Что делать если отсутствует вращения сферы

Что делать если отсутствует вращения сферы

§ 42. Небесная сфера.

Понятие небесной сферы связано с явлением суточного движения небесных светил: если бы такого не существовало, не было бы необходимости и в мысленном построении полной шаровой поверхности, простирающейся и под горизонтом.

В этом месте изложения предварительное понятие небесной сферы путём подробного разбора явлений видимого суточного вращения небесных светил уточняется и разъясняется лишь как видимое. Для наглядного пояснения этих явлений следует использовать астрономический зонт и стеклянную колбу с намеченными на ней звёздами созвездий Большой Медведицы, Пегаса, Ориона и с приклеенным кружочком, изображающим Солнце. Зонт наглядно поясняет явления для наблюдателя, находящегося внутри небесной сферы, колба даёт возможность представить всю небесную сферу извне так, как её обычно изображают на чертежах. Так как на зонте звёзды нашиты и на внутренней, и на внешней его поверхности, то, пользуясь им, удобно в большом масштабе показать и явления суточного движения, и зеркальность изображений на стеклянной колбе.

Демонстрация стеклянной колбы облегчает переход к обычным чертежам, изображающим небесную сферу. Если осветить колбу ярким светом так, чтобы тень её упала на белый экран, то на нём получается изображение, соответствующее чертежу. Вращение колбы и зонта помогает объяснению существования оси вращения небесной сферы («оси мира»).

Видимое движение светил относительно горизонта учащимся уже известно отчасти из повседневного восприятия движения Солнца и Луны, отчасти из наблюдений ночного неба. Задача учителя состоит в том, чтобы обобщить эти наблюдения и привести к выводу, что эти движения обусловлены общим вращением небесной сферы, в свою очередь объясняемого вращением шарообразной Земли.

Изложение следует начать с восстановления в памяти учащихся хорошо известных фактов движения Солнца над горизонтом и рассказать, сопровождая рассказ чертежами, что и все созвездия движутся таким же образом над линией горизонта.

Рисунки, сопутствующие изложению, следует делать, изображая движение какого-нибудь из созвездий в восточной, южной и западной сторонах небосвода (весьма подходящи для этого созвездия Пегаса и Ориона), а затем в северной (созвездие Большой Медведицы). Установив, что созвездия передвигаются по небу подобно Солнцу в течение дня, учитель подводит к понятию центра вращения путём указаний, сопровождаемых рисунками и фотографией неба (с неподвижной камерой). Показав имеющуюся в учебнике фотографию околополярной области, учитель объясняет, что все звёзды вследствие суточного движения дали свои изображения в виде дуг, стягиваемых углами одного и того же размера. После этого уже легко показать, что все они имеют общий центр. Отсюда нетрудно бывает перейти к существованию на небе неподвижной точки (северного полюса неба) и необходимости существования такой же части небесной сферы, находящейся под плоскостью горизонта и противоположной по направлению.

При всех дальнейших объяснениях следует вводить на чертеже небесной сферы новые линии только после того, как они показаны на моделях.

После объяснения существования полюса неба сейчас же должно быть сделано указание на его местоположение близ a Малой Медведицы. При этом нужно подчеркнуть, что Полярная звезда находится не точно в точке полюса, а отстоит от него на 1њ, и что такое положение яркой звезды близ полюса есть лишь счастливая случайность нашего времени, которой, например, нет для южного полюса небесной сферы. Чтобы поярче продемонстрировать неполярность a Малой Медведицы, полезно показать сильно увеличенную карту окрестностей небесного полюса со звёздами до 8-9-й звёздной величины.

Здесь же должны быть даны указания, как найти Полярную звезду по созвездию Большой Медведицы. Эти указания (проведение мысленных линий по небу) имеют и общее значение, так как знакомят учащихся, если этого ещё не удалось показать и рассказать при начальных наблюдениях, с общими методами переходов от известных созвездий к неизвестным.

Суточное вращение небесной сферы должно быть объяснено вращением Земли, причём полезно это сделать, пользуясь моделью из географического глобуса, астрономического зонта и плоскости горизонта, установленной на глобусе (рис. 45). Самую модель плоскости горизонта для этого урока следует сделать с указателем направления оси мира. Держа над глобусом раскрытый зонт с ручкой, направленной по оси глобуса, учитель сначала вращает зонт и обращает внимание учащихся на перемещение созвездий относительно плоскости горизонта, потом показывает, что то же самое получается, если вращать в противоположную сторону глобус вместе с закреплённой на нём моделью. Ось мира остаётся параллельной оси вращения.

Понятие о географических координатах учащиеся имеют из курса географии, и специального разъяснения их не требуется. Следует только уточнить эти понятия и разъяснить, что на поверхности шара такой способ определения положения наиболее удобен и естественен. Такое разъяснение создаёт предпосылки для понимания экваториальных координат, и, самое главное, это даёт возможность разъяснить, что вращение Земли естественно приводит к построению координат, имеющих полюсы в концах земной оси. После этого надо связать и другие небесные точки и направления с вращающейся и шарообразной Землёй.

Так как вращение небесной сферы уже показано, то, пользуясь при необходимости теми же пособиями, легко пояснить понятие оси мира и наглядно показать её параллельность оси вращения Земли.

После установления понятия оси мира столь же легко и естественно ввести понятие небесного экватора, как линии, получающейся от деления небесной сферы пополам плоскостью, перпендикулярной оси мира. Наглядное пояснение легко дать при помощи стеклянной колбы, на которой тут же следует нанести тушью или чернилами эту линию.

Затем можно обратиться к объяснению понятия суточной параллели и наглядно показать ее при помощи колбы с водой. Если имеется чёрный глобус, то следует совершить переход к этому новому пособию, поставив его рядом с колбой и нанеся на нём ту же линию мелом. В дальнейшем следует всё чаще и чаще при объяснениях пользоваться чёрным глобусом, обращаясь к колбе только в тех случаях, когда чёрный глобус мало помогает разъяснению.

В этом месте курса уместно более подробно объяснить кажущийся эффект голубого небосвода днём и привести факты, доказывающие существование на нём звёзд, кратко разъяснив причины их невидимости при свете Солнца.

Рис. 59. Модель основных направлений и гномонов на географическом глобусе.

Направление оси мира и экватора в любом месте на Земле надо сопоставить с направлением оси вращения Земли и плоскости земного экватора. При этом нужно обратиться к основному определению небесной сферы и объяснить, что при произвольности радиуса сферы и в силу того, что расстояния до звёзд несравненно больше радиуса Земли, направление оси мира параллельно оси вращения Земли. После этого уже нетрудно вывести и параллельность плоскости земного и небесного экватора. Для наглядности полезно устанавливать на географическом глобусе кружок горизонта с наклеенным на нём изображением плоскости экватора и прикреплённой к нему осью мира. Устанавливая эту модель в разных местах глобуса и поворачивая соответственно ось мира с прикреплённым к нему экватором, учитель наглядно покажет всё это и тем подготовит учащихся к выводу о расположении небесной сферы на различных широтах Земли (рис. 59).

Публикации с ключевыми словами: методика преподавания — преподавание астрономии — учебные пособия — демонстрации — звездное небо — школьный атлас — звездная карта — звездные карты — модель — численное моделирование — наблюдения — солнечные часы — планетарий — планирование занятий — наглядные пособия Публикации со словами: методика преподавания — преподавание астрономии — учебные пособия — демонстрации — звездное небо — школьный атлас — звездная карта — звездные карты — модель — численное моделирование — наблюдения — солнечные часы — планетарий — планирование занятий — наглядные пособия

См. также:

Каверзные кватернионы

Отгадайте загадку: в четырёх измерениях сидит и комплексными числами воротит?

Подсказка: это вектор со скаляром. И вещественная матрица. И придумал его Гамильтон.

Не помогло? Ну что вы, это же элементарно! Это кватернион! Кватернионы используют для записи вращений в робототехнике, игровых движках, ПО для моделирования и вообще везде, где не нужны проблемы с углами Эйлера или матрицами. Если вас испугала путаница выше с разными представлениями кватерниона, то можете быть спокойны. Кватернионы очень просты в использовании и их внутреннее строение может понадобиться только в очень редких случаях, где нужна тонкая оптимизация. В остальное время с помощью кватернионов можно крутить всё что угодно и как угодно, и оно будет плавно и красиво интерполироваться без шарнирных замков.

Что же такое кватернион? Понять его проще всего, если разделить на две части: вектор и вращение вокруг него. Представьте, что вы внутри сферы. Вы можете протянуть руку и коснуться внутренней поверхности сферы. Это будет вектор. Теперь, если поворотом кисти вы будете вращать сферу, то получится второй компонент кватерниона. Кватернион это конечное вращение, которое получается из исходного положения.

Кватернион имеет хитрое внутреннее строение. Его можно записать с помощью четырёх чисел: x, y, z для вектора и w для поворота. Сложность заключается в том, что в дополнение к ним ещё есть три мнимые единицы, такие, что: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1. Целиком запись выглядит следующим образом: q = w + x*i + y*j + z*k

Из-за единиц сложение-умножение кватернионов вручную достаточно муторно, но, к счастью, в программировании они не особо важны. Все операции обычно производятся над кватернионами в целом, и лишь изредка используются те четыре числа. Кроме того, во многих библиотеках имеются специальные конструкторы, которые позволяют получить кватернион из более понятных структур, например Quaternion.Euler в Unity3d или Quaternion.CreateFromYawPitchRoll в XNA.

В работе с кватернионами чаще всего приходится их умножать друг на друга. Это очень полезная операция, ведь при умножении одного кватерниона на другой получается первое вращение, повёрнутое на второе. Важно помнить, что умножение кватернионов некоммутативно, а значит важен порядок операндов. То есть q₁*q₂ это не то же самое, что и q₂*q₁. На картинке ниже можете посмотреть на разницу. Слева: Quaternion.Euler(60, 0, 60) * Quaternion.Euler(0, 60, 0), справа: Quaternion.Euler(0, 60, 0) * Quaternion.Euler(60, 0, 60). Цветными линиями показаны пути локальных осей каждого самолётика.

На практике работа с кватернионами выглядит так:

var rightTurn = Quaternion.Euler(0, 90, 0); // Создаём новый поворот направо car.rotation = car.rotation*rightTurn; // Крутим 

В примере выше машинка car поворачивается направо в локальных координатах. Если машина едет по наклонной плоскости, или даже вверх ногами, то она всё равно корректно повернётся куда нужно. Переменную rightTurn можно использовать любое количество раз, вот так, например, выглядит поворот на 360 градусов:

car.rotation = car.rotation*rightTurn*rightTurn*rightTurn*rightTurn; 

По умолчанию кватернион использует глобальные оси координат для отсчёта вращения. Когда один кватернион умножают на другой кватернион, то для второго кватерниона точкой отсчёта становится первый кватернион.

Если бы вы вдруг захотели смоделировать перемещение по разнообразным выпуклым поверхностям как в Super Mario Galaxy с помощью углов Эйлера, то вам пришлось бы долго ломать голову. Всё потому, что они были придуманы для указания конкретной ориентации объекта в пространстве, а не для анимации. С кватернионами всё гораздо проще, и они замечательно интерполируются по кратчайшим путям, тогда как углы Эйлера начинают юлить из-за иерархии поворотов и частенько застревают в шарнирном замке, про который я писал в этой статье. На анимации ниже можете посмотреть как сильно отличается их сферическая интерполяция. Слева кватернионы, справа углы Эйлера.

Если вам всё-таки интересно как кватернионы выглядят внутри, то можете посмотреть на таблицу ниже.

w	x	y	z	Вращение
1	0	0	0	нет вращения
0	1	0	0	180° вокруг оси X
sqrt(0.5)	sqrt(0.5)	0	0	90° вокруг оси X
sqrt(0.5)	-sqrt(0.5)	0	0	-90° вокруг оси X

Значения в таблице получаются из следующей формулы:

[w, x, y, z] = [cos(alpha/2), sin(alpha/2)*vx, sin(alpha/2)*vy, sin(alpha/2)*vz] 

Где alpha — это угол вращения, а vx, vy, vz — вектор оси вращения.

Результатом сложения кватернионов является промежуточное вращение. Сложение кватернионов элементарно, достаточно просто сложить их компоненты. Возьмём, например, q₁ = 1 + 0i + 0j + 0k (нулевое вращение из таблицы выше) и q₂ = 0 + 1i + 0j + 0k (180° вокруг оси X). Их суммой будет q₃ = 1 + 1i + 0j + 0k, т. е. 90° вокруг оси X. К сожалению, в Unity3d оператор сложения не реализован для кватернионов.

Если вы хотите узнать побольше о кватернионах, то советую начать с английской Википедии. Также можете покопаться в Wolfram|Alpha, он выдаёт тонны попутной информации и вообще много умеет. Также можете посмотреть на разницу между углами Эйлера и кватернионами в интерактивной демонстрации по ссылкам ниже.

WebGL | Windows | Linux | Mac | Исходники на GitHub
Мышкой вращать сцену, AD, WS и QE — вращение вокруг осей, Esc — выход, остальные кнопки указаны на экране.
Для пользователей Linux: Сделайте файл Quaternions исполняемым с помощью «chmod +x Quaternions» и запускайте.

Запутанная геометрия путешествий туда и обратно

Вы когда-нибудь задумывались, какой была жизнь, если бы Земля была не сферой, а имела другую форму? Мы воспринимаем как должное плавный ход нашей планеты по Солнечной системе и медленные закаты, которыми мы можем наслаждаться благодаря вращательной симметрии Земли. Кроме того, сферическая Земля позволяет определить и самый быстрый способ добраться из точки A в точку B: просто пройдите по кругу, который проходит через эти две точки и разрезает сферу пополам. Мы используем такие кратчайшие пути, их называют геодезическими, для планирования маршрутов самолетов и для расчета спутниковых орбит.

Но что бы произошло, если бы мы жили на кубе? Наш мир раскачивало бы больше, горизонты искривлены, а кратчайший путь из точки А в точку B найти труднее. Возможно, вы и не будете тратить много времени, чтобы представить свою жизнь на кубе, но математики будут: они изучают, как бы выглядели наши путешествия на самых разных формах. А недавнее решение одного из фундаментальных вопросов о додекаэдре вообще изменило взгляд на объект, который находится у нас перед глазами уже тысячи лет.

Поиск самого короткого пути туда и обратно (из одной точки обратно в эту же точку вокруг куба) для данного геометрического тела может показаться простой задачей. В конце концов, вы же точно вернетесь к тому месту, откуда начали, верно?

На самом деле, это зависит от фигуры или тела, по которому вы идете. Если это сфера, то да. (И да, мы опускаем тот факт, что Земля не является идеальной сферой, а ее поверхность не совсем гладкая.) На сфере пути по прямой повторяют «большие круги», геодезические, например, экватор. Если вы обойдете экватор, то примерно через 25 000 миль вы сделаете полный круг и вернетесь туда, откуда начали.

В кубическом мире геодезические линии не так очевидны. Найти прямой путь на одной грани легко, поскольку каждая грань плоская. Но если бы вы ходили по кубическому миру вокруг, как бы вы продолжали идти прямо, когда достигали края?

Есть старая забавная математическая задача, которая иллюстрирует ответ на наш вопрос. Представьте себе муравья в одном из углов куба, который хочет добраться до противоположного угла. Каков кратчайший путь на поверхности куба от точки A до точки B?

Представьте множество разных путей, по которым может идти муравей.

Но какой из них самый короткий? Есть гениальный способ решения проблемы. Расплющим куб!

Если бы куб был сделан из бумаги, вы могли бы разрезать его вдоль ребер и разгладить лист, чтобы получить такую ​​развертку.

В таком плоском мире легко найти кратчайший путь от A до B: просто проведите прямую линию между ними.

Чтобы увидеть, какой будет геодезическая линия в кубомире, просто соберите куб обратно. Вот наш кратчайший путь.

“Выравнивание” куба работает, потому что каждая грань куба плоская, поэтому ничего не искажается, когда мы разворачиваем тело вдоль ребер. (Подобная попытка «развернуть» сферу не сработает, поскольку мы не можем сделать сферу плоской, не искажая ее.)

Теперь, когда у нас есть представление о том, как выглядят пути по прямой на кубе, давайте вернемся к вопросу, можем ли мы пройти по любому прямому пути и в конечном итоге вернуться туда, откуда начали. В отличие от сферы, на кубе не каждый прямой путь возвращает нас обратно на старт.

Но подобные маршруты туда и обратно возможны. С одной уловкой! Обратите внимание, что муравей может продолжить путь, обозначенный нами выше, и вернуться туда, где начал. На кубе полный круг создает путь, больше похожий на ромб.

Следуя по этому пути (туда и обратно), муравей должен пройти через другую вершину (точку B), прежде чем вернуться в свою начальную точку. В этом и заключается загвоздка: каждый прямой путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, должен проходить через другую вершину куба.

Оказывается, это верно для четырех из пяти платоновых тел. В кубе, тетраэдре, октаэдре и икосаэдре любой прямой путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, должен проходить через какую-то другую вершину по пути. Математики доказали это пять лет назад, но додекаэдра в их списке не было. Мы вернемся к этому чуть позже.

Чтобы понять, почему этот факт о геодезических верен для четырех из пяти платоновых тел, мы воспользуемся методом «кувырка» (tumbling) и переключимся на тетраэдрический мир, где этот способ можно нагляднее продемонстрировать.

Представьте, что вы начинаете путь с вершины тетраэдра и идете по прямой вдоль грани. Расположим тетраэдр так, чтобы путь начинался с нижней грани.

Когда мы встречаем ребро, мы переворачиваем тетраэдр так, чтобы наш путь продолжался по грани, которая оказывается снизу:

Такие повороты дают возможность отслеживать наш путь так же, как мы это делали бы по развертке куба:

Траектория вращений выше представляет этот путь на поверхности тетраэдра:

Пять поворотов тетраэдра соответствуют дополнительным пяти граням, пересеченным нашим маршрутом.

Теперь мы можем представить любой путь на поверхности тетраэдра как путь в этом «вращающемся» пространстве. Давайте определим нашу отправную точку А и посмотрим, где она окажется после нескольких поворотов.

Когда наш путь выходит из точки A, тетраэдр падает на противоположную сторону. Это поднимает точку A от земли.

Вершина A временно возвышается в нашем вращающемся мире. Обычно мы не указываем местоположение точки А при создании нашего вращающегося пространства, но вот где она могла бы появиться, если бы мы смотрели вниз.

По мере того как наш путь продолжается, тетраэдр снова падает. Он может это сделать в одном из двух возможных направлений, но в любом случае А снова оказывается внизу.

Когда мы заставляем тетраэдр падать во всех возможных направлениях, мы получаем кувырок, который выглядит следующим образом:

Получается своеобразная решетка из-за того, что равносторонние треугольные грани тетраэдра совпадают друг с другом.

Эта сетка из треугольников говорит нам о двух интересных вещах в нашем вращающемся мире. Во-первых, все точки, в которые могут приземлиться вершины тетраэдра, являются «точками решетки» (показано на схеме) или точками с целыми координатами. Это потому, что одна единица в нашей системе координат равна длине одного ребра тетраэдра.

Во-вторых, посмотрите, где может оказаться A.

Координаты A всегда четные. Всякий раз, когда A оказывается внизу, она возвращается туда же спустя два вращения, поэтому все возможные места приземления для A размещены с интервалом в две длины ребра на каждом направлении вращения.

Теперь посмотрим, что это говорит о геодезических линиях. Напомним, что путь в тетраэдре, который начинается и заканчивается в точке A, будет отрезком прямой линии во вращающемся пространстве, с началом в точке A (0,0) и с концом в другой точке A. А когда начальная и конечная точки пути совпадают в единой А, что будет в середине пути?

Даже в нашей запутанной системе координат стандартная формула для вычисления середины отрезка все еще работает, поэтому мы можем найти ее координаты, исходя из координат конечных точек.

Поскольку обе координаты начальной точки равны 0, а обе координаты конечной точки четные, координаты середины являются целыми числами. То есть середина будет одной из точек решетки, а, как мы заметили выше, это значит, что она соответствует вершине треугольника во вращающемся пространстве.

Например, путь из (0,0) в (4,2) имеет середину (2,1), это отмеченная точка решетки в нашей сетке.

Получается, что на поверхности тетраэдра путь от A и обратно должен проходить через другую вершину.

Поскольку каждое возможное “место приземления” для A имеет четные координаты, середина каждого геодезического пути, начинающегося и заканчивающегося в A, будет соответствовать точке решетки. Это доказывает, что каждая геодезическая линия от A до A на поверхности тетраэдра должна проходить через другую вершину.

Это простая аргументация была тщательно разработана в 2015 году математиками Дайаной Дэвис, Виктором Додс, Синтией Трауб и Джедом Янг.

Они использовали аналогичный, но гораздо более сложный метод, чтобы доказать то же самое для куба. В следующем году Дмитрий Фукс подтвердил результаты для октаэдра и икосаэдра. Благодаря этому, мы знаем, что для тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра нет прямых путей, идущих от вершины обратно к самой себе, которые бы не проходили через другую вершину.

Но вопрос о существовании таких путей на поверхности додекаэдра оставался открытым до 2019 года, когда математики Джаядев Атрейя, Дэвид Авликино и Патрик Хупер доказали, что это действительно возможно. Фактически они нашли бесконечно много прямых путей на поверхности додекаэдра, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же вершине, не проходя через другие.

Вот один из них, изображенный на развертке додекаэдра, прячущийся у всех на виду.

Тысячи лет платоновы тела изучались вместе, ведь у них так много общего. Но теперь мы знаем кое-что новое о додекаэдре, и это явно отличает его от других тел.

Данное загадочное открытие показывает, что независимо от того, насколько хорошо мы понимаем математические объекты, нам всегда есть чему поучиться. Важно помнить, что путь от проблемы к ее решению не всегда будет прямой!

Задания

1. Если длина ребра куба равна 1, какова кратчайшая длина пути муравья от одной вершины до противоположной?

2. Объясните, почему приведенная ниже схема не может быть траекторией вращения на кубе.

3. Одна из сложностей во «вращении» куба заключается в том, что точка A не имеет уникального конечного положения, связанного с конечным положением куба. Например, даже если куб оказывается в одном и том же месте, вращаясь по красному или по синему пути, точка А оказывается в разных положениях. Определите, где окажется А после поворотов по красной и синей траектории.

4. Это траектория поворотов куба.

Нарисуйте путь на поверхности куба, начиная с точки A.

Ответы

Нажмите, чтобы увидеть ответ 1

Путь — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами длиной 1 и 2.

Согласно теореме Пифагора, длина AB равна √5.

Нажмите, чтобы увидеть ответ 2

Если данная траектория заставляет куб сначала поворачиваться дважды вправо, то его наклон составляет не более 1 куба вверх. После первого кувырка наверх, наивысшая точка достигает середину стороны, что вынуждает нас сделать следующий поворот направо.

Это дает некоторое представление о том, почему траектории «кувырка» у куба сложнее, чем у тетраэдра.

Нажмите, чтобы увидеть ответ 3

Будет полезно повторить это кубиком Рубика или игральным кубиком.

Обратите также внимание, что синий маршрут не может быть траекторией вращения для указанного пути на кубе.

Тела и поверхности вращения. Шар. Цилиндр. Конус

Шар. Цилиндр. Конус. Площади поверхности и объемы этих фигур.

Подробная теория с наглядными иллюстрациями и основные формулы.

Читай эту статью, здесь все это есть.

Всего за 15 минут ты полностью во всём разберешься!

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.

Вот самый простой пример: цилиндр.

Берем прямоугольник и начинаем вращать его вокруг одной из сторон.

А теперь гораздо хитрее. Бывает так, что ось вращения находится далеко от фигуры, которая вращается.

Что получится? Бублик. А по-научному – ТОР.

Ну и так вот можно любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.

Ну, а поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.

Здесь мы рассмотрим подробно несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

Шар

Шар – тело вращения, полученное вращением полуокружности вокруг диаметра.

Вообще-то есть и другое определение шара – через ГМТ (геометрическое место точек)

Шар – геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.

Скажу тебе по секрету, что, хоть второе определение и пугающее на вид, оно удобнее в обращении. Задумайся, ведь если тебя попросят сказать, что такое шар, ты скажешь что-то вроде:

«ну …там есть центр и радиус…», подразумевая, что все точки внутри шара находятся я на расстоянии не большем, чем радиус.

Ну, в общем, шар он и есть шар.

Названия, которые ты должен знать:

Незнакомое тебе, наверное, только одно.

Диаметральное сечение шара – сечение, проходящее через центр. Это сечение иногда еще называют большим кругом.

Площадь поверхности сферы

Откуда взялось? Умные математики придумали – это не так уж просто – придется просто запомнить.

Объем шара

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Если ты знаком с производной, то можешь заметить это:

И это не случайно! Но почему это так вышло, мы тоже здесь обсуждать не будем. Можешь попробовать доказать это сам!

Цилиндр

Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

Вообще-то, полное имя этого тела – «прямой круговой цилиндр», но составители задач и мы вместе с ними по дружбе называем его просто цилиндром. Названия, относящиеся к цилиндру, такие:

Основания у цилиндра – это круги

Еще у цилиндра есть так называемая развертка.

Представь, что у нас от цилиндра осталась только боковая поверхность, и мы ее разрезали вдоль образующей и развернули.

Что получится? Представь себе, прямоугольник.

Развертка цилиндра – прямоугольник.

Площадь боковой поверхности цилиндра

\( H\) – высота, она же образующая.

Откуда взялась эта формула? Это как раз легко! Именно потому, что цилиндр можно развернуть, и получится прямоугольник \( 2\pi R\cdot H\).

Площадь этого прямоугольника и есть площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь прямоугольника, как мы хорошо помним равна произведению сторон, поэтому

Площадь полной поверхности цилиндра

Прибавляем теперь площадь двух кругов – оснований и получаем:

Можно вынести (хотя и не обязательно) \( 2\pi R\):

Но эту формулу неудобно запоминать!

Гораздо проще запомнить, что полная поверхность – сумма боковой поверхности и еще двух кругов – оснований, а боковая поверхность – прямоугольник. И тогда \( _>\) можно вообще не запоминать, ты всегда сам напишешь, что

Объем цилиндра

\( R\) – радиус основания \( H\) – высота

\( V=_>\cdot H\), только у призмы и параллелепипеда \( _>\) — это площадь многоугольника, а у цилиндра \( _>\) — это площадь круга.

Конус

Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

И опять же, полное название этого тела: «прямой круговой конус», но во всех задачах у нас говорится просто «конус».

Названия, относящиеся к конусу:

Что тут нужно твердо помнить?

Ясно ли это? Вроде должно быть ясно, ведь образующая – это гипотенуза (одна и та же!) Треугольника, который вращаем, а радиус основания – катет.

У конуса тоже есть развертка.

Снова представим, что основания нет, разрежем боковую поверхность вдоль образующей и развернём кулек. Что получится?

Представь себе сектор круга. Пусть длина образующей равна \( l\).

Развертка конуса – сектор круга радиуса \( l\)

Площадь поверхности конуса

Как найти площадь боковой поверхности корпуса? Вспомним о развертке, ведь для цилиндра все было просто именно с помощью развертки.

По формуле площади сектора \( _>=^>\cdot \frac\) Где \( \alpha \) – угол при вершине в радианах.

И это уже формула. В некоторых задачах бывает дан именно угол при вершине в развертке конуса.

Но если все же даны только образующая и радиус основания, как быть?

Нужно осознать, что же такое дуга в развертке? Это бывшая окружность основания! Поэтому длина этой дуги равна \( 2\pi R\).

С другой стороны, длина этой же дуги равна \( \alpha \cdot l\), так как это дуга окружности радиуса \( l\). Поэтому

\( \alpha \cdot l=2\pi R\)

\( R\) — радиус окружности основания,

\( l\) — длина образующей

Ну, и осталось площадь полной поверхности конуса. Прибавим к боковой поверхности площадь круга основания, и получаем:

Можно вынести \( \pi R\):

Но, как и для цилиндра, не надо запоминать вторую формулу, гораздо проще всегда пользоваться первой.

Объём конуса

\( R\) – радиус основания \(

Это так же, как у пирамиды

\( _>\) — это не площадь многоугольника, а площадь круга.

А вот откуда взялась \( \frac\)?, по-прежнему остается загадкой, потому что эта \( \frac\) получена в результате довольно хитрых рассуждений умных математиков.

А тебе нужно очень твердо запомнить, что в формулах объёма «треугольных» фигур: конуса и пирамиды эта \( \frac\) и есть, а в формулах параллелепипеда, призмы и цилиндра ее нет!

Бонус: Вебинары по стереометрии из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 14 Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямой

В этом видео мы научимся «видеть» 3-мерное пространство и изображать 3-мерные объекты на бумаге (то есть на плоской поверхности).

Затем мы научимся двум основным вещам — находить расстояние между точками на таких рисунках, а также расстояние от точки до прямой.

На этих умениях строится всё дальнейшее изучение стереометрии. В общем это очень важное, базовое видео, с которого нужно начинать изучение стереометрии.

Не перескакивайте, не пропускайте его! Даже если вы знаете стереометрию, вы найдете для себя очень много полезного и нового в этом видео.

ЕГЭ 14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника

Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем

математика, информатика, физика

Запишитесь на занятия:

• сотни моих учеников поступили в лучшие ВУЗы страны
• автор самого понятного учебника по математике YouClever, по которому учатся десятки тысяч школьников и учителей;
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• профессиональный репетитор c 2003 года;
• преподаю как на русском, так и на английском языках, готовлю к международным экзаменам;
• в 2021 году сдал ЕГЭ на 100 баллов;

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Александр Кель :

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье: Мария
07 февраля 2018
Очень понятно, доступно Александр (админ)
07 февраля 2018
Мария, мы рады! Заходи к нам и делись с друзьями! Евгений
05 марта 2018
Сайт замечательный! Совокупность лёгкого и понятного для прочтения текста и самих рисунков отличная. Александр (админ)
05 марта 2018
Спасибо, Евгений! Заходи… ) Левон
09 мая 2018
Потрясающе! Я в восторге. Всё так хорошо расписано и показано, даже предлагают как можно легче формулами воспользоваться. Продолжайте в том же духе! Александр (админ)
09 мая 2018
Спасибо большое, Левон! Дилдора
18 мая 2018
Да, отлично! Мне тоже понравился. А как можно скачать, чтобы воспользоваться. Александр (админ)
18 мая 2018
Дилдора, привет! К сожалению пока скачать никак нельзя ((( Только если по кускам делать скриншоты и потом распечатать. Руки не доходят сделать. Таня
18 июня 2018
Молодцы, ребята. Это доступно, лаконично, толково. Успехов Вам и нам. Максим
23 мая 2019
Прекрасный сайт. Дела. сейчас реферат по этой теме, обычно приходится сокращать, а здесь наоборот лить воду) Купил бы что-нибудь не для того, чтобы читать, а чтобы этот сайт жил, но, к сожалению, сам студент и деняк нема( Александр (админ)
23 мая 2019
Ничего, Максим, студенты становятся профи и начинают зарабатывать. Все будет тип-топ! За добрые слова спасибо! Геннадий
31 июля 2019
А если образующая колонны — дуга вытянутого эллипса, то какова боковая поверхность этой колонны? Алексей Шевчук
01 августа 2019
Геннадий, здесь не обойтись без интеграла. Нужно знать зависимость радиуса колонны от высоты (например, можно вывести из уравнения эллипса). Геннадий
09 августа 2019
Алексей! В одной из традиций такие образующие могли строить по контрольным точкам. Эллипс с полуосями 1040 и 65 (соотношение 16 к 1) модулей являет 36 точек с целочисленными координатами. Высота колонны — 256 модулей, верхний радиус — 14 модулей, а нижний — 16 модулей. Ось колонны паралельна вертикальной оси разметочного эллипса. Растояние между этими осями — 49 модулей. Основание колонны проецируем на малую ось данного эллипса. Алексей Шевчук
13 августа 2019
Геннадий, ни эллипсы, ни интегрирование (на нужном для этой задачи уровне) в школьной программе не проходятся. Вкратце Ваша задача решается так: 1) Сначала необходимо составить уравнение эллипса. Например, в виде (x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2 = 1 (рекомендую взять x0=49 и y0=0). 2) Пользуясь этим уравнением, можно вывести зависимость радиуса колонны от высоты (при х0=49 и у0=0 нужно будет просто выразить x из уравнения). 3) Нужно вычислить, на каких высотах y1 и y2 радиусы равны 14 и 16 (таких пар будет несколько, зависит от того, выпуклая колонна или вогнутая) — в Вашем случае всё просто, это 256 и 0. 4) наконец, нужно взять определённый интеграл по dy с пределами y1 и y2 от функции 2*pi*x (длины окружности на каждой высоте). Чтобы упростить вычисления, рекомендую пользоваться программами типа wolfram alpha. Геннадий
22 августа 2019
Здравствуйте, Алексей! Спасибо за ответ. Колонна, скажем так, выпуклая. Ее нижний радиус — наибольший, а верхний — наименьший. Локальных перепадов типа «+» — «-» — «+» нет. Мой вопрос (к сожалению) был не очень корректно сформулирован. Интересует не столь площадь боковой поверхности, сколько название этой поверхности (нечто вроде «шарового пояса»). Например «пояс эллиптического тора»?… Алексей Шевчук
25 августа 2019
Пояс закрытого эллиптического тора вполне подойдёт. Правда, не уверен, что Вы найдёте готовые формулы вычисления для подобных фигур Геннадий
28 августа 2019
Спасибо. Это был вопрос корректной формулировки. Интересно, что когда полуоси исходного эллипса 65 и 1040, то его «тело» разбивается на 36 простых (последовательных) дуг с целочисленными координатами. KIZARU
24 октября 2019
Не лезьте в хип-хоп Александр (админ)
24 октября 2019
Хорошо. Не будем.