Почему сумма всех натуральных чисел равна -1/12
Нихрена оно не «стройное». Сплошь жульничество, на каждом шагу. Это только для невнимательных троечников развод.
Дмитрий Низяев, Юриус просто стебается!
Кто-то сложил все натуральные числа, и познал бесконечность? Респект и уважуха. Остальное — натяжение совы на глобус. Извините.
начал считать сумму натуральных чисел, большие сомнения, что получится конкретное число, да, еще и дробное отрицательное число, чо делать-та?
Решается такое скорее всего интегрированием от минус бесконечности до плюс бесконечности, подозреваю, что получается неопределённость, которую кто-то таким образом упорото разрешил и где-то опубликовал.
Сумма всех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 +…
Чему равна сумма этого бесконечного ряда? Перед тем, как читать дальше, дайте себе минуту на размышления. Если вы до этого не встречались с подобным рядом, а тема численных рядов в целом не слишком вам близка, то ответ на этот вопрос будет для вас большим сюрпризом.
Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия.
Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.
Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом
Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам.
Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди
который тоже расходится, но известно, что метод суммирования Чезаро позволяет присвоить этому ряду конечное значение 1/2. Суммирование по Чезаро заключается в оперировании не частичными суммами ряда, а их арифметическими средними. Позволив себе порассуждать в вольном стиле, можно сказать, что то частичные суммы ряда Гранди осцилируют между 0 и 1, в зависимости от того какой член ряда является последним в сумме (+1 или -1), отсюда и значение 1/2, как арифметическое среднее двух возможных значений частичных сумм.
Другим интересным примером расходящегося ряда является знакопеременный ряд 1 — 2 + 3 — 4 +. , частичные суммы которого также осцилируют. Суммирование методом Абеля позволяет присвоить данному ряду конечное значение 1/4. Отметим, что метод Абеля является, своего рода, развитием метода суммирования по Чезаро, поэтому результат 1/4 несложно осмыслить с точки зрения интуиции.
Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.
Ни суммирование по Чезаро, ни метод Абеля, однако, не позволяют работать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +. т. к. средние арифметические частичных сумм, равно как и средние арифметические средних арифметических, расходятся. Кроме того, если значения 1/2 или 1/4 ещё как-то можно принять и соотнести с соответствующими рядами, то -1/12 сложно связать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +. представляющим собой бесконечную последовательность положительных целых чисел.
Существует несколько способов прийти к результату -1/12. В этой заметке я лишь кратко остановлюсь на одном из них, а именно регуляризации дзета-функцией. Введём дзета-функцию
Подставляя s = -1, получим исходный числовой ряд 1+2+3+4+…. Проделаем над этой функцией ряд несложных математических действий
При значении s = -1 эта-функция становится уже знакомым нам рядом 1 — 2 + 3 — 4 + 5 -… «сумма» которого равна 1/4. Теперь мы можем легко решить уравнение
Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:
Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира.
Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией
Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии, где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке.
Почему сумма всех натуральных чисел равна -1/12 18.12.2020 13:19
Думаете, что если сложить все натуральные числа, то получится бесконечность? Индийский математик еще в начале века показал, что эта сумма будет равна -1/12. Погрузимся в дебри математики и разберемся, что не так с этим значением
Натуральные числа представляют собой целые положительные числа от единицы и до бесконечности. Сумма таких чисел представляет собой классический расходящийся ряд, бесконечная сумма которого должны быть равна бесконечности. Однако существуют способы присвоить сумме этого ряда конечное значение.
Считать сумму расходящихся рядов математики научились еще в XIX веке. Так, например, метод суммирования по Чезаро помог найти сумму знакочередующегося ряда Гранди, который представляет собой последовательность »1–1+1–1+1-…». Эта сумма оказалась равна ½. Метод Абеля, разработанный позже, позволяет считать и более сложные ряды, такие как »1–2+3–4+…». Согласно ему, сумма такого ряда будет равна ¼.
Но ни один из этих методов не позволяет посчитать сумму ряда натуральных чисел. Хорошо, что для этого есть другой метод, который называется регуляризацией дзета-функции Римана. Дзета-функция Римана представляет собой функцию от комплексного переменного s, которая определяется рядом Дирихле. Значение дзета-функции от s равно бесконечной сумме ∑n-s, где суммирование происходит по n от 1 до бесконечности. Если мы возьмем значение дзета-функции от -1, значение членов ряда станет равным натуральным числам: 1–1 = 1, (½)-1 = 2, (⅓)-1 = 3… Дзета-функция от -1 в этом случае равна 1 + 2 +3…, то есть сумме натурального ряда.
Чему равна сумма всех натуральных чисел?
Они смотрели на меня как на идиота, но потом я показал им отрывок из книги «Начальный курс теории струн», где этот результат используется (среди прочего) для вывода, что в нашей вселенной должно быть ровно 26 измерений, иначе вся эта математика тупо не имеет никакого смысла.
Строгого доказательства я дать не могу (для этого нужно очень точно определить, что мы вообще делаем), но в целом оно работает так.
Начнем со старой доброй суммы бесконечной геометрической прогрессии:
Возьмем производную от левой и правой части:
Сделаем первый финт ушами, найдем значение этого ряда при x=-1:
Запись не самая корректная, но что-то в этом есть. Примерно также, как можно «на пальцах» ввести дельта-функцию как гауссову кривую с σ, стремящимся к 0, так и здесь – мы устремляем x к -1 и плавно приходим к значению ¼.
Уже странный результат, ведь ряд 1-2+3-4+… расходится. Ну ладно, продолжим.
Есть такая злая штука – дзета-функция Римана,
где s – комплексное число. Нормально она определена при Re(s)>1, нас же интересует точка s=-1:
Сейчас будет второй финт ушами.
(мы вычли один ряд из другого и привели подобные члены)
До тех пор, пока ряд сходится, такие маневры проводить вполне допустимо.
Но мы снова заинтересуемся точкой s=-1. Подставим -1 в выражение выше:
И, наконец, поделим на -3:
Вообще, тот же результат получается, если сделать аналитическое продолжение дзета-функции и найти ее значение при s=-1.
Вот как этим результатом пользуются струнные теоретики:
Теперь студенты смотрят как на идиота не только на меня, но и на струнных теоретиков.