Как доказать что прямые пересекаются

5.5.1. Взаимное расположение прямых

Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости. Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости.

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим общий алгоритм и две прямые:
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Для лучшего понимания выполним схематический чертёж, на котором в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые
Так как известны точки , то легко найти вектор .

1) Если прямые скрещиваются, то векторы не компланарны, а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, смешанное произведение векторов отлично от нуля:

Пусть . Это означает, что векторы компланарны, и вся конструкция «схлопнулась» в одну плоскость. Следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

2) Если направляющие векторы не коллинеарны, то прямые пересекаются.

3-4) Если направляющие векторы коллинеарны, то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение другой прямой. Если координаты «подошли», то прямые совпадают, если нет – то прямые параллельны.

…Всё ли вам понятно? Если нет, то милости прошу по ссылкам, если да, то отработаем этот незатейливый алгоритм на конкретных практических примерах:

Задача 153

Выяснить взаимное расположение двух прямых

Решение: как и во многих задачах, решение удобно оформить по пунктам:

1) Вытаскиваем из уравнений прямых их точки и направляющие векторы:

2) Найдём вектор:

Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность.

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.
Следовательно, прямые параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

Получены неверные равенства, значит, точка «не подошла». Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.

Ответ:

Интересный пример для самостоятельного решения:

Задача 154

Выяснить взаимное расположение прямых

Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это две различные прямые, и у каждой прямой свой параметр.

Решение и ответ в конце книги.

Далее мы по порядку рассмотрим задачи, «посвященные» скрещивающимся прямым, затем – пересекающимся, затем – параллельным и совпадающим:

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

1. Определение и доказательства признаков параллельности прямых в плоскости

Две прямые в плоскости, либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек).

На плоскости две прямые \(a\) и \(b\), которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются a ∥ b .

Обрати внимание!

Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Рис. \(2\). Выделенные малиновым цветом отрезки не параллельны.
Рассмотрим один из признаков параллельности прямых на плоскости.
1 признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Рис. \(3\). Один из признаков параллельности прямых на плоскости.

Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости из любой точки можно провести только один перпендикуляр.

Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.

Рис. \(4\). Доказательство признака параллельности прямых на плоскости.

Получается противоречие — из одной точки \(H\) к прямой \(c\) проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Для рассмотрения других признаков надо ознакомиться с некоторыми видами углов:
1) вспомним, что нам известны названия и свойства углов, которые образуют две пересекающиеся прямые.

Рис. \(5\). Углы, образованные двумя пересекающимися прямыми.
Вертикальные углы равны: ∠ 1 = ∠ 3 ; ∠ 2 = ∠ 4 .

Сумма смежных углов 180 ° : ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 2 + ∠ 3 = ∠ 3 + ∠ 4 = ∠ 4 + ∠ 1 = 180 ° .

2) Вспомним названия углов при пересечении двух прямых третьей прямой (секущей).

Рис. \(6\). Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
Накрест лежащие углы: ∠ 3 и ∠ 5 ; ∠ 2 и ∠ 8 ;
соответственные углы: ∠ 1 и ∠ 5 ; ∠ 4 и ∠ 8 ; ∠ 2 и ∠ 6 ; ∠ 3 и ∠ 7 ;
односторонние углы: ∠ 3 и ∠ 8 ; ∠ 2 и ∠ 5 .
Эти углы помогут определить параллельность прямых \(a\) и \(b\).
2 признак. Если при пересечении двух прямых третьей секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна \(180°\) — то прямые параллельны.

Рис. \(7\). Признаки параллельности прямых на плоскости.
Приведём доказательство.

Сначала докажем: если прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\), и накрест лежащие углы равны, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.

Например, если ∠ 3 = ∠ 5 , то a ∥ b .

Рис. \(8\). Признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.

Рис. \(9\). Доказательство признака параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов.

1) Отметим точки \(C\) и \(D\), в которых прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\). Через серединную точку \(K\) этого отрезка проведём перпендикуляр \(AB\) к прямой \(a\).

2) ∠ CKA \(=\) ∠ DKB как вертикальные углы, ∠ 3 \(=\) ∠ 5 \(=\) α , \(CK = KD\) — значит, Δ CKA \(=\) Δ DKB по признаку о стороне и двум прилежащим к ней углам.

3) Очевидно, если Δ CKA прямоугольный, то и Δ DKB прямоугольный, и \(AB\) перпендикулярен к прямой \(b\).

4) Согласно первому доказанному признаку прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

5) В случае, когда равны соответственные углы, имеем в виду, что вертикальные углы равны, и доказываем, как в пунктах 1) — 4).

Рис. \(10\). Признак параллельности прямых по равенству соответственных углов.

Рис. \(11\). Доказательство признака параллельности прямых по равенству соответственных углов.

6) В случае, когда сумма односторонних углов равна 180° , имеем в виду, что сумма смежных углов тоже равна \(180°\), и используем в доказательстве пункты 1) — 4).

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми

Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в таблице.

Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку

Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек

Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые

С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в таблице.

Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия

Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой

Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые

Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые

Признак скрещивающихся прямых

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ . Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. . Напомним, что две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей обе эти прямые, и будем доказывать признак скрещивающихся прямых методом «от противного»

Для этого предположим, что прямая a , пересекающая плоскость в точке K , и прямая b , лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α . Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K , не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости. Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость, а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.

Угол между скрещивающимися прямыми

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым (рис. 2).

На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b . Прямая a’ параллельна прямой a , прямая b’ параллельна прямой b. Прямые a’ и b’ пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b .

Для того, чтобы найти угол между прямыми AB₁ и BC₁ , проведем в кубе диагональ боковой грани AD₁ и диагональ верхнего основания D₁B₁ (рис. 4).

ЗАМЕЧАНИЕ . Для более глубокого усвоения понятия «Скрещивающиеся прямые» рекомендуем ознакомиться с разделами нашего сайта «Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми».

Справочник по математике для школьников

• Арифметика
• Алгебра
• Тригонометрия
• Геометрия (планиметрия)
• Геометрия (стереометрия)
• Элементы математического анализа
• Вероятность и статистика

Геометрия (стереометрия)

• Прямые и плоскости в пространстве
  • Способы задания плоскости в пространстве
  • Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости
  • Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми
  • Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Признаки параллельности плоскостей
  • Взаимное расположение трех плоскостей в пространстве
  • Двугранные углы. Углы между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей
  • Прямая перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости
  • Ортогональная проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
  • Расстояние между двумя фигурами
  • Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми
  • Ортогональная проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
  • Длина ортогональной проекции отрезка. Площадь проекции многоугольника
  • Призмы

  Учебные пособия для школьников

  • Задачи на проценты
  • Квадратный трехчлен
  • Метод координат на плоскости
  • Прогрессии
  • Решение алгебраических уравнений
  • Решение иррациональных неравенств
  • Решение логарифмических неравенств
  • Решение логарифмических уравнений
  • Решение показательных неравенств
  • Решение показательных уравнений
  • Решение рациональных неравенств
  • Решение тригонометрических уравнений
  • Степень с рациональным показателем
  • Системы уравнений
  • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
  • Уравнения и неравенства с модулями
  • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

  Демоверсии ЕГЭ

  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
  • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
  • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

  Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

  

  Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

  Точка пересечения двух прямых на плоскости

  • графический
  • аналитический

  Графический метод решения. Используя уравнения, начертить графики прямых и с помощью линейки найти координаты точки пересечения.

  Аналитический метод решения. Необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

  Если система уравнений:

  • имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
  • имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
  • не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

  

  Пример 1. Найти точку пересечения прямых y = 2 x — 1 и y = -3 x + 1 .

  Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

  y = 2 x — 1 y = -3 x + 1

  Вычтем из первого уравнения второе

  y — y = 2 x — 1 — (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x — 2 y = -3 x + 1

  Из первого уравнения найдем значение x

  5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1

  Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

  x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

  Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

  

  Пример 2. Найти точку пересечения прямых y = 2 x — 1 и x = 2 t + 1 y = t .

  Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

  y = 2 x — 1 x = 2 t + 1 y = t

  В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

  t = 2·(2 t + 1) — 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

  -3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = — 1 3 x = 2 t + 1 y = t

  Подставим значение t во второе и третье уравнение

  t = — 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = — 2 3 + 1 = 1 3 y = — 1 3

  Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 1 3 , — 1 3 )

  

  Пример 3 Найти точку пересечения прямых 2 x + 3 y = 0 и x — 2 3 = y 4 .

  Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

  2 x + 3 y = 0 x — 2 3 = y 4

  Из второго уравнения выразим y через x

  2 x + 3 y = 0 y = 4· x — 2 3

  Подставим y в первое уравнение

  2 x + 3·4· x — 2 3 = 0 y = 4· x — 2 3 => 2 x + 4·( x — 2) = 0 y = 4· x — 2 3 =>

  2 x + 4 x — 8 = 0 y = 4· x — 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x — 2 3 =>

  x = 8 6 = 4 3 y = 4· x — 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4· 4/3 — 2 3 = 4· -2/3 3 = — 8 9

  Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 4 3 , — 8 9 )

  

  Пример 4. Найти точку пересечения прямых y = 2 x — 1 и y = 2 x + 1 .

  Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k ₁ = k ₂ = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

  Решим также эту задачу используя систему уравнений:

  y = 2 x — 1 y = 2 x + 1

  Вычтем из первого уравнения второе

  y — y = 2 x — 1 — (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

  В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

  Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

  

  Пример 5. Проверить является ли точка N(1, 1) точкой пересечения прямых y = x и y = 3 x — 2 .

  Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

  Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.

  Точка пересечения двух прямых в пространстве

  Метод решения. Для определение координат точки пересечения прямых в пространстве, необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

  Если система уравнений:

  • имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
  • имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
  • не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

  Пример 6. Найти точку пересечения прямых x — 1 = y — 1 = z — 1 и x — 3 -2 = 2 — y = z .

  Решение: Составим систему уравнений

  x — 1 = a y — 1 = a z — 1 = a x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b =>

  Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

  x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 — 3 -2 = b 2 — ( a + 1) = b a + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 = b

  К шестому уравнению добавим пятое уравнение

  x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 + (1 — a ) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b b = 1

  Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

  x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = 1 1 — a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

  x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

  Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

  Замечание. Если уравнения прямых заданы параметрически, и в обоих уравнениях параметр задан одной и той же буквой, то при составлении системы в одном из уравнений необходимо заменить букву отвечающую за параметр.

  Пример 7. Найти точку пересечения прямых x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 и x = t + 1 y = 3 t — 2 z = 3 .

  Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

  x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 x = a + 1 y = 3 a — 2 z = 3

  Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

  x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t — 3 = a + 1 t = 3 a — 2 — t + 2 = 3 => x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a — 2 t = -1 =>

  Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

  x = 2·(-1) — 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3 a — 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

  Ответ. Так как -6 ≠ 1 3 , то прямые не пересекаются.

  Похожие публикации:

  1. Загружаются в айфон не пойму куда
  2. Как обновить по на макбуке
  3. Как поделиться вайфаем с айфона на андроид
  4. Как подключить к xbox 360 другой джойстик