Что больше : десятичная дробь или число в периоде?
уже в прошлом Просветленный (22549) ну и где бред если 1,57 = 1,5700000000 а 1,5(7) = 1,577777777 ну и что будет больше . не знаешь то не пиши. про бред. математик бля.. твою.
Булатова РиммаИскусственный Интеллект (126594) 9 лет назад
Абсолютная величина периодической дроби 1,5(7)>1,57.
Значит на числовой оси число (-1,5(7)) стоит левее числа (-1,57), т. е.
(-1,57)>(-1,5(7)).
уже в прошлом Просветленный (22549) да. с минусом наоборот будет. если то минус у ней а не тире.
для положительных чисел:
+1.5(7) > +1.577777
Десятичная дробь — рациональное число
На практике обычно пользуются десятичной, формой записи рациональных чисел. Так, вместо 1 /2 пишут 0,5; вместо — 3 /8 пишут — 0,375; вместо 5 /4 пишут 1,25 и т. д. Для простоты в дальнейшем мы будем говорить лишь о положительных и правильных дробях, то есть дробях, заключенных в интервале от 0 до 1.
Чтобы получить десятичную форму записи числа m /n, нужно m «уголком» разделить на n. Как известно из арифметики, в результате такого деления получается либо конечная, либо бесконечная периодическая десятичная дробь. Проиллюстрируем это на числах 5 /16, 1 /3 и 29 /110.
5 /16= 0,3125 (конечная десятичная дробь);
1 /3 = 0,3333. (бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом 3);
29 /110 = 0,26363. (бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом 63).
Период начинается либо сразу же после запятой (например, 0,333. ), либо после нескольких десятичных знаков, не входящих в период (например, 026363. ). Соответственно этому все периодические десятичные дроби разделяются на простые (такие, как 0,333. ) и смешанные (такие, как 0,26363. ).
Период бесконечной десятичной дроби, которая получается в результате деления целых чисел «уголком», может быть любым натуральным числом; исключается лишь случай, когда он составлен из одних девяток. (На строгом доказательстве этого факта мы останавливаться не будем.) Отметим еще, что любую конечную десятичную дробь можно рассматривать как бесконечную периодическую дробь с периодом 0. Например,
и т. д. Таким образом, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, период которой отличен от 9.
Верно.и обратное утверждение: любая бесконечная периодическая дробь с периодом, отличным от 9, является рациональным числом.
Напомним известные из арифметики правила обращения периодических десятичных дробей в обыкновенные. Для простоты мы предположим, что все рассматриваемые нами десятичные дроби положительны и меньше единицы.
Правило 1. Для обращения простой периодической, дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятинной дроби, а в знаменателе-число, состоящее, из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде дecятичной дроби.
Правило 2. Для обращения смешанной периодической десятичной дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе взять число, стоящее в десятичной дроби до второго периода, минус число, стоящее в десятичной дроби до первого периода; в знаменателе нужно написать столько девяток, сколько цифр в периоде, и приписать к ним столько нулей, сколько цифр в исходной десятичной дроби от запятой до первого периода. Например,
Заметим, что бесконечным периодическим дробям с периодом 9 также можно придать определенный смысл, если формально, используя правила 1 и 2, представить их в виде отношения двух целых чисел. Например, правило 1 дает
и т. д. Все приведенные здесь бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9 оказались ранными конечным десятичным дробям, которые получаются из данных десятичных дробей, если десятичный знак, стоящий перед первым периодом, увеличить на 1, а все последующие десятичные знаки отбросить. Можно доказать, что это относится не только к рассмотренным, но и к любым другим периодическим десятичным дробям с периодом 9. Отсюда вытекает, что любая конечная десятичная дробь может быть представлена в виде бесконечной периодической дроби двумя различными способами: с периодом 0 и с периодом 9. Например,
0,37 = 0,370000. = 0,369999. . . ;
0,6 = 0,600000. = 0,599999. . . .
Это обстоятельство затрудняет изложение теории бесконечных периодических десятичных дробей. Вот почему в дальнейшем мы условимся совсем не говорить о периодических десятичных дробях с периодом 9, каждый раз заменяя их соответствующими периодическими дробями с периодом 0.
Итак, рациональные числа (и только они) представимы в виде бесконечных периодических десятичных дробей. А существуют ли бесконечные непериодические десятичные дроби? Вопрос этот решается положительно. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести хотя бы один пример бесконечной непериодической десятичной дроби. Такой пример дает, в частности, дробь
(после запятой выписываются подряд числа 10, 100, 1000, 10000 и т. д.).
Геометрическое представление рациональных чисел
Пусть Δ есть отрезок, принятый за единицу длины, а l — произвольная прямая. Возьмем на ней какую-нибудь точку и обозначим ее буквой О.
Каждому положительному рациональному числу m /n поставим в соответствие точку прямой l , лежащую справа от С на расстоянии в m /n единиц длины.
Например, числу 2 будет соответствовать точка А, лежащая справа от О на расстоянии в 2 единицы длины, а числу 5 /4 точка В, лежащая справа от О на расстоянии в 5 /4 единиц длины. Каждому отрицательному рациональному числу k /l поставим в соответствие точку прямой, лежащую слева от О на расстоянии в | k /l | единиц длины. Так, числу — 3 будет соответствовать точка С, лежащая слева от О на расстоянии в 3 единицы длины, а числу — 3 /2 точка D, лежащая слева от О на расстоянии в 3 /2 единиц длины. Наконец, рациональному числу «нуль» поставим в соответствие точку О.
Очевидно, что при выбранном соответствии равным рациональным числам (например, 1 /2 и 2 /4 ) будет отвечать одна и та же точка, а не равным между собой числам различные точки прямой. Предположим, что числу m /n соответствует точка P , а числу k /l точка Q. Тогда, если m /n > k /l, то точка Р будет лежать правее точки Q; если же m /n k /l, то точка Р будет находиться левее точки Q.
Итак, любое рациональное число можно геометрически изобразить в виде некоторой, вполне определенной точки прямой.
1. Докажите, что значение выражения \( \frac<2> > + \frac<2> > \) есть число рациональное.2. Докажите, что значение выражения \( \frac <2+ 3\sqrt> + \fracРешение: 1)(10-2√7+10+√7)/(25-7)=20/18=10/92)(6-9√3+6+9√3)/(4-27)=12/-23=-12/23 $$ (2(5- \sqrt ).+2 (5+ \sqrt ))/(5+ \sqrt )(5- \sqrt )= \\ (10-2 \sqrt+10+2 \sqrt)/(5^2- \sqrt^2 ) =20/18=10/9 $$2. Докажите, что значение выражения $$ (3(2-3 \sqrt )+3(2+3 \sqrt ))/(2+3 \sqrt )(2- 3\sqrt )= \\ (6-9 \sqrt + 6+9 \sqrt )/(2^2-(3 \sqrt )^2)=-12/23 $$. Подробнее »
Докажите, что значение выражения 3\квадратный корень из 5 +4 — 3\квадратный корень из 5 -4, есть число рациональное.
Решение: Решение3 / (√5 + 4) — 3 /(√5 — 4) = [3*(√5 — 4 — √5 — 4)] / [(√5 + 4)*(√5 — 4)] == [3*(- 8)] / [(√5)² — 4²] = — 24 / (5 — 16) = — 24 / (- 11) = = 24/11 = 2 (2/11) — число рациональноеОпределение:рациональными числами называются числа, которые можно записать. Подробнее »
Среднее арифметическое двух рациональных чисел m и n меньше нуля, сравните модули чисел m и n, если известно что m больше n.
Решение: Среднее арифм 0, или m>0, n0 ( из условия m>n)Случай m0 также не подходит, т. к. противоречит условию m>n,Случай m. Подробнее »
Найти рациональное число Какое из чисел является рациональным ? √0,169, √1,69, √1690 распишите как находить.
Решение: В случае, если под корнем после запятой чётное количество знаков или нулей (до запятой и после неё, например √0,04, соответственно), то число рациональное.Вот и всё правило! Делаем выводы: первое не подходит, число нулей нечётное, да ещё и после запятой нечётное число знаков(3).Третье отпадает — после запятой(она после целого числа). Подробнее »
№1 Доказать,что для натурального n:а) 10 в степени n = 1 000. 0; n-ое количество нулей.б) 10 в степени минус n = 0,1 в степени n = 0,00. 01; n-ое количество.
Решение: а) числитель 5знаменатель корень 6 из 125 ( под знаком радикала)= числитель 5знаменатель корень 6 из 5^3 ( под знаком радикала)= числитель 5знаменатель корень 2 из 5 ( под знаком радикала)= корень 2 из 5 ( под знаком радикала) б) перед дробью знак минусчислитель 4знаменатель корень 12 ( 12 под знаком радикала)= перед дробью. Подробнее »
1) Найдите сумму наибольшего и наименьшего значения функции \( f(x)=3^
Решение: см. влож ===========================================6*(3+sqrt(2)+sqrt(3))/(4+3sqrt(2))=6*(3+sqrt(2)+sqrt(3))*(4-3sqrt(2))/(16-18)= =3(3sqrt(2)-4)(3+sqrt(3)+sqrt(2))=3(5sqrt(2)-6-4sqrt(3)+3sqrt(6)) F(x)=5*sqrt(x)*2 F(4)=20 F(1)=10 F(4)-F(1)=10 f’(x)=3^xln3-9*3^(-x)*ln3 3^x-93^(-x)=0 x=1 f(1)=3+3=6 f(-1)=1/3+3^3=27 1/3 F(2)=9+1=10 6+27 1/3=33 1/3 ответ 33 1/3. Подробнее »
Сравнение рациональных чисел
В статье рассмотрим основные моменты по теме сравнения рациональных чисел. Изучим схему сравнения чисел с различными знаками, сравнения нуля с любым рациональным числом, а также более детально разберем сравнение положительных рациональных чисел и сравнение отрицательных рациональных чисел. Всю теорию закрепим практическими примерами.
Сравнение рациональных чисел с разными знаками
Сравнение заданных чисел с разными знаками является простым и очевидным.
Любое положительное число больше любого отрицательного, а любое отрицательное число меньше любого положительного.
Приведем простые примеры для иллюстрации: из двух рациональных чисел 4 7 и — 0 , 13 больше число 4 7 , т.к. оно является положительным. При сравнении чисел — 6 , 53 и 0 , 00 ( 1 ) очевидно, что число — 6 , 53 меньше, т.к. оно – отрицательное.
Сравнение рационального числа с нулем
Определение 2
Любое положительное число больше нуля; любое отрицательное число – меньше нуля.
Простые примеры для наглядности: число 1 4 больше, чем 0 . В свою очередь 0 меньше, чем
число 1 4 . Число — 6 , 57 меньше нуля, с другой стороны нуль больше, чем число — 6 , 57 .
Отдельно нужно сказать про сравнение нуля с нулем: нуль равен нулю, т.е. 0 = 0 .
Стоит также уточнить, что число нуль может быть представлено в виде, отличном от 0 . Нулю будет соответствовать любая запись вида 0 n ( n – любое натуральное число) или 0 , 0 , 0 , 00 , … , до 0 , ( 0 ) . Таким образом, сравнивая два рациональных числа, имеющих записи, например, 0 , 00 и 0 3 , делаем вывод, что они равны, т.к. этим записям соответствует одно и то же число – нуль.
Сравнение положительных рациональных чисел
Производя действие сравнения положительных рациональных чисел, нужно в первую очередь сравнить их целые части.
Большим является то число, у которого целая часть больше. Соответственно меньшим является число, целая часть которого меньше.
Необходимо определить, какое из рациональных чисел меньше: 0 , 57 или 3 2 3 ?
Решение
Рациональные числа, заданные для сравнения, являются положительными. При этом очевидно, что целая часть числа 0 , 57 (равна 0 ) меньше, чем целая часть числа 3 2 3 (равна трем). Таким образом, 0 , 57 < 3 2 3 , т.е. из двух заданных чисел меньшим является число 0 , 57 .
Ответ: 0 , 57
Рассмотрим на практическом примере один нюанс используемого правила: ситуацию, когда одно из сравниваемых чисел – периодическая десятичная дробь с периодом 9 .
Необходимо сравнить рациональные числа 17 и 16 , ( 9 ) .
Решение
16 , ( 9 ) – это периодическая дробь с периодом 9 , являющаяся одной из форм записи числа 17 . Таким образом, 17 = 16 , ( 9 ) .
Ответ: заданные рациональные числа равны.
Мы рассмотрели практические примеры, когда целые части рациональных чисел не равны и подлежат сравнению. Если целые части заданных чисел равны, получить результат поможет сравнение дробных частей заданных чисел. Дробную часть всегда возможно записать в виде обыкновенной дроби вида m\n, конечной дроби или периодической десятичной дроби. Т.е. по сути сравнение дробных частей положительных чисел – это сравнение обыкновенных или десятичных дробей. Логично, что бОльшим из двух чисел с равными целыми частями является то, чья дробная часть больше.
Необходимо произвести сравнение положительных рациональных чисел: 4 , 8 и 4 3 5
Решение
Очевидно, что целые части чисел, подлежащих сравнению, равны. Тогда следующим шагом станет сравнение дробных частей: 0 , 8 и 3 5 . Здесь возможно использовать два способа:
- Произведем перевод десятичной дроби в обыкновенную, тогда 0 , 8 = 8 10 . Сравним обыкновенные дроби 8 10 и 3 5 . Приведя их к общему знаменателю, получаем: 8 10 > 6 10 , т.е. 8 10 > 3 5 , соответственно 0 , 8 > 3 5 . Таким образом, 4 , 8 > 4 3 5 .
- Произведем перевод обыкновенной дроби в десятичную, получим: 3 5 = 0 , 6 . Сравним полученные десятичные дроби 0 , 8 и 0 , 6 : 0 , 8 > 0 , 6 . Следовательно: 0 , 8 > 3 5 , а 4 , 8 > 4 3 5 .
Мы видим, что в результате применения обоих способов получен одинаковый результат сравнения заданных исходных рациональных чисел.
Ответ: 4 , 8 > 4 3 5 .
Если равны целые и дробные части положительных рациональных чисел, которые мы сравниваем, то эти числа являются равными друг другу. При этом записи чисел могут различаться (например, 6 , 5 = 6 1 2 ), либо полностью совпадать (например, 7 , 113 = 7 , 113 или 51 3 4 = 51 3 4 ).
Сравнение отрицательных рациональных чисел
Определение 4
При сравнении двух отрицательных чисел бОльшим будет то число, модуль которого меньше и, соответственно, меньшим будет то число, модуль которого больше.
По сути указанное правило приводит сравнение двух отрицательных рациональных чисел к сравнению положительных, принцип которого мы разобрали выше.
Необходимо сравнить числа — 14 , 3 и — 3 9 11 .
Решение
Заданные числа являются отрицательными. Для сравнения определим их модули: | — 14 , 3 | = 14 , 3 и — 3 9 11 = 3 9 11 _formula_. Сравнение начнем с оценки целых частей заданных чисел: очевидно, что 14 > 3 , таким образом 14 , 3 > 3 9 11 . Применим правило сравнения отрицательных чисел, которое гласит, что больше то число, модуль которого меньше и тогда получим: — 14 , 3 < - 3 9 11 .
Ответ: — 14 , 3 < - 3 9 11 .
Необходимо сравнить отрицательные рациональные числа — 2 , 12 и — 2 4 25 .
Решение
Определим модули сравниваемых чисел. | — 2 , 12 | = 2 , 12 и — 2 4 25 = 2 4 25 . Мы видим, что целые части заданных чисел равны, значит необходимо произвести сранение их дробных частей: 0 , 12 и 4 25 . Воспользуемся способом перевода обыкновенной дроби в десятичную, тогда: 4 25 = 0 , 16 и 0 , 12 < 0 , 16 , т.е. 2 , 12 < 2 4 25 . Применим правило сравнения отрицательных рациональных чисел и получим: - 2 , 12 >— 2 4 25 .
Ответ: — 2 , 12 > — 2 4 25 .
Сравнение рациональных чисел
Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.
Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.
Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.
В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы
Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:
Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.
Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное правило
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули:
Отвечаем на вопрос:
Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:
Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Например, сравним числа −3 и −1
Находим модули чисел
Сравниваем найденные модули:
Отвечаем на вопрос:
Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.
Число −3 меньше, чем число −1 . Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой
Видно, что число −3 лежит левее, чем −1 . А мы знаем, что чем левее, тем меньше.
Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2
Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».
Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки чисел. Минус перед числом будет говорить о том, что число отрицательное. Если знак числа отсутствует, то число положительное, но вы можете записать его для наглядности. Напомним, что это знак плюса
Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.
Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет видоизменять, чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.
Пример 1. Сравнить рациональные числа
Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что меньше, чем
Пример 2. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Пример 3. Сравнить числа 2,35 и
Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем что 2,35 больше, чем
2,35 >
Пример 4. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Пример 5. Сравнить рациональные числа 0 и
Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем
Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и
Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем
Пример 7. Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403
Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль
Далее применим правило сравнения положительных чисел.
Находим модули чисел
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403
Пример 8. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.
Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.
Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256
Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256
поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256
Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа
Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.
Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей
Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.
А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2
Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:
В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7
Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и
Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.
Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже