Как взять производную в маткаде
8.2 Вычисление производных
Для вычисления производных необходимо выбрать соответствующую пиктограмму на панели «Исчисление». Заметим, что функция, ставящаяся под производную, может быть, как определена заранее, так и непосредственно под знаком производной. Так же очень важно, что при вычислении производной не возможно равенство правой и левой частей выражения, поэтому следует использовать знак символьных вычислений вместо знака равенства. Он находится на панели «Символика» и выглядит как стрелка направленная в правую сторону.
Для вычисления производных высших порядков MathCAD предусмотрена функция, которая находит производные n -го порядка. Заполнять плейсхолдеры рекомендуется, начиная со знаменателя, т.е. с той переменной, по которой производится дифференцирование (см. рис. 12).
Рис.12 Вычисление производных
Как найти производную в маткаде
MathCAD имеет встроенный инструментарий для вычисления производных любой сложности. На панели Calculus расположена кнопка быстрого вызова этого инструмента. Программа выдает результат после вызова оператора аналитического вычисления.
Статьи по теме:
- Как найти производную в маткаде
- Как найти производную
- Как построить график заданной функции
Инструкция
Для аналитического вычисления производной выберите кнопку d/dx на панели Calсulus. На рабочем листе в черное окошко после оператора производной впишите вычисляемое выражение. Теперь введите знак стрелки с панели, либо наберите на клавиатуре сочетание Ctrl+”.” (русская буква «ю»). Нажмите F9. Значение производной функции будет выдано в виде математического выражения.
Решение задачи нахождения производной в определенной точке осуществляйте по следующей схеме. Сначала некоторой новой функции присвойте значение производной от заданной функции. Затем подставьте значение известной точки в эту функцию. Правильным будет и другой вариант. Задайте известное значение точки, а затем вычислите производную от нужной функции. Результат получайте с помощью знака равенства.
Вычисление производных высших порядков выполняйте с помощью кнопки dn/dxn, расположенной также в панели Calculus. Важно помнить, что показатель порядка n должен быть обязательно натуральным числом. Когда шаблон вычисления производной появится на рабочем поле, введите в соответствующие черные прямоугольники значение порядка, переменную, по которой будет произведено дифференцирование, и исследуемую функцию. Для получения результата используйте стрелку, а не знак равенства.
При вычислении помните, что погрешность при просчете каждого следующего порядка накапливается, например, результат для производной пятого порядка имеет точность до пятого знака после запятой. По этой причине не всегда имеет смысл использовать численные методы дифференцирования. Всегда проверяйте возможность получения аналитического результата.
3.3. Производные высших порядков MathCAD 12 руководство
Mathcad позволяет численно определять производные высших порядков, от 3-го до 5-го включительно. Чтобы вычислить производную функции f (х) N-го порядка в точке х , нужно проделать те же самые действия, что и при взятии первой производной (см. разд. 3.1 и 3.2), за тем исключением, что вместо оператора производной необходимо применить оператор м-й производной ( Nth Derivative ). Этот оператор вводится с той же панели Calculus (Вычисления), либо с клавиатуры нажатием клавиш +, и содержит еще два дополнительных местозаполнителя (рис. 3.7), в которые следует поместить число N. В полном соответствии с математическим смыслом оператора, определение порядка производной в одном из местозаполнителей приводит к автоматическому появлению того же числа в другом из них.
Рис. 3.7. Оператор производной высшего порядка
Очевидно, что «производная» при N=0 по определению равна самой функции, при N=1 получается обычная первая производная. Листинг 3.7 демонстрирует численное и символьное вычисление второй производной функции в заданной точке. Обратите внимание, что, как и при вычислении обычной производной, необходимо перед оператором дифференцирования присвоить аргументу функции значение, для которого будет вычисляться производная. А вот для аналитического нахождения производных высших порядков при помощи оператора символьного вывода (в полном соответствии с разд. 3.1), вводить значения аргумента не следует (листинг 3.8).
Листинг 3.7. Пример вычисления второй производной функции в точке
Листинг 3.8. Пример аналитического поиска второй производной функции
Убедиться в том, что символьный процессор Mathcad в последней строке листинга 3.7 дает тот же результат, что и вычислительный процессор в предыдущей строке, можно, упростив его. Для этого следует выделить полученное последнее выражение и выбрать в меню Symbolics (Символика) пункт Simplify (Упростить). После этого ниже появится еще одна строка с численным результатом выделенного выражения.
Повторимся, что численный метод предусматривает возможность вычисления производных до 5-го порядка, а символьный процессор умеет считать производные произвольного порядка (конечно, если аналитическое решение задачи в принципе существует). Сказанное иллюстрирует листинг 3.9, в котором аналитически вычисляется шестая производная функции, а попытка численного вывода результата того же выражения приводит к ошибке.
Листинг 3.9 . Численное и символьное вычисление шестой производной
Чтобы вычислить производную порядка выше 5-го численно, можно последовательно применить несколько раз оператор м-й производной (листинг 3.10), подобно тому, как производится отыскание кратных интегралов (см. разд. 4.3.4). Однако следует помнить о том, что численное определение производных высших порядков производится тем же вычислительным методом Риддера, что и для первых производных. Поскольку, как уже было сказано, для первой производной этот метод обеспечивает точность до 7—8 значащих разрядов числа, при повышении порядка производной на каждую единицу точность падает примерно на один разряд.
Из сказанного ясно, что падение точности при численном расчете высших производных может быть очень существенно. В частности, если попытаться определить шестую производную функции l/х, то в качестве результата будет выдан ноль, в то время как истинное значение девятой производной может быть найдено при помощи символьного процессора (листинг 3.10).
Листинг 3.10. Попытка численного поиска шестой производной функции в точке дает неправильный результат
Как взять производную в маткаде
Возвращает n-ю производную f(t) по t , вычисляемую в точке t .
• При численном вычислении n — натуральное число между 0 и 5 включительно.
• При аналитическом вычислении n — любое натуральное число.
Ctrl+Shift+D
Возвращает n-ю частную производную f(t) по t , вычисляемую в точке t .
• При численном вычислении n — натуральное число между 0 и 5 включительно.
• При аналитическом вычислении n — любое натуральное число.
Определяет функцию g как 1-ю производную функции f(t) .
• Можно расположить каскадом n операторов «штрих», чтобы получить nth производную.
• При численном или аналитическом вычислении можно использовать любое количество операторов «штрих». Однако аналитическое вычисление может занимать намного меньше времени.
Ctrl+’ (апостроф)
• f(t) — функция, принимающая скалярные значения. Функция может быть комплексной.
◦ В случае оператора «производная» f(t) может представлять собой функцию любого числа переменных.
◦ В случае оператора «штрих» f(t) должна быть только функцией одной переменной.
• g — имя функции.
• t — точка, в которой вычисляется производная.
Дополнительные сведения
• При вычислении первой производной выражения местозаполнитель степени можно оставить пустым.
• Первая производная вычисляется с точностью до 7—8 значащих цифр при условии, что точка, в которой вычисляется производная, расположена не слишком близко к сингулярности функции. Точность может уменьшаться примерно на 1 значащую цифру за каждое повышение порядка производной.
• Численный метод, используемый при вычислении производных, является разновидностью метода Риддера, в котором вычисляется (n + 1) -точечные разделенные разности с использованием различных размеров шага, где n — порядок производной. Затем с использованием взвешенных средних вычисляются последовательные аппроксимации и сводятся в таблицу. Последовательные записи в таблице сравниваются, и та, у которой оказывается наименьшая ошибка, возвращается как производная при условии, что ошибка не превышает некоторого допустимого уровня.