1. Чётные и нечётные функции
Функцию \(y=f(x)\), x ∈ X , называют нечётной , если для любого значения \(x\) из множества \(X\) выполняется равенство f ( − x ) = − f ( x ) .
Есть чётные функции, нечётные функции, а также ни чётные, ни нечётные.
Чётная или нечётная функция \(y=f(x)\) имеет симметричную область определения \(D(f)\).
Если же \(D(f)\) — несимметричное множество, то функция \(y=f(x)\) не может быть ни чётной, ни нечётной.
Алгоритм исследования функции \(y=f(x)\) на чётность
1. Исследовать область определения функции \(D(f)\) на симметричность. Если область определения не симметрична, то функция ни чётная, ни нечётная. Если область определения симметрична, то продолжать выполнять алгоритм.
2. Записать выражение \(f(-x)\).
3. Сопоставить выражения \(f(-x)\) и \(f(x)\):
а) при f ( − x ) = f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является чётной;
б) при f ( − x ) = − f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является нечётной;
в) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет чётной;
г) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ − f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет нечётной.
Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно оси ординат, то \(y=f(x)\) — чётная функция.
Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно начала координат, то \(y=f(x)\) — нечётная функция.
Как определить симметричность функции относительно 0
Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т. е. для любого x из области определения число (-x) также принадлежит области определения. Среди этих функций выделяют чётные и нечётные.
Функция у =f(x) называется четной, если она обладает следующими свойствами:
область определения этой функции симметрична относительно точки 0, т.е., если x D(f), то –x D(f);
для любого x D(f), выполняется равенство f(-x)=f(x).
Функция y=f(x) называется нечетной, если:
область определения этой функции симметрична относительно точки 0, т.е., если x D(f), то –x D(f);
для любого x D(f) выполняется равенство f(-x)= -f(x).
При построении графиков чётных и нечётных функций будем пользоваться следующими известными из курса алгебры свойствами:
1⁰. График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
2⁰. График нечётной функции симметричен относительно оси координат.
Из этих двух правил вытекает следующее: при построении графика чётной или нечётной функции достаточно построить его часть для неотрицательных x, а затем отразить полученный график относительно оси ординат (в случае чётной функции) или начала координат (в случаи нечётной).
Не всякая функция является четной или нечетной. Функции, не обладающие свойствами четности и нечетности, будем называть функциями общего вида.
Для установления данного свойства необходимо:
проверить выполнимость условия: если x D(f), то -x D(f);
преобразовать выражение f(-х): если f(-х) =f(х), то функция четная; если f(-х) = -f(х), то функция нечетная. В противном случае функция общего вида.
П р и м е р 1. Функция 
чётная, а функция 
нечётная. Действительно, область определения каждой из них (это вся числовая прямая) симметрична относительно точки O и для любого x выполнены равенства 
П р и м е р 2. Функция 
— нечётная. Действительно, 
Её граф ик симметричен относительно начала координат.
П р и м е р 3. Функция 
— чётная, так как её область определения симметричная относительно точки x=0 (она состоит из всех чисел, отличных от -1, 0 и 1) и для всех 
выполнено равенство 
.
П р и м е р 4. Функция не является ни чётной, ни нечётной. Её область определения симметрична относительно точки O, но, например при x=1 не выполнено ни равенство f(1)=f(-1), ни равенство f(1)=-f(-1), поскольку f(1)=2, а f(-1)=0.
П р и м е р 5. Функция 
не является ни чётной, ни нечётной. Действительно, 
В случае четности (нечетности) функции, исследование ее можно рационализировать: исследовать функцию при х> 0, а затем, используя симметричность относительно оси y (начала координат), записать результат при x˂0.
VII. Нули функции и промежутки знакопостоянства.
Значение аргумента x D(f), при которых f(x)=0, называется корнями (или нулями функции). Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, являются точками пересечения графика функции с осью Ox.
Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции.
Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) необходимо решить неравенства f(х) > 0 и f(x) < 0.
Замечание. Если функция f(x) обладает свойством четности или нечетности, то исследование на промежутки знакопостоянства можно провести для х > 0. Чтобы установить промежутки знакопостоянства для х
если функция f(x) четная, то на симметричных промежутках значения функции сохраняются;
если функция f(x) нечетная, то на симметричных промежутках значения функции меняются на противоположные.
Основы мат. анализа Примеры
Определим, является ли функция нечетной, четной или ни той, ни другой, чтобы найти симметрию.
1. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.
2. Четная функция симметрична относительно оси y.
Нажмите для увеличения количества этапов.
Найдем , подставив для всех вхождений в .
Избавимся от скобок.
Функция является четной, если .
Нажмите для увеличения количества этапов.
Проверим, верно ли .
Так как , эта функция не является четной.
Функция является четной
Функция является четной
Функция является нечетной, если .
Нажмите для увеличения количества этапов.
Умножим на .
Так как , эта функция является нечетной.
Функция является нечетной.
Функция является нечетной.
Поскольку данная функция является нечетной, она симметрична относительно начала координат.
Симметрия относительно начала координат
как понять —область определения симметрична относительно нуля!? спасибо всем
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Функция f(x) называется периодической с периодом, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).
Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) >f(x2).
Ксения АнтиповаЗнаток (277) 6 лет назад
вы вопрос читали??
Остальные ответы
Это значит, что функция определена на интервале [-a; a] или ]-a; a[. Где «а» — любое число или символ бесконечности
* *Просветленный (29431) 14 лет назад
И вовсе не так.
Например, для функции y=1/x ее область определения симметрична относительно 0.
Это означает, что если функция определена в точке х, то она определена и в точке (-х).