Как считать пределы со степенями

Как считать пределы со степенями

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Пределы числовых последовательностей

и произносят так: «Предел a_n при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».

То же самое соотношение можно записать следующим образом:

a_n → a при .

Словами это произносится так: « a_n стремится к a при n , стремящемся к бесконечности».

ЗАМЕЧАНИЕ . Если для последовательности

найдется такое число a , что a_n → a при , то эта последовательность ограничена.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Говорят, что последовательность

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа C найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство

Условие того, что числовая последовательность

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

или с помощью обозначения

при .

ПРИМЕР 1 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство

ПРИМЕР 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство

ПРИМЕР 3 . Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо равенство

ПРИМЕР 4 . Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство

ПРИМЕР 5 . Последовательность

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

Рассмотрим две последовательности

Если при существуют такие числа a и b , что

то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

Если, кроме того, выполнено условие

то при существует предел дроби

Для любой непрерывной функции f (x) справедливо равенство

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

знаменатель которой равен q .

Для суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

то будет справедлива формула

В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель q удовлетворяет неравенству

Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к , то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

ПРИМЕР 6 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и сокращая дробь, получаем

ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ . Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби:

В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа.

ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:

ПРИМЕР 9 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ . В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

ОТВЕТ .

ПРИМЕР 10 . Найти предел последовательности

РЕШЕНИЕ . Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство

Число e. Второй замечательный предел

В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой e .

Таким образом, справедливо равенство

причем расчеты показывают, что число

Число e играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

которую называют «экспонента».

e =

что позволяет вычислять число e с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

ЗАМЕЧАНИЕ . Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

Близкие по тематике разделы сайта

С материалами, связанными с пределами последовательностей, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

Справочник по математике для школьников

• Арифметика
• Алгебра
• Тригонометрия
• Геометрия (планиметрия)
• Геометрия (стереометрия)
• Элементы математического анализа
• Вероятность и статистика

Пределы функций. Примеры решений

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?
, , , …

Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности и смотрим на поведение функции:

Вывод: при функция неограниченно возрастает:

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .

! Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно
В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:
И смотрим на наш предел:
Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :

Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Спасибо за внимание.

Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. После освоения двух базовых уроков, рекомендую изучить статью Методы решения пределов, материалы которой позволят выйти на «твёрдую четвёрку»!

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Второй замечательный предел

Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:

\[ \begin \lim_\left(1+\frac\right)^x=e \end \]

Число \(e\), указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: \(e\approx718281828459045>\). Если сделать замену \(t=\frac\), то формулу (1) можно переписать в следующем виде:

\[ \begin \lim_>\biggl(1+t\biggr)^>=e \end \]

Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной \(x\) в формуле (1) или вместо переменной \(t\) в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:

1. Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
2. Показатель степени (т.е. \(x\) в формуле (1) или \(\frac\) в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.

Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность \(1^\infty\). Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ( \(+\infty\) или \(-\infty\)) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная \(t\) может стремиться к нулю как слева, так и справа.

Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.

Задача №1

Условие
Решение

Сразу отметим, что основание степени (т.е. \(\frac\)) стремится к единице:

\[ \lim_\frac=\left|\frac<\infty><\infty>\right| =\lim_\frac>> =\frac =1. \]

При этом показатель степени (выражение \(4x+7\)) стремится к бесконечности, т.е. \(\lim_(4x+7)=\infty\).

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью \(1^\infty\). Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (1) расположено выражение \(1+\frac\), а в рассматриваемой нами задаче основание степени таково: \(\frac\). Посему первым действием станет формальная подгонка выражения \(\frac\) под вид \(1+\frac\). Для начала прибавим и вычтем единицу:

\[ \lim_\left(\frac\right )^ =|1^\infty| =\lim_\left(1+\frac-1\right)^ \]

Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что

\[ \frac-1 =\frac-\frac =\frac =\frac. \]
\[ \lim_\left(1+ \frac-1\right)^ =\lim_\left(1+\frac\right )^ \]

Продолжим «подгонку». В выражении \(1+\frac\) формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении \(1+\frac\) в числителе находится \(6\). Чтобы получить \(1\) в числителе, опустим \(6\) в знаменатель с помощью следующего преобразования:

\[ 1+\frac<6> =1+\frac<\frac<6>> \]
\[ \lim_\left(1+\frac\right )^ =\lim_\left(1+\frac<\frac>\right )^ \]

Итак, основание степени, т.е. \(1+\frac>\), подогнано под вид \(1+\frac\), который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:

\[ \lim_\left(1+\frac>\right)^> \]

Значит, и в нашей задаче показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение \(\frac\), просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на \(\frac\). Итак, имеем:

Отдельно рассмотрим предел дроби \(\frac\), расположенной в степени:

\[ \lim_\frac =\left|\frac<\infty><\infty>\right| =\lim_\frac<6\cdot\left(4+\frac<7>\right)>> =6\cdot\frac =8. \]

Согласно формуле (1) имеем \(\lim_\left(1+\frac>\right )^>=e\). Кроме того, \(\lim_\frac=8\), поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:

\[ \lim_\left(\left(1+\frac>\right)^>\right)^> =e^8. \]

Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:

Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать первую формулу. Если учесть, что \(\frac\to\) при \(x\to\infty\), то применяя формулу (2), получим:

Задача №2

Условие
Решение

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. \(7-6x\), стремится к единице при условии \(x\to\), т.е. \(\lim_(7-6x)=7-6\cdot1=1\). Для показателя степени, т.е. \(\frac\), получаем: \(\lim_\frac=\infty\). Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида \(1^\infty\), которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле (1) переменная \(x\) стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная \(t\) стремится к нулю. В нашем случае \(x\to\), поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную \(y\) ввести так: \(y=x-1\). Так как \(x\to\), то \(\to\), т.е. \(y\to\). Подставляя \(x=y+1\) в рассматриваемый пример, и учитывая \(y\to\), получим:

Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. \(1+t\), соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. \(1+(-6y)\) (выражение \(-6y\) играет роль \(t\)) . Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид \(\frac\), т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить \(\frac\). Домножим показатель степени на выражение \(\frac\). Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение \(\frac=-6y\) :

\[ \lim_>\left(\biggl(1+(-6y)\biggr)^>\right)^ =e^ =\frac. \]Полное решение без пояснений таково: