Как в геометрии обозначается принадлежит

Символьные обозначения

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между геометрическими фигурами, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем используются символьные обозначения.

Символьные обозначения, все их многообразие, может быть подразделено на две группы: — Первая группа — обозначения геометрических фигур и отношения между ними; — Вторая группа — обозначения логических операций, составляющая синтаксическую основу геометрического языка.

Символьные обозначения — Первая группа

Символы, обозначающие геометрические фигуры и отношения между ними

Обозначения геометрических фигур: Φ — геометрическая фигура; A, B, C, D, . L, M, N, . — точки расположенные в пространстве; 1, 2, 3, 4, . 12, 13, 14, . — точки расположенные в пространстве; a, b, c, d, . l, m, n, . — линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций; h, υ(f), ω — линии уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая соответственно); (AB) — прямая проходящая через точки A и B; [AB) — луч с началом в точке A; [AB] — отрезок прямой, ограниченный точками A и B; α, β, γ, δ, . ζ, η, θ — поверхность; ∠ABC — угол с вершиной в точке B; ∠α, ∠β, ∠γ — угол α, угол β, угол γ соответственно; |AB| — расстояние от точки A до точки B (длина отрезка AB); |Aa| — расстояние от точки A до линии a; |Aα| — расстояние от точки A до поверхности α; |ab| — расстояние между прямыми a и b; |αβ| — расстояние между поверхностями α и β; H, V, W — координатные плоскости проекций (именуемые как горизонтальная, фронтальная, профильная соответственно); П₁, П₂, П₃ — координатные плоскости проекций (именуемые как горизонтальная, фронтальная, профильная соответственно); x, y, z — координатные оси проекций (ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат); k_o — постоянная прямая эпюра Монжа; O — точка пересечения осей проекций; `, «, `» — верхние индексы для проекций точек, прямых, углов, фигур, поверхностей на плоскости проекций (именуемые как горизонтальную, фронтальную, профильную соответственно); 1, 2, 3 — верхние индексы для проекций точек, прямых, углов, фигур, поверхностей на плоскости проекций (именуемые как горизонтальную, фронтальную, профильную соответственно); α_H, α_V, α_W — след поверхности оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно; α_H, α_V, α_W — след поверхности α оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно; a_H, a_V, a_W — след прямой a оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно;

Проекции точек, линий, поверхностей любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса A`, A», A`» или 1`, 1″, 1`», соответствующего плоскости проекции, на которой они получены: A`, B`, C`, D`, . L`, M`, N`, . — горизонтальные проекции точек; A», B», C», D», . L», M», N», . — фронтальные проекции точек; A`», B`», C`», D`», . L`», M`», N`», . — профильные проекции точек; a`, b`, c`, d`, . l`, m`, n`, . — горизонтальные проекции линий; a», b», c», d», . l», m», n», . — фронтальные проекции линий; a`», b`», c`», d`», . l`», m`», n`», . — профильные проекции линий; α`, β`, γ`, δ`, . ζ`, η`, θ`, . — горизонтальные проекции поверхностей; α», β», γ», δ», . ζ», η», θ», . — фронтальные проекции поверхностей; α`», β`», γ`», δ`», . ζ`», η`», θ`», . — профильные проекции поверхностей;

Символы взаиморасположения геометрических объектов

Обозначение	Смысловое значение	Пример символической записи
(. )	способ задания геометрического объекта в пространстве и на комплексном чертеже	А(А`, А») – точка А задана на комплексном чертеже горизонтальной и фронтальной проекциями; α(А, b) – плоскость α задана прямой b и точкой А.
∈ ⊂ , ⊃	принадлежность	А∈l – точка А принадлежит прямой l; l⊂α – прямая l лежит в плоскости α
≡	совпадение	А`≡ В` – горизонтальные проекции точек А и В совпадают.
‖ , //	параллельность	a // b – прямые a и b параллельны.
⊥	перпендикулярность	c⊥d – прямые c и d перпендикулярны.
∸	скрещивание	m ∸ n – прямые m и n скрещивающиеся.
∩	пересечение	k ∩ l – прямые k и l пересекаются.
∾	подобие	ΔАВС ~ ΔDEF – треугольники ABC и DEF подобны.
≅	конгруэнтность	ΔАВС ≅ /АВ/ = /CD/ – отрезки АВ и CD равны.
=	равенство, результат действия	/АВ/ = /CD/ – длины отрезков AB и CD равны; k ∩ l = M — прямые k и l пересекаются в точке M.
/	отрицание	А ∉ l – точка А не принадлежит прямой l.
→ ←	отображение, преобразование	V/H → V1/H– система ортогональных плоскостей V/H преобразуется в систему плоскостей V1/H

Символьные обозначения — Вторая группа

Символы обозначающие логические операции

∧	конъюнкция предложений (соответствует союзу «и»)	K ∈ a ∧ K ∈ d – точка K принадлежит прямым a и d
∨	дизъюнкция предложений (соответствует союзу «или»)	А ∈ α ∨ A ∉ α – точка А принадлежит плоскости α или точка А не принадлежит плоскости α.
⇒ ⇐	логическое следствие – импликация (следовательно, поэтому)	a // b ∧ c // b ⇒ a // c – прямые а и с параллельны прямой b, следовательно, они параллельны между собой.
⇔	логическая эквивалентность (что то же самое)	A ∈ l ⇔ A` ∈ l`, A» ∈ l» – точка А принадлежит прямой l, следовательно, ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой; справедливо и обратное утверждение: проекции точки А лежат на одноименных проекциях прямой l, следовательно, точка принадлежит этой прямой.

Прямая линия

Прямая линия — это линия, не имеющая неровностей, скруглений и углов. Прямая линия бесконечна, она не имеет ни начала, ни конца. В геометрии прямая линия называется просто прямой.

Для изображения прямой на бумаге используется линейка. Чтобы начертить прямую, надо провести черту вдоль края линейки:

Так как прямая бесконечна, то какой бы длины не была проведена черта, она будет изображать только часть прямой.

Обозначение прямой

Прямая обозначается одной маленькой латинской буквой, например прямая a, или двумя большими латинскими буквами, поставленными при любых двух точках, лежащих на этой прямой, например прямая AB:

Обратите внимание, что точки на прямой можно обозначать короткими чёрточками.

Свойства прямой

1. Через любые две точки можно провести только одну прямую линию.

Это основное свойство прямой. Оно часто используется на практике, для прокладывания прямых линий с помощью двух каких-либо объектов.

2. Если две любые точки прямой лежат на плоскости, то все точки этой прямой лежат на той же плоскости.

3. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

4. Есть точки лежащие на прямой и не лежащие на ней.

Точки N и M лежат на прямой a. Точка L не лежит на прямой a.

Для записи принадлежности точки к прямой используется символ принадлежности — ∈ . Например, запись M ∈ a обозначает, что точка M принадлежит прямой a. Для того, чтобы указать что точка не принадлежит прямой можно использовать символ ∉ . Например, запись L ∉ a обозначает, что точка L не принадлежит прямой a.

5. Из трёх разных точек, лежащих на одной прямой, только одна может лежать между двумя другими точками.

На рисунке изображена прямая с тремя точками A, B и C, лежащими на ней. Про эти точки можно сказать:

точка B лежит между точками A и C, точка B разделяет точки A и C

точки A и C лежат по разные стороны от точки B .

Также можно сказать:

точки B и C лежат по одну сторону от точки A, они не разделяются точкой A

точки A и B лежат по одну сторону от точки C .

6. Две прямые, лежащие на одной плоскости, или пересекаются друг с другом в одной точке, или являются параллельными.

Список литературы	|	contact@izamorfix.ru
2018 − 2024	©	izamorfix.ru

Как в геометрии обозначается принадлежит

MyTetra Share

Делитесь знаниями!

Что обозначают математические символы

Время создания: 12.11.2015 12:10

Раздел: Точные науки — Математика

Запись: xintrea/mytetra_syncro/master/base/1447319425lk9rgf5ks3/text.html на raw.github.com

В математике, для записей выражений, используется свой символьный язык, элементы которого проходят в школе.

Символ ∀ (перевёрнутая А) и ∃ (Е наоборот) — всего-навсего английские « A ny» и « E xist», попавшие в «математический международный» таким идиотским способом из-за уже используемых «А» (альфа) и «Е» (число Эйлера). То есть:

• Символ ∀ ( A ny) используется для обозначения фразы «Для любого. », «Для любых. ». Иногда такой знак называют «Квантор всеобщности».
• Символ ∃ ( E xist) используется вместо слова «существует». Иногда такой знак называют «Квантор существования».

• Символ Σ — это греческая буква «сигма». Означает сумму элементов.
• Символ ∏ — больша греческая буква «пи». Означает произведение элементов.

• Символ — обозначает равносильность. Например, следует читать «A верно тогда и только тогда, когда B верно»
• Символ ∈ — означает «принадлежит». Обычно испаользуется в контексте множеств, т. е. обозначает «принадлежит множеству».
• Символ ∉ — буквально означает «не принадлежит».
• Символ ⋃ — от слова (union) — обозначает «объединение» того что слева от него и того что справа. Обычно используется в теории множеств.
• Символ ⋂ — обозначает «пересечение». В теории множеств используется для обозначения результата операции пересечения множества A и B: A ⋂ B.

• N или ℕ — любое натуральное число (целое число от 1 до бесконечности)
• Z или ℤ — любое целое число
• Q или ℚ — любое рациональное число (число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби)
• R или ℝ — любое вещественное число
• C или ℂ — любое комплексное число (число с реальной и мнимой частью)
• H или — любой кватернион

• Почему нельзя делить на ноль?
• dxdy.ru — математический форум с возможностью вводить формулы
• Классическая механика: о диффурах «на пальцах»
• Используем быстрое возведение матриц в степень для написания очень быстрого интерпретатора простого языка программирования
• Что обозначают математические символы
• Задачка про два стеклянных шарика и 100 этажное здание
• Первый в мире 3D-мультфильм «Кошечка» (СССР), 1968 г.
• Справочная линейка с формулами по геометрии
• Наименования размерностей десятичных величин

1. Некоторые символы математического языка

Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.

ℕ — обозначение множества всех натуральных чисел.

ℤ — множество целых чисел . Оно состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля.

\(…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\)

ℚ — множество рациональных чисел .

Оно получается из множества целых чисел, если к ним добавить обыкновенные дроби: 1 3 , 51 52 , − 8 5 . .

Множество ℚ рациональных чисел — это множество, состоящее из чисел вида m n ; − m n (где \(m\), \(n\) — натуральные числа) и числа \(0\).

Очевидно, ℕ — составной компонент множества ℤ , а ℤ — составной компонент множества ℚ . Обозначается это так: ℕ ⊂ ℤ ; ℤ ⊂ ℚ .

⊂ — знак включения .

Запись x ∈ X показывает, что \(x\) — элемент множества \(X\).

Запись A ⊂ B показывает, что множество \(A\) — часть множества \(B\). Говорят: \(A\) — подмножество множества \(B\).

Для записи, что элемент \(x\) не принадлежит множеству \(X\) или что множество \(A\) не является подмножеством множества \(B\), используют символы принадлежности, перечёркнутые чертой: x ∉ X , A ⊄ B .

Данные математические символы используют для компактной записи верных математических утверждений, называемых истинными высказываниями .

Каждое рациональное число может быть записано десятичной дробью (конечной или бесконечной периодической):

7 22 = 0,3181818 . = 0,3 ( 18 ) ; 4 = 4,000 . = 4, ( 0 ) ; 7,3777 = 7,37770000 . = 7,3777 ( 0 ) .

Обратное утверждение также верно: каждую бесконечную десятичную периодическую дробь можно записать обыкновенной дробью. Следовательно, любая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом .

Переведём бесконечную десятичную периодическую дробь 4,5 ( 28 ) в обыкновенную дробь.

Пусть \(x=\) 4,5 ( 28 ) , т. е. \(x=\) 4,5282828 . и т.д.

Сначала нужно передвинуть запятую, чтобы она стояла перед периодом. Для этого число \(x\) умножим на \(10\). Получим 10 x = 45,282828 . и т.д.

Теперь передвинем запятую так, чтобы она стояла после периода. Для этого число \(x\) умножим на \(1000\). Получим 1000 x = 4528,282828 . и т.д.

Вычтем из второго равенства первое равенство.

1000 x = 4528,282828 . 10 x = 45,282828 .

Отсюда x = 4483 990 = 4 523 990 .

Приведём примеры перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную в сокращённой записи.

1, ( 23 ) = 123 − 1 99 = 122 99 = 1 23 99 ; 1,5 ( 23 ) = 1 523 − 5 990 = 1 518 990 = 1 259 495 .