости длина деформированной пружины жесткостью 200 Н/м уменьшилась на 4 см. Чему равна работа силы упругости?

4 * . Докажите, что работа переменной силы численно равна площади фигуры, ограниченной графиком зависимости силы от координаты и координатными осями.

5. Чему равна сила тяги двигателя автомобиля, если при постоянной скорости 108 км/ч он развивает мощность 55 кВт?