Что такое пустое множество в математике

автор: admin
10.01.2024

Пустое множество

Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным (англ.) и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

$\in$

-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Обозначения пустого множества

Обычно пустое множество обозначают одним из следующих символов: $~ \varnothing$ , $~ \emptyset$ и $~ \<\>» width=»» height=»» />.</p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: ~ 0 и $~ \Lambda$ .

В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205, ∅ ).

Символы $~ \varnothing$ и $~ \emptyset$ введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.

$~ \varnothing$

Символ идентичен букве Ø в Датско-норвежском алфавите [1] .

Свойства пустого множества

Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, $~ \forall a \ (a \notin \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \notin \varnothing$ .
Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \subseteq a)$ и, в частности, $~ \varnothing \subseteq \varnothing$ .
Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \cup a = a)$ и, в частности, $~ \varnothing \cup \varnothing = \varnothing$ .
Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \cap a = \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \cap \varnothing = \varnothing$ .
Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, $~ \forall a \ (a \setminus \varnothing = a)$ и, в частности, $~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing$ .
Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \setminus a = \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing$ .
Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \triangle a = a \ \land \ a \triangle \varnothing = a)$ и, в частности, $~ \varnothing \triangle \varnothing = \varnothing$
Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, $~ \forall a \ (\varnothing \times a = \varnothing \ \land \ a \times \varnothing = \varnothing)$ и, в частности, $~ \varnothing \times \varnothing = \varnothing$ .
Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, $~ \mathrm(\varnothing)$ , где $~ \mathrm(\varnothing) \Leftrightarrow \forall b \ (b \in \varnothing \to b \subseteq \varnothing)$ .
Пустое множество — ординал. Иначе говоря, $~ \mathrm<Ord>(\varnothing)» width=»» height=»» />, где <img decoding=$ .
Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря, $~ \mu(\varnothing) = 0$

См. также

Аксиома пустого множества

Аксиоматика теории множеств

Ссылки

↑Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (англ.) . — История появления символов теории множеств и логики. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011.Проверено 28 сентября 2010.

Теория множеств

Wikimedia Foundation . 2010 .

Пустое множество

Идеи, Концепции, учения, методы исследования

Пусто́е мно́жество, множество , не содержащее ни одного элемента, обычно обозначается ∅ \varnothing ∅ . Понятие «пустое множество» возникает (подобно понятию « нуль ») из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также множеством. Запись A ∩ B = ∅ A\cap B= \varnothing A ∩ B = ∅ , где символ ∩ \cap ∩ обозначает пересечение множеств , означает, что множества A A A и B B B не имеют общих элементов.

Редакция математических наук. Первая публикация: Большая российская энциклопедия, 2015.

Опубликовано 19 апреля 2023 г. в 17:15 (GMT+3). Последнее обновление 19 апреля 2023 г. в 17:15 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Идеи, Концепции, учения, методы исследования

Области знаний: Теория множеств

Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198,
выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
ISSN: 2949-2076
Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
Главный редактор: Кравец С. Л.
Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru

© АНО БРЭ, 2022 — 2023. Все права защищены.
Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Пустое множество: понятие, свойства и роль в теории вероятности

Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента, которое обозначается символом пустого множества и обладает особыми свойствами в математике и теории вероятности.

Пустое множество: понятие, свойства и роль в теории вероятности обновлено: 13 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Помощь в написании работы

Введение

Добро пожаловать на лекцию по теории вероятности! В этой лекции мы будем изучать понятие пустого множества и его свойства. Пустое множество является одним из основных понятий в теории вероятности и играет важную роль в решении различных задач. Мы рассмотрим его определение, символическое обозначение и свойства, а также рассмотрим его отношение к другим множествам. Кроме того, мы рассмотрим примеры использования пустого множества в теории вероятности. Давайте начнем наше изучение пустого множества!

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Свойства пустого множества

Пустое множество – это множество, которое не содержит ни одного элемента. Оно обозначается символом ∅ или <>.

Свойства пустого множества:

Уникальность

Пустое множество является единственным множеством, которое не содержит элементов. Нет других множеств, которые могут быть равны пустому множеству.

Подмножество любого множества

Пустое множество является подмножеством любого множества. Это означает, что для любого множества A, пустое множество является его подмножеством, обозначается ∅ ⊆ A.

Не является элементом самого себя

Пустое множество не является элементом самого себя. Это означает, что ∅ ∉ ∅.

Равенство пустого множества

Пустые множества равны друг другу. Это означает, что если A и B – пустые множества, то A = B.

Размер пустого множества

Размер пустого множества равен нулю. Это означает, что количество элементов в пустом множестве равно нулю.

Эти свойства позволяют нам лучше понять и работать с пустым множеством в теории вероятности и других областях математики.

Отношение пустого множества к другим множествам

Пустое множество, обозначаемое символом ∅ или <>, имеет особое отношение к другим множествам. Рассмотрим несколько важных свойств этого отношения:

Пустое множество является подмножеством любого множества

Это означает, что пустое множество содержится в любом другом множестве. Формально, для любого множества A, пустое множество является его подмножеством: ∅ ⊆ A.

Любое множество является подмножеством пустого множества

Это означает, что любое множество содержит пустое множество в качестве подмножества. Формально, для любого множества A, пустое множество содержит его в качестве подмножества: A ⊆ ∅.

Пустое множество не является элементом самого себя

Пустое множество не содержит никаких элементов, поэтому оно не может быть элементом самого себя. Формально, это означает, что ∅ ∉ ∅.

Примеры использования пустого множества в теории вероятности

Пустое множество в качестве исходового пространства

В теории вероятности, исходы событий обычно представляются в виде множества. Исходное пространство – это множество всех возможных исходов эксперимента. В некоторых случаях, эксперимент может не иметь ни одного возможного исхода. Например, если мы бросаем монету, но не учитываем результат, то исходное пространство будет пустым множеством. Формально, это можно записать как Ω = ∅, где Ω – исходное пространство.

Пустое множество в качестве события

События в теории вероятности также представляются в виде множеств. Событие – это некоторое подмножество исходного пространства. В некоторых случаях, событие может быть пустым множеством, то есть не содержать ни одного исхода. Например, если мы бросаем монету и рассматриваем событие “выпадение герба и решки одновременно”, то это событие будет пустым множеством, так как такого исхода нет. Формально, это можно записать как A = ∅, где A – событие.

Пустое множество в качестве пустого события

Пустое множество также может быть использовано в качестве пустого события. Пустое событие – это событие, которое никогда не происходит. Например, если мы бросаем монету и рассматриваем событие “выпадение герба и решки одновременно”, то это событие никогда не происходит и является пустым событием. Формально, это можно записать как P(∅) = 0, где P – вероятность события.

Это лишь некоторые примеры использования пустого множества в теории вероятности. Пустое множество играет важную роль в определении и свойствах вероятности и помогает нам лучше понять и анализировать случайные события.

Таблица свойств пустого множества

Свойство	Описание
Уникальность	Пустое множество является уникальным, так как не содержит ни одного элемента.
Размерность	Пустое множество имеет нулевую размерность, так как не содержит элементов.
Включение	Пустое множество включается в любое другое множество.
Пересечение	Пересечение пустого множества с любым другим множеством также будет пустым множеством.
Объединение	Объединение пустого множества с любым другим множеством будет равно этому другому множеству.

Заключение

Пустое множество – это множество, которое не содержит ни одного элемента. Оно обозначается символом ∅ или <>.

У пустого множества есть несколько свойств. Например, любое множество является подмножеством пустого множества, и пересечение пустого множества с любым другим множеством также будет пустым множеством.

В теории вероятности пустое множество может использоваться для описания событий, которые не могут произойти. Например, если мы бросаем кубик, то событие “выпадение числа 7” является пустым множеством, так как такого события не может произойти.

HTTP код 429 — Слишком много запросов с IP 178.175.141.222

Похоже, что на одном IP-адресе с Вами работает кто-то или что-то, что создает чрезмерную нагрузку на наш сервер!

Если Вы используете VPN, прокси-сервер или TOR — попробуйте его отключить или заменить на другой! (но помните, что мы блокируем любые попытки перебора паролей и регистрацию через сервисы такого рода)

Если это не помогает — воспользуйтесь более обычным браузером! (список браузеров по популярности)

Если ничего не помогает — напишите нам на e-mail: wzadm%yandex.ru (поставьте @ вместо % ), в письме укажите ваш ip-адрес ( Узнать свой IP-адрес — вариант 1 или узнать свой IP-адрес — вариант 2)

Если Вы используете бота или паука для скачивания нашего сайта — мы ждем от вас пожертвование! (пишите на e-mail выше, чтобы договориться)

SERVER_PROTOCOL HTTP/1.1
REQUEST_TIME 1704813802
HTTP_USER_AGENT Mozilla/5.0 (X11; Linux i686) AppleWebKit/535.11 (KHTML, like Gecko) Chrome/17.0.963.66 Safari/535.11
HTTP_HOST wp.wiki-wiki.ru
REQUEST_URI /wp/index.php/%D0%9F%D1%83%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE
Вернуться назад | Главная страница | Попробовать поиск

HTTP status code 429 — too many requests IP 178.175.141.222

We believe there is something or someone sharing IP-address with You, that puts unnecessary stress on our server. If You are using a VPN, proxy, or TOR — turn it off or switch to another one and be back with us! (we block registrations and login bruteforcing)

Try another more popular browser! (browser popularity list)

If nothing helps, please, send an e-mail to wzadm%yandex.ru. (put @ instead of %), with Your IP-address (Your IP-address is shown at here or here)

If You are using a bot-spider-scraper — we are waiting for a donation! (see e-mail above)

Что такое пустое множество в математике

Пустое множество

Обозначения пустого множества

Свойства пустого множества

См. также

Ссылки

Пустое множество

Пустое множество: понятие, свойства и роль в теории вероятности

Введение

Свойства пустого множества

Уникальность

Подмножество любого множества

Не является элементом самого себя

Равенство пустого множества

Размер пустого множества

Отношение пустого множества к другим множествам

Пустое множество является подмножеством любого множества

Любое множество является подмножеством пустого множества

Пустое множество не является элементом самого себя

Примеры использования пустого множества в теории вероятности

Пустое множество в качестве исходового пространства

Пустое множество в качестве события

Пустое множество в качестве пустого события

Таблица свойств пустого множества

Заключение

HTTP код 429 — Слишком много запросов с IP 178.175.141.222

HTTP status code 429 — too many requests IP 178.175.141.222

Добавить комментарий Отменить ответ