Две неделимые части какой либо величины

Физика (Аристотель)/Книга 6/Глава 1

Если существует непрерывное, касающееся и следующее друг за другом в том смысле, как это определено выше, а именно непрерывны те [предметы], края которых сливаются в одно, касаются те, у которых они вместе, а следуют друг за другом те, между которыми нет ничего принадлежащего к их роду, то невозможно, чтобы что-либо непрерывное состояло из неделимых [частей], например линия из точек, если линия непрерывна, а точка неделима. Ведь края точек не сливаются воедино (так как у неделимого нет ни края, ни какой-либо другой части) и крайние границы не находятся вместе (так как у не имеющего частей нет крайней границы, ибо граница и то, чему она принадлежит, суть разные вещи). Далее, точкам, из которых составлено непрерывное, необходимо или быть непрерывными, или касаться друг друга; то же самое рассуждение относится и ко всяким неделимым. Но непрерывными они не могут быть на основании сказанного; касаются же друг друга все [предметы] или целиком, или своими частями, или как целое части. Но так как неделимое не имеет частей, ему необходимо касаться целиком; касающееся же целиком не образует непрерывного, так как непрерывное заключает в себе то одну часть, то другую и таким образом разделяется на различные, разграниченные по месту части. Однако и следовать друг за другом не будет ни точка за точкой, ни «теперь» за «теперь» так, чтобы из них образовалась длина или время: а именно, друг за другом следуют [предметы], между которыми не находится ничего принадлежащего к их роду, а между [двумя] точками всегда имеется линия и между [двумя] «теперь» время. Далее, и линия и время разделились на неделимые [части], если только каждая [вещь] делится на то, из чего она состоит, но ни одна из непрерывных величин не делится на части, не имеющие частей. Однако никаких [предметов] другого рода не может находиться между точками и между [разными] «теперь». Если бы они находились, то они, очевидно, были бы или неделимыми, или делимыми, и если делимыми, то либо на неделимые, либо же на всегда делимые [части], а это последнее и есть непрерывное. Ясно и то, что все непрерывное делимо на [части], всегда делимые, ибо если оно будет делиться на неделимые [части], то неделимое будет касаться неделимого, так как в непрерывном концы сливаются в одно и касаются.

На том же основании величина, и время, и движение или слагаются из неделимых [частей] и делятся на них, или же нет. Это ясно из следующего. Если величина слагается из неделимых частей, то движение по ней будет состоять из равного числа неделимых движений. Например, если [величина] АВГ состоит из неделимых [частей] А, В, Г, то движение ДЕZ, которым двигалось [тело] О по [пути] АВГ, будет иметь неделимой каждую из своих частей. Если же при наличии движения необходимо чему-нибудь находиться в достоянии движения и, [наоборот], если нечто движется, должно наличествовать движение, то и само состояние движения будет составлено из неделимых [частей]. Пусть О прошло [путь] А, движимое движением Д, [путь] В — движением Е и Г таким же образом [движением] Z. Если необходимо, чтобы [тело], движущееся откуда-нибудь куда-нибудь, не одновременно начало двигаться и завершило движение там, куда оно начало двигаться (например, если кто-нибудь идет в Фивы, невозможно, чтобы он одновременно шел в Фивы и пришел в Фивы), а О двигалось по не имеющему частей [пути] А; поскольку существовало движение Д, то, следовательно, если [О] пришло позднее, чем проходило [путь А], то движение [Д] будет делимым (ведь когда О проходило, оно ни покоилось, ни уже прошло, но было [где-то] посередине). Если же оно одновременно проходит и прошло, то идущий [предмет], в то время как идет, уже придет туда и кончит движение там, куда двигался. Если же что-нибудь движется по целому [пути] АВГ и движение, которым оно движется, есть ДЕZ, а по не имеющему частей [пути] А ничто не может двигаться, а сразу становится продвинувшимся, тогда движение будет состоять не из движений, а из [мгновенных] перемещений и не двигавшееся сразу окажется продвинувшимся, ибо А было пройдено без прохождения. Следовательно, можно будет прибыть куда-нибудь, никогда не проходя [пути]; прошел его, не проходя его. Если, далее, необходимо всему или покоиться, или двигаться, то [О] покоится на каждом [отрезке] А, В, Г, следовательно, будет нечто одновременно покоящееся и движущееся, ибо оно прошло весь [путь] АВГ и на любой части (этого пути] покоилось, так что покоилось и на всем [пути]. И если движения ДЕZ неделимы, то при наличии движения возможно будет не двигаться, а покоиться, если же это не движения, то движение состоит не из движений.

Подобным же образом, как длина и движение, должно быть неделимым и время и слагаться из неделимых «теперь», так как если всякое [движение] делимо и тело, движущееся с равной скоростью, в меньшее [время] проходит меньший путь, то и время будет делимым. Если же время, в течение которого [тело] проходит [путь] А, будет делимо, то будет делимо и А.

Аристотелевский корпус. О неделимых линиях Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

Аннотация научной статьи по философии, этике, религиоведению, автор научной работы — Щетников Андрей Иванович

Аннотированный перевод трактата Аристотелевского корпуса, важного для истории математики. На русский язык переводится впервые.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по философии, этике, религиоведению , автор научной работы — Щетников Андрей Иванович

ПРИТЧЕВЫЕ МИНИАТЮРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ (Часть 2)
XIV век и ранние представления о континууме
ТЕОН СМИРНСКИЙ. ИЗЛОЖЕНИЕ ПРЕДМЕТОВ, ПОЛЕЗНЫХ ПРИ ЧТЕНИИ ПЛАТОНА: Предисловие, перевод, комментарий
Regressus ad infinitum в обосновании Зеноном Элейским немножественности сущего
Мусульманский атомизм как строгий финитизм
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

An annotated translation of the treatise On Indivisible Lines is prepared by Andrej Schetnikov especially for this issue. This short text from the Corpus Aristotelicum, important for the history of mathematics, is translated into Russian for the first time.

Текст научной работы на тему «Аристотелевский корпус. О неделимых линиях»

О НЕДЕЛИМЫХ ЛИНИЯХ

(ПЕР1 АТОМ^ ГРАММА) От переводчика

Небольшой трактат О неделимых линиях традиционно включается в корпус сочинений Аристотеля. Его автором принято считать Теофраста, преемника Аристотеля по перипатетической школе. Во всяком случае Диоген Лаэрций (V, 42) упоминает трактат под таким именем в списке сочинений Теофраста.

Обсуждаемые в трактате О неделимых линиях проблемы тесно связаны с вопросами, рассматриваемыми Аристотелем в Физике (VI, 1-3) и в трактате О возникновении и уничтожении (I, 2). Делимы ли пространство и время до бесконечности? Или же существует предел такого деления, и всякая непрерывная величина в итоге делится на последние неделимые? Если длина делима до бесконечности, то что останется, если мы поделим её повсюду? Сравнительный анализ всех этих сочинений показывает, что автор трактата стоит на тех же позициях, что и Аристотель, и пользуется той же терминологией; а некоторые отрывки трактата совпадают с двумя другими указанными сочинениями дословно.

О мельчайших неделимых телах учили древние атомисты во главе с Демокритом. Противоположное атомистическим воззрениям учение

о бесконечной делимости сущего было выставлено Анаксагором, утверждавшим, что «у малого нет наименьшего, но всегда ещё меньшее (ибо бытие не может перестать быть путём деления)» (БК 59 В3). Учение Анаксагора составило теоретическую основу классической древнегреческой геометрии, с её теорией несоизмеримых величин, обобщающей открытый пифагорейцами факт несоизмеримости стороны и диагонали квадрата.

Наличие развитой математической теории несоизмеримых не помешало Платону вновь постулировать существование неделимых линий. Аристотель замечает в Метафизике: «Платон. началом линии часто называл неделимые линии» (992а20). Учение Платона о неделимых линиях излагалось только изустно; мы о нём практически ничего не знаем. Можно предположить, что это учение было достаточно изощрённым; последние неделимые могли быть в нём не материальным результатом конечного числа делений, но мыслимым пределом бесконечного деления. Однако никаких достоверных свидетельств об этом учении у нас всё-таки нет.

2ХОЛН Vol. 1.2 (2007)

© А. И. Щетников, предисловие и перевод, 2007

Прокл в Комментарии к Государству Платона (II, 271-22) утверждает, что неделимые линии ввёл в рассмотрение не Платон, а его ученик Ксенократ. Думается всё же, что Прокл здесь выгораживает Платона, отрицая его причастность к столь сомнительному с его точки зрения учению; в этом вопросе скорее прав Аристотель, лично слушавший Платона.

Трактат О неделимых линиях носит «диспутационный» характер. В нём рассматривается ровно один вопрос — существуют ли неделимые линии. При этом сначала приводятся разнообразные доводы в пользу существования таких линий, а затем — опровержения этих доводов. Пересказывать здесь содержание всей этой полемики нет необходимости: всё вполне ясно и из самого текста.

Перевод трактата выполнен по изданию: De lineis insecabilibus, ed. I. Bekker, Aristotelis opera, vol. 2. Berlin: Reimer, 1831; repr. De Gruyter, 1960. Исправления текста учтены по изданию: The complete works of Aristotle, ed. J. Barnes, vol. 2. Princeton Univ. Press, 1984.

Аристотелевский корпус. О неделимых линиях

[Доводы в пользу существования неделимых]

(968a) Существуют ли неделимые линии (атоцо1 ураццаО, и вообще, имеется ли во всяком количестве нечто, не имеющее частей (ti ацерес), как говорят некоторые? Ведь где имеются многое и большое, там есть и противоположные им немногое и малое *; и если почти бесконечное деление (5) присуще скорее многому, чем немногому, то ясно, что немногое и малое будут допускать лишь конечное деление. Но если деления конечны, обязательно найдётся некая не имеющая частей величина. Тогда во всяком [количестве] будет содержаться нечто не имеющее частей, поскольку оно и немногое, и малое.

Далее, если имеется идея линии, и если (10) идея первична по отношению к соимённым с ней вещам, и если часть по природе первична по отношению целому, то тогда линия сама по себе (айт^ ^ ураццг|) оказалась бы нераздельной. Но точно так же и квадрат, и треугольник, и другие фигуры, и вообще всякая плоскость и тело сами по себе; а иначе окажется, что у них есть нечто первичное.

Далее, если имеются телесные (15) элементы (ашцатос ато^аа), и для элементов нет ничего первичного, и часть первична по отношению к целому, то тогда огонь и вообще все телесные элементы будут

1 Многое (то поХи) и немногое (то 6X[Yov) — в дискретных количествах, большое (то ц^а) и малое (то |лк:p6v) — в непрерывных величинах.

нераздельными; стало быть не только в мыслимом, но и в чувственно

воспринимаемом есть нечто не имеющее частей 2.

Далее, согласно рассуждению Зенона, обязательно должна иметься некая не имеющая частей величина; ведь (20) невозможно за конечное время прикоснуться к бесконечному, если прикасаться поочерёдно; между тем движущееся тело обязательно пройдёт сначала половину; а у не лишённого частей всегда имеется половина. Но даже если тело, переносимое вдоль линии, прикоснётся к бесконечному за конечное время, и если более быстрое тело проходит за то же самое время большее расстояние, и если быстрее всего движение мысли, то мысль тем более может поочерёдно прикоснуться к бесконечному (968Ь) за конечное время. Но поочерёдное прикосновение мысли — это счёт, поэтому оказывается возможным пересчитать бесконечное за конечное время. Но это невозможно, а потому существует неделимая линия.

Далее, из того, что (5) говорят математики, тоже следует существование неделимой линии. Они утверждают, что соизмеримые [величины] суть те, которые измеряются одной и той же мерой 3; но если имеются соизмеримые, то все они измеримы. Тем самым имеется длина, которой измеряются они все 4. И она по необходимости будет неделимой. Ведь если бы она была делимой, её части (10) тоже были бы мерой: ведь они соизмеримы с целым. К примеру, половина такой меры бралась бы удвоенное число раз. Но поскольку это невозможно, такая мера должна существовать. Но таковы и измеримые этой мерой единожды: сходно с линиями, составленными из частей, они состоят из того, что не имеет частей.

2 Предыдущий довод, в котором шла речь о самой по себе линии (= идее линии), принадлежит Платону, этот же — Демокриту. Ср. Аристотель, О возникновении и уничтожении (316а6-14): «Те, кто лучше знают природу, скорее могут делать предположения о первоначалах, позволяющих вместе связать многое. А те, кто предаются пространным рассуждениям и не созерцают сущего, легко обнаруживают узость своих взглядов. На основании этого легко понять, сколь отличны друг от друга изучающие природу и занимающиеся рассуждениями. Существование неделимых величин одни доказывают тем, что в противном случае, по их словам, сам по себе треугольник (айтотp^Ywvоv) был бы многим, Демокрит же убедился в этом, по-видимому, на основании относящихся к делу физических доводов».

3 Евклид, Начала, кн. X, опр. 1.

4 Это конечно же софизм. Для конечного множества попарно соизмеримых линий общая мера, безусловно, существует; однако это рассуждение не переносится на бесконечное множество попарно соизмеримых линий. Так, во множестве линий, длины которых суть 1, У, У, У, . , любые две линии соизмеримы между собой, однако все линии общей меры не имеют.

Это же верно и для плоскостей 5. (15) Ибо те из них, что построены на рациональных линиях, соизмеримы между собой; а потому их общая мера не будет иметь частей. Ведь если бы от такой меры была отсечена установленная и определённая линия, она не была бы ни рациональной, ни иррациональной 6, и не относилась бы ни к одному из ныне названных [видов], не будучи биномиалью (апотоц^ ёк биоГу) 7. (20) У таких линий вовсе не было бы своей природы, однако между собой они были бы рациональными и иррациональными.

[Доводы против существования неделимых]

Прежде всего, вовсе не обязательно, чтобы то, что допускает бесконечное число делений, не было малым или немногим. Ведь место или величину и вообще что-либо непрерывное мы называем малым, а там, где это нужно, говорим о немногом. (25) И мы не утверждаем, что оно допускает бесконечное число делений.

Далее, если они находятся в составной линии, эти неделимые называют (969а) малыми, и они содержат бесконечно много точек. Но когда линия допускает разделение в точке, причём равным образом в любой из них, она вся имеет бесконечное деление и не является неделимой. Некоторые из них состоят во многих и бесконечных отношениях. Но всякая линия допускает деление (5) в любом из этих отношений, ибо она не является неделимой.

Далее, поскольку большое составлено из малых, либо большое будет ничем, либо то, что допускает конечное деление, не будет большим. Ведь деление целого подобно делению частей. Правдоподобно ли, чтобы малое допускало конечное деление, (10) а большое — бесконечное? Но ведь именно на этом они настаивают. Ясно, что малое и большое называются так не потому, что допускают соответственно конечное и бесконечное деление. И глупо утверждать, что поскольку в числах «немногое» допускает конечное деление, то тем самым и в линиях малое будет таким же. Ведь [числа] порождаются из не имеющего частей, (15) и существует некое начало чисел, и всякое не бесконечное допускает только конечное деление; но для величин дело обстоит иначе.

5 Здесь под плоскостями (ётпёбоО подразумеваются прямоугольники.

6 Евклид, Начала, кн. X, опр. 3: «Назовём заданную прямую рациональной (рг|тг|), а соизмеримые с ней, как линейно и в квадратах, так и только в квадратах, будем называть рациональными, несоизмеримые же с ней — иррациональными (йХоуоО».

7 Определение биномиали см. Евклид, Начала, кн. X, определения вторые. Автор трактата выказывает здесь некоторое знакомство с классификацией иррациональных, изложенной в X книге Начал и приписываемой Теэтету.

Те, кто выводит неделимые из эйдосов, подрывают предложенную аксиому о существовании идей и тем самым разрушают принятое. Ведь посредством таких доводов разрушаются (20) эйдосы.

И ещё, глупо настаивать на том, что телесные элементы не имеют частей. Ведь хотя некоторые и утверждают это, при рассмотрении выясняется, что здесь взято первоначально принятое (то арх^О 8. И чем более мы убеждаемся, что здесь взято первоначально принятое, (25) тем более выясняется, что тело и длина делимы и по массе (оукок;), и по протяжённости.

Что касается рассуждения Зенона, он не утверждает, что переносимое тело соприкасается с бесконечным за конечное время в одном и том же смысле. Ведь о времени и длине говорят и как о бесконечных, и как о конечных, (30) и допускают соответствующее деление 9. И мысль не соприкасается с бесконечным поочерёдно, пересчитывая его, даже если предположить, что мысль всё-таки соприкасается с бесконечным. Это равным образом невозможно: ведь движение мысли (969Ь) не является непрерывным и лежащим в основании, в отличие от переносимых [тел]. И даже если принять возможность такого движения, оно не будет счётом: ведь когда считают, делают паузы. Но нелепо, когда ты не можешь распутать рассуждение и оказываешься рабом (5) своей слабости, и обманываешь себя ещё сильнее, помогая своему бессилию.

А когда о соизмеримых линиях говорят, что все они измеряются одной и той же, это полнейшая софистика, и она нисколько не согласуется с основаниями, принятыми математиками. Ведь они этого не постулируют и (10) не применяют. Более того, противоречиво утверждать, что все линии соизмеримы, и что все соизмеримые имеют общую меру. Такие попытки согласовать свои утверждения и мнение математиков с помощью спорного и софистического рассуждения являются смешными и (15) вовсе бессильными. Бессилие здесь заключается во многом, и парадоксов и опровержений им никак не обойти.

Далее, неуместно поддаваться рассуждениям Зенона и создавать неделимые линии от отсутствия возражений; уже потому, что прямая

8 Логический термин, введённый Аристотелем для обозначения порочного круга в рассуждениях.

9 Ср. Аристотель, Физика (233а21-31): «Ошибочно рассуждение Зенона, в котором предполагается, что невозможно пройти бесконечное или поочерёдно прикоснуться к бесконечному в конечное время. Ведь длину и время называют бесконечными, как и вообще всякое непрерывное, или в отношении деления, или в отношении концов. И вот, бесконечного по количеству нельзя коснуться в конечное время, а по делению — можно, ведь само время бесконечно именно так. И вот, удаётся бесконечное пройти в бесконечное, а не в конечное, и коснуться бесконечного бесконечным, а не конечным».

линия, производящая полукруг, в своём движении обязательно (20) должна коснуться бесконечного [количества] промежуточных дуг и интервалов; но ведь так производится весь круг, и тем самым необходимо, чтобы было пройдено больше полукруга. Исходя из других теорий, имеющих дело с линиями, следует отказаться от допущения, что движение (25) может производиться так, чтобы сначала не выпадало промежуточного. Таких общепринятых [доводов] более чем достаточно. Ясно, что такими рассуждениями существование неделимых линий нельзя ни доказать с необходимостью, ни правдоподобно обосновать. А из дальнейшего это станет ещё яснее.

Во-первых, это согласуется с тем, что доказали и постулировали (30) математики, и пренебрегать справедливыми доводами не следует. Ведь ни определение линии, ни определение прямой не приложимы к неделимой, поскольку последняя не лежит между и не имеет середины 10.

Во-вторых, тогда все линии (970а) будут соизмеримыми. Ведь все линии будут измеряться неделимыми, — соизмеримые как по длине (цг|К£1), так и в квадратах (б^йца). Но все неделимые соизмеряются по длине, поскольку они равны, а тем самым и в квадратах. Если так, то квадрат будет делимым.

Далее, поскольку приложением к длине производится ширина11, тем самым [площадь], равная [квадрату], построенному на неделимой и однофутовой [линии], будучи приложенной к двухфутовой [линии], произведёт ширину, меньшую не имеющей частей: ведь она будет меньше той, что приложена к неделимой.

(10) Далее, из трёх данных прямых составляется треугольник, поэтому он составится и из неделимых. Но во всяком равностороннем треугольнике перпендикуляр падает на середину, и в случае неделимых тоже.

Далее, пусть в квадрате не имеющей частей [линии] проведена [диагональ] через середину, и [на неё из вершины] опущен перпендикуляр. Квадрат на стороне [будет равен] квадратам на перпендикуляре и на половине диагонали, и он не будет наименьшим. И площадь [квадрата] на диагонали не будет удвоенной [площадью квадрата] на неделимой. Ведь если [из диагонали] вычесть равное [стороне], то ос-

10 Евклид, Начала, кн. I, опр. 2: «Линия есть край плоскости»; опр. 4: «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней». Аристотель в Топике (148Ь27-32) приводит ещё одно определение прямой, непосредственно критикуемое в данном рассуждении: «Если ограниченную прямую линию определять как край плоскости, имеющий концы, у которого середина заслоняет концы.»

11 Например, приложив к пятифутовой длине пятнадцатифутовую площадь, мы произведём трёхфутовую ширину.

таток будет меньше не имеющего частей. Если же он будет равен, то квадрат на диагонали будет четырёхкратным.

Можно собрать и другие подобные нелепости; и это противоречит всему в математике.

И ещё, у не имеющего частей (20) — одно соединение (оота^;), а у линий — два: либо касаясь целого целым, либо противоположными концами. Далее, приложенная линия не делает целого больше; вот и не имеющее частей, будучи приставленным, не производит большего.

Далее, из двух не имеющих частей не возникает ничего непрерывного, поскольку всякое непрерывное (25) имеет больше разделений. И поскольку всякая линия, кроме неделимой, непрерывна, тем самым никакой неделимой линии нет.

Далее, всякая линия, кроме неделимой, делится как на равные, так и на неравные. Но не та, что состоит из трёх неделимых или любого нечётного их числа: в этом случае неделимое не разделяется. Это происходит при делении пополам, ведь она состоит (30) из нечётного числа. Но даже если пополам делится не всякая [линия], но лишь состоящая из чётного числа, то поскольку разделённые пополам могут делиться сколько угодно раз, таким образом разделится и неделимое, как если бы то, что состоит из чётного числа, делилось на неравные.

И ещё, пусть движущееся (970Ь) за некоторое время проходит целый [путь], и за половинное время оно проходит половину, и за время, меньшее половины, оно проходит меньше половины. Но если длина состоит из нечётного числа неделимых, устранение середины разделит неделимое, ибо тело пройдёт за половинное (5) время половину пути. Ведь время и длина делятся сходным образом. Но тогда ни одна из составных [линий] не делится на равные и неравные, и они не делятся подобно времени. Значит, неделимых линий не существует.

Но пусть будет верно, как уже говорилось, что все они произведены из (10) того, что не имеет частей. Далее, всякая [линия], не являющаяся бесконечной, имеет два конца: ведь линия определяется так. Неделимая не является бесконечной, так что у неё есть конец. Но тогда она делится: конец и не конец. А иначе существует такая линия, которая не является ни конечной, ни бесконечной, в дополнение к этим двум.

Далее, тогда не на всякой линии имеется точка. Ведь (15) на неделимой линии её нет: если бы была только одна точка, линия была бы этой точкой; а если бы их было много, линия была бы делимой. А если точки нет на неделимой линии, то её нет и на всякой линии: ведь все они состоят из неделимых.

Далее, между точками либо нет ничего, либо есть линия. Но если между ними (20) есть линия, и во всех [линиях] много точек, то она не является неделимой.

Далее, не на всякой линии будет иметься квадрат. Ведь у него есть длина и ширина, так что он делим; вот одно, вот другое. Но если квадрат [делим], то и линия тоже.

Далее, концом линии является точка, а не линия. Ведь конец (25) — это последнее неделимое. И если это точка, то концом неделимого будет точка, и одна линия будет длиннее другой на точку. Но если на неделимой [линии] есть точка, то конец составных линий будет концом того, что не имеет частей. И вообще, чем тогда линия отличается от точки? Ведь (30) неделимая линия не отличается от точки ничем, кроме имени.

Далее, схожим образом имеются неделимые плоскости и тела. Ведь если существует одно неделимое, то за ним и другие, поскольку одно разделяется на другое. Но тело не может быть нераздельным, ведь (971а) у него есть глубина и ширина. Так что нет и нераздельной линии, ведь как тело [делится] на плоскости, так и плоскости на линии.

И поскольку все доводы, которыми они пытаются нас убедить, являются слабыми и ложными, и их мнения (5) останавливаются перед верными, ясно, что никаких неделимых линий нет. И ясно из сказанного, что линия не состоит из точек. Это показывается многими согласными доводами. Ведь точка необходимо разделяется, если нечётное делить на равные или чётное на неравные. И тогда частью линии (10) не будет линия, и частью плоскости — плоскость. И линия будет длиннее линии на точку: если состоит, то и превосходит.

А то, что это невозможно, ясно как из математических соображений, так и из того, что движущемуся телу потребуется некоторое время, чтобы продвинуться на точку. Ведь оно проходит большее (15) за большее время, а равное — за равное, и разность времён тоже есть время. Но пусть время равным образом состоит из «теперь», и к ним обоим применимо одно и то же рассуждение. Но поскольку «теперь» является началом и концом времени, и точка — линии, и поскольку начало и конец не непрерывны, но между ними имеется промежуток, (20) отсюда следует, что ни «теперь», ни точки не непрерывны.

Далее, линия — это величина, но составленные точки не производят величины, потому что они не занимают больше места. Если линию положить и присоединить к линии, ширина от этого не станет больше. И если точки содержатся (25) в линии, то они не занимают больше места, а потому не производят величины.

Далее, либо целое касается целого, либо что-нибудь чего-нибудь, либо целое чего-нибудь. Но точка, как не имеющая частей, [касается] целиком. Но когда целое касается целого, они необходимо будут од-

ним. Но если одно есть, а другого нет, они не касаются как целое (30) целого 12.

Но две, не имеющие частей, вместе занимают не больше места, чем прежде одно; ведь когда обе (971Ь) находятся вместе и не имеют протяжения, они занимают то же самое место. И раз не имеющее частей не имеет протяжения, то и величина не может состоять из того, что не имеет частей. Поэтому ни линия не может [состоять] из точек, ни время из «теперь».

Далее, если [линия] состоит из точек, (5) точка соприкасается с точкой. И если из K проведены две линии AB и CD, [точка на линии AK] и точка на линии KD соприкасаются в К Так что они [касаются] друг друга: но не имеющее частей соприкасается с не имеющим частей как целое с целым. Так что точки, которые занимают место точки K и касаются друг друга, находятся в одном и том же месте. Но если они находятся (10) в одном и том же месте, они касаются друг друга: ведь находящиеся в одном и том же первичном месте по необходимости касаются друг друга. Но если это так, то прямая соприкасается с прямой в двух точках. Ведь точка на AK касается и точки на KC и другой тоже. Так что она касается CD во многих точках. Такое же рассуждение применимо и тогда, когда соприкасаются (15) не две, а сколько угодно линий.

Далее, прямая касается круга во многих [точках]. Ведь соприкосновение и в круге, и в прямой касается и другого. Но поскольку это невозможно, невозможно и точке касаться точки. И если они не касаются, линия не состоит (20) из точек, а иначе они бы по необходимости касались.

Далее, как бы тогда существовали прямая линия и окружность? Ведь тогда соединение точек в прямой и в окружности не различались бы. И неделимое касается неделимого как целое целого, а иначе они не касались бы целиком. Если же эти линии различаются, (25) а соединение не различается, тогда линия не состоит из соединений, а тем самым и из точек.

Далее, точки по необходимости или касаются, или не касаются друг друга. И если соседние по необходимости касаются, будет такое же рассуждение. Но пусть соседние не касаются; однако непрерывным мы называем (30) именно то, составные части чего касаются; и потому точки по необходимости касаются друг друга, если только линия непрерывна.

12 Ср. Аристотель, Физика (231Ь2-6): «Все касаются друг друга или как целое целого, или как часть части, или как часть целого. Но так как неделимое не имеет частей, оно должно касаться как целое целого. Касающиеся же как целое целого не непрерывны. Ведь непрерывное содержит то одну, то другую часть, и так разделяется на разные и разграниченные по месту [части]».

(972а) Далее, поскольку нелепо точке следовать за точкой, или линии за точкой, или линии за плоскостью, сказанное становится невозможным. Если точки стоят друг за другом, линия будет рассекаться не в одной из двух точек, но между ними. (5) А если они соприкасаются, то линия занимает пространство одной точки. Однако это невозможно.

Далее, тогда всё делится и разрешается на точки, и точка будет частью тела, поскольку тело состоит из плоскостей, плоскости из линий, а линии из точек. И поскольку первые составляющие (10) всякой вещи суть элементы, точки будут элементами тел. Элементы будут соимёнными с ними, не различаясь по виду. Но из сказанного ясно, что линия не состоит из точек.

И невозможно отнять точку от линии. Ведь если её можно отнять, то можно и прибавить. (15) Но если нечто прибавляется, тогда то, к чему прибавляется, становится больше, чем оно было в начале, если только прибавляемое образует с ним единое целое. В таком случае линия будет больше линии на точку. Но это невозможно.

Но хотя указанным образом сделать этого нельзя, однако можно отнять точку от линии по сопричастности, если она (20) содержится в отнимаемой линии. Ведь если отнимается целое, то отнимаются его начало и конец; а началом и концом линии являются точки; и если возможно отнять линию, то также и точку. Однако такое отнятие происходит по сопричастности.

Но граница соприкосновения не является границей (25) ни того, ни этого. И пусть соприкасается точка, граница линии. Тогда линия в самом деле становится больше на точку, и точка состоит из точек. Но между соприкасающимися вещами ничего нет. Этот же довод и для рассечения, поскольку рассечение в точке, и рассечение есть соприкосновение. То же самое для тел и плоскостей: тело состоит из плоскостей и линий.

И неверно говорить о точке, что она является наименьшим в линии. О наименьшем говорят как о содержащемся в чём-либо. И то, что является наименьшим, является и сравнительно меньшим. (972Ь) Но в линии нет ничего, кроме точек и линий. И линия не больше точки, как и плоскость не больше линии. Поэтому точка не является наименьшим в линии.

И если линия и (5) точка сравнимы (а наименьшее бывает трёх видов), точка не является наименьшим в линии. Но тогда в длине содержится что-то ещё, кроме точек и линий, и она не состоит из точек. Однако занимать место могут лишь точки, длины, плоскости, тела и то, что из них. И то, из чего состоит линия, (10) занимает место (как и сама линия). И ни тела, ни плоскости, ни то, что из них, не содержатся в линии. Поэтому в длине нет ничего, кроме точек и линий.

Далее, из того, что занимает место, как о большем говорят о длине, поверхности или теле. И поскольку точка занимает место, и то, (15) что содержится в длине, не является ничем из вышеупомянутого, кроме точек и линий, тем самым точка не является наименьшим из того, что содержится [в линии].

Далее, когда говорят о наименьшем в доме, дом с ним не сравнивают. Так и в других случаях. Поэтому и наименьшее в линии (20) не сравнивается с линией. И к [точке] не применимо слово «наименьшее». Ведь то, чего нет в доме, не может быть наименьшим в доме. Так и в других случаях. И хотя возможно, чтобы точка существовала сама по себе, тем самым ещё не будет истинным, что она является наименьшим в линии.

(25) Точка не является также и неделимым сочленением (арбро’У аSlа^р£Tоv). Ведь сочленение всегда является пределом двух вещей, а точка является пределом одной линии. Далее, [точка] — это конец, а [сочленение] — в большей степени разделение.

Далее, линия и плоскость будут сочленениями по имеющейся аналогии. То, что сочленение в каком-то смысле есть перенос (бюфоро;), объясняет Эмпедокл (30) в своём стихе: «два [члена] связует сустав». Но точка относится к неподвижным вещам.

Далее, ни у кого нет бесконечного числа суставов в теле или руке, но число точек бесконечно. Далее, в камне совсем нет суставов, их там нет, а точки всё-таки имеются.

Две неделимые части какой либо величины

Библиографическое описание:
Солопова М.А. АТОМИЗМ // Античная философия: Энциклопедический словарь. М.: Прогресс-Традиция, 2008. С. 196-200.

АТОМИЗМ, термин, принятый для обозначения совокупности натурфило­софских учений о дискретной структуре материи, времени или простран­ства. Традиционно применим к учению о телесных атомах (греч. ἄτομος, «неделимый») Демокрита и Эпикура; однако в широком смысле атомисти­ческой именуется всякая теория дискретного бытия. В таком случае до­пустимо говорить об атомизме применительно к тем философам, которые не употребляли термин «атом» и даже не были сторонниками материали­стических взглядов.

История античного атомизма кроме учений Демокрита и Эпикура обни­мает учения о неделимых частях пространственной величины (первичные треугольники Платона, неделимые линии Ксенократа), времени, движе­ния (Диодор Крон). По замечанию Аристотеля, «в силу одних и тех же при­чин и величина, и время, и движение слагаются из неделимых частей и де­лятся на них или, наоборот, не слагаются и не делятся» (Phys. VI, 231b). Альтернативой принципу дискретности был принцип непрерывности (кон­тинуума), сторонники которого (Аристотель, стоики) были главными его критиками.

Демокрит. Родоначальниками натурфилософского атомизма были Левкипп и Демокрит, которые ввели в философский лексикон само по­нятие «атом». Поскольку Левкиппа некоторые источники называют учи­телем Демокрита, он оказывается наиболее ранним автором, сторон­ником атомистических взглядов. Говорить о существовании атомизма до Левкиппа и Демокрита нет оснований, хотя стоик Посидоний, как пе­редает Страбон, полагал, что у истоков атомистической традиции стоял финикиец Мох Сидонский, живший во времена Троянской войны (Strab. XVI 2, 24). В 19 – нач. 20 в. обсуждалось мнение, высказанное П.Таннери (Tannery P. L’Histoire de la Science Hellene. P., 1887; Owen G. E. L. Zeno and the Mathematicians, – PAS 58, 1957–8, p. 199–222), о том, что аргументация Зенона Элейского против движения была направлена против неких пифаго­рейцев, придерживавшихся атомистической интерпретации пространства (однако основание усмотреть сближение пифагореизма и атомизма могла дать возникшая позднее, в 4 в. до н. э., интерпретация Экфантом монады как неделимого тела).

Формирование античного атомизма было связано с обсуждавшейся в Элейской школе проблемой единого и многого, движения, деления, беско­нечности (ср. Аристотель. «О возникновении и уничтожении», кн. I, гл. 8). Атом – мельчайшее тело, неделимое вследствие своей малости и плотно­сти, он–предел деления всякого тела. Атомов бесконечное множество, они отличаются друг от друга величиной, фигурой и положением в простран­стве; в соединении с другими атомы также характеризуется «порядком». Эти свойства атомов задают все разнообразие телесных чувственно-во­принимаемых качеств, которые субъективны, существуют «по установле­нию», объективно же, «по природе», есть лишь атомы и пустота. Признание Демокритом наряду с атомами также пустоты, позволило ему избежать про­блемы выведения многого из единого (множество постулируется); понятие пустоты обосновывало возможность движения атомов (движение – неотъ­емлемое свойство атомов). Возникновение вещей в окружающем космосе атомисты трактовали как соединение атомов, а уничтожение – как их разъ­единение.

Уже в Античности в рамках атомизма – противопоставляемого теори­ям единой и непрерывной материи – рассматривали учения о «гомеомери­ях» Анаксагора и Архелая (Alex. De mixt. 213, 18–214, 5), «амерах» Диодора Крона (Alex. De sensu 172, 29) и треугольниках Платона (Arist. De Caelo III 1).

Платон и Академия. Т. н. «математический атомизм» Платона изла­гается в диалоге «Тимей». Согласно Платону, материя («хора») имеет атоми­стическую структуру: четыре элемента, т. е. мельчайших тела, обладающих собственными качествами, состоят из «треугольников», минимально огра­ниченных квантов пространства, обладающих исключительно количествен­ными характеристиками. Из первичных треугольников путем их вращения и комбинирования образуются элементарные объемные тела. В Античности эта геометризованная теория материи была раскритикована перипатетика­ми (ср.: Arist. De Caelo III 1, 299a3–300a19; Alex. Quaest. II 13).
В рамках истории атомистических идей рассматривают сохранившийся в аристотелевском корпусе трактат «О неделимых линиях» (Περὶ ἀτόμων γραμμῶν), представляющий учение о неделимых линиях как пределе деле­ния и его критику. Автором критикуемого учения был, вероятно, Ксенократ, третий схоларх Академии и соученик Аристотеля.

Сам Аристотель в 1-й книге «Физики» – в ходе критики учения Анаксагора о смеси вещей, состоящей из бесконечно делимых компонен­тов, бесконечных «как по величине, так и малости», – выдвинул аргумент о существовании неделимых частей тел: поскольку животное не может быть сколь угодно великим либо малым, то не могут и его части быть сколь угод­но велики или малы; частями животного являются мясо, кровь и другие по­добочастные, которые, таким образом, не могут быть бесконечно делимы (Phys. I, 187b14–21).

Гераклид Понтийский выдвигает свою версию атомизма, отлич­ную и от демокритовского, и от академического вариантов его разработки. Началами всех вещей он называет ἄναρμοι ὄγκοι, «несвязанные частицы» (fr. 119 a-b Wehrli), подчеркивая тем самым особый способ взаимосвя­зи своих первоэлементов, отличный от механического сцепления атомов Демокрита посредством «присосок и крючков». По-видимому, Гераклид по­нимал ἄναρμοι ὄγκοι как самодостаточные и в этом смысле неделимые пер­воначала, носители своеобразных качеств, способные подвергаться внеш­ним воздействиям (παθητῶν – fr. 120). При этом Гераклид все же допускал делимость своих «частиц» на θραύσματα, «кусочки», – мельчайшие недели­мые бескачественные частицы (fr. 121), определенным образом структури­ровавшие эти ὄγκοι. Разработанная Гераклидом атомистическая концепция оказала влияние на физические изыскания Стратона Лампсакского и рим­ского врача 1 в. до н. э. Асклепиада из Вифинии.

Диодор Крон, принадлежавший к т. н. Диалектической школе (см. Мегарская школа), выдвинул ряд аргументов в пользу существования не имеющих частей тел («амер», ἀμερὴ σώματα), продолжая начатый Зеноном Элейским логический анализ проблемы бесконечной делимости и движе­ния. Амеры – мельчайшие тела, не имеющие частей не просто потому, что их физически невозможно рассечь, но потому, что у них нет и не может быть никаких частей; в отличие от атомов Демокрита, для амер не вводилось раз­личия по форме, чтобы не было оснований говорить хотя бы о мысленной их делимости. Все же амеры имеют некую величину, достаточную для того, чтобы в сумме образовать чувственно воспринимаемое тело. Кроме неде­лимых тел, Диодор допускал также существование минимальных недели­мых частей пространства и времени: любой промежуток времени может быть разделен на более короткие периоды, каждый из которых больше нуля, но разделить его уже нельзя. И каждый отрезок пространства может быть разделен вплоть до минимального неделимого отрезка.
Секст Эмпирик (Adv. math. X 48 слл.) излагает аргументацию Диодора о существовании дискретных величин. На этом было основано отрицание Диодором движения как процесса в настоящем времени: тела не движутся ни в том месте, где они есть, ни в том, где их нет. Поскольку данная альтер­натива, по Диодору, охватывает все возможные случаи, то отсюда он делает вывод, что движения нет.

Преемник Теофраста по руководству Ликеем Стратон из Лампсака, по всей видимости, попытался соединить некоторые положения атомизма с аристотелевским учением: он считал, что время состоит из неделимых мо­ментов, между тем как тело и место делимы до бесконечности; соответствен­но, он утверждал, что движущийся предмет проходит в неделимое время де­лимый промежуток пространства «целиком и сразу» (Sext. Adv. math. X 90).

Эпикур. Продолжением традиции демокритовского атомизма было учение Эпикура, который в целом следовал понятию атома, введенному Демокритом, – маленькое плотное тело, имеющее свою форму, величину и поворот в пространстве, – однако приписал атомам тяжесть и способность отклоняться от первоначального прямолинейного движения. Введение в аб­солютно детерминированную картину мира элемента свободы – главное отличие двух атомистических учений. Обсуждается вопрос, принадлежит ли Демокриту или Эпикуру интерпретация физического атомизма в смыс­ле математического (теория дискретного пространства-времени); возмож­но, что обозначенная Аристотелем проблема была разработана Диодором Кроном и через него повлияла на Эпикура. Лукреций и его поэма «О приро­де вещей» важны как изложение атомистического учения Эпикура.

Атомизм Эпикура в отличие от раннего демокритовского варианта уже проводит различие между физической нерассекаемостью атома и его поня­тийной неделимостью, не оставляя без решения проблему, связанную с тем, как атомы могут иметь части (если у атомов имеются различия в их форме, они могут касаться друг друга сторонами, составлять величину). Эпикур полагал, что нерассекаемые атомы должны иметь мыслимые части.

Учение о движении атомов у Эпикура также имело отличия от демок­ритовского. Демокрит говорит о центростремительном движении атомов в данном космосе, вероятно созданном космическим вихрем. Эпикур наде­ляет атомы внутренним собственным движением вниз, под действием тя­жести, сквозь бесконечный космос. Направление книзу, возможно, отвечает на аристотелевскую критику Демокрита, который, по его мнению, не пока­зал, каково движение атомов, а только говорил, что оно вечное и что они не­прерывно сталкиваются между собой. По Эпикуру, атомы внезапно откло­няются от прямолинейного направления движения. Это объясняло, почему атомы сталкиваются, а не движутся параллельно. Последователи Эпикура поставили под сомнение и демокритовский тезис о том, что качества суще­ствуют лишь по установлению, на самом же деле у атомов их нет, – эпику­реец Полистрат защищал тезис о реальности качеств.

Асклепиад из Вифинии может быть отнесен к одним из последних представителей античного атомизма в натурфилософии, поскольку он раз­делял дискретную теорию материи и был сторонником знания, основанно­го на чувственном опыте. Асклепиад воспринял атомистическую теорию Гераклида Понтийского о «несопряженных телах» (ἄναρμοι ὄγκοι), соеди­нив ее с гипотезой о мельчайших «порах» (πόροι). Наличием в телах пор Асклепиад объяснял всякого рода взаимодействия, в частности, веществ в растворах, а также функционирование живого организма; эти идеи восхо­дят к учению о порах Стратона из Лампсака. Учение Асклепиада имеет чер­ты, родственные атомизму Демокрита–Эпикура: в одном случае первоос­новами объявляются атомы и пустота, в другом – «тела»-ὄγκοι и поры. Как и Гераклид, Асклепиад признает за первичными телами способность испы­тывать воздействие, не считая их ἀπαθείς. Существенное отличие состояло и в том, что у Асклепиада «элементы» могли расчленяться на фрагменты и обладали качеством (Sext. Pyrrh. III, 33: θραυστὰ καὶ ποιά). Несмотря на но­вейшую терминологию, атомистическая основа учения Асклепиада была очевидна его современникам, так, Гален считал вифинского врача последо­вательным эпикурейцем и атомистом, «который опирается в своих мыслях на порочные принципы», ибо на самом деле «всем руководит и все устраи­вает разум, а не случайное соединение телесных атомов» (De usu part., t. 3, 469, 11–13 Kühn).

• Gli atomisti: frammenti e testimonianze. Trad. e note di V. E. Alfi eri. Bari, 1936 (repr.: N. Y.; L., 1987);
• Griechische Atomisten: Texte und Kommentare zum materialis­tischen Denken der Antike. Aus dem Griechisch und Latein übers. und hrsg. von F. Jurss et al. Lpz., 1973, 1988 3 .

Литература

• Bailey C. The Greek Atomists and Epicurus. Oxf., 1928;
• Melsen A. van. From atomos to Atom. Pittsburgh, 1952;
• Mau J. Zum Problem des Infi nitesimalen bei den antiken Atomisten. B., 1957 2 ;
• Furley D. Two Studies in the Greek Atomists. Princ., 1967;
• Pohle W. The Mathematical Foundations of Plato’s Atomic Physics, – Isis 62, 1, 1971, p. 36–46;
• RomanoF. (ed.). Democrito e l’atomismo antico. Catania, 1980;
• Müller R. Naturphilosophie und Ethik im antiken Atomismus, – Idem. Menschenbild und Humanismus der Antike. Lpz., 1980, S. 135–158;
• Denyer N. The Atomism of Diodorus Cronus, – Prudentia 13, 1981, p. 33–45;
• Konstan D. Atomism and its Heritage: Minimal Parts, – AncPhil 2, 1982, p. 60–75;
• Sorabji R. Time, Creation and the Continuum: Theories in Antiquity and the Early Middle Ages. L.; N. Y., 1983;
• Stückelberger A. Vestigia Democritea. Die Rezeption der Lehre von den Atomen in der antiken Naturwissenschaft und Medizin. Basel, 1984;
• Nikolaou S.-M. Die Atomlehre Demokrits und Platons «Timaios»: eine vergleichende Untersuchung. Stuttg., 1998;
• Warren J. Ancient Atomists on the Plurality of Worlds, – CQ 54. 2, 2004, p. 354–365;
• Hasper P.S. Aristotle’s Diagnosis of Atomism. 2006;
• Зубов В.П. Развитие атомистических представлений до на­чала XIX века. М., 1965;
• Рожанский И.Д. Развитие естествознания в эпоху античности. М., 1979, с. 265–395.

Физика (Аристотель)/Книга 6/Глава 2

Так как всякая величина делима на величины (ибо доказано, что ничто непрерывное не может состоять из неделимых частей, а всякая величина непрерывна), то необходимо, чтобы более быстрое [тело] в равное время проходило больший [путь], а в меньшее проходило равный или в меньшее больший [путь], как и определяют некоторые [выражения] «более быстрое».

Пусть [тело] А движется быстрее, чем [тело] В. Так как, стало быть, более быстрым будет то, что раньше изменяется, то в течение того времени, когда А изменилось из Г и Д (например, за время ZH) В еще не дойдет до Д, а отстанет, так что в равное время более быстрое [тело] проходит больше. Но и в меньшее время оно также [может пройти] больше; именно, [положим, что] в то время, когда А будет у Д, более медленное [тело] В будет у Е. Так как А дошло до Д в течение всего времени ZH, у Т оно будет в меньшее время, положим ZK. Итак, [путь] ГТ, который прошло тело А, больше [пути] ГЕ, время же ZK меньше всего времени ZH, следовательно, оно в меньшее время проходит больший [путь]. Отсюда также очевидно, что и равный [путь] более быстрое [тело] проходит в меньшее время. Ибо так как оно в меньшее время проходит больше, чем более медленное, а взятое само по себе проходит больший [путь] в большее время, чем меньший, например ЛМ по сравнению с ЛЗ, то время прохождения ЛМ, а именно ПР, будет больше [времени] ПС, в которое [тело] проходит путь ЛЗ. Следовательно, если ПР время меньшее, чем ПХ, в которое более медленное [тело] проходит путь ЛЗ, то и ПC будет меньше ПХ, так как оно меньше ПР, а меньшее меньшего и само меньше Следовательно, [более быстрое тело] продвинется на равную величину в меньшее время.

Далее, если всякое [тело] должно двигаться, [проходя одинаковый путь] или в равное время [с другим], или в меньшее или в большее, и [проходящее этот путь] в большее время будет более медленным, в равное время — имеющим равную скорость, а более быстрое не будет ни тем, ни другим, то более быстрое [тело] будет двигаться, проходя тот же путь ни в равное, ни в большее время. Остается [единственная возможность: оно будет проходить этот путь] в меньшее время. Таким образом, более быстрое [тело] должно проходить равную величину в меньшее время.

Так как всякое движение происходит во времени и во всякое время может происходить движение, и так как, далее, все движущееся может двигаться быстрее и медленнее, то во всякое время будет происходить и более быстрое и более медленное движение. Если же это так, то и время должно быть непрерывным. Я разумею под непрерывным то, что делимо на всегда делимые части, при таком предположении относительно непрерывного и время должно быть непрерывным. Так как доказано, что более быстрое [тело] в меньшее время проходит равный [путь], то пусть А будет более быстрое [тело]. В — более медленное и пусть более медленное [тело] проходит величину ГД за время ZH. Стало быть, очевидно, что более быстрое [тело] пройдет ту же величину в меньшее время; пусть оно будет двигаться в течение [времени] ZТ. Обратно, если более быстрое [тело] прошло весь [путь] ГД за время ZТ, то более медленное [тело] за то же время пройдет меньший [путь]; обозначим его через ГК А если более медленное [тело] В прошло за время ZТ [путь] ГК, то более быстрое проходит его за меньшее время; следовательно, время ZТ будет опять разделено. При его разделении в том же отношении разделится и величина ГК. А если [разделится] величина, то [разделится] и время. И всегда будет происходить так, если переходить от более быстрого к более медленному и от более медленного к более быстрому, пользуясь указанным доказательством, ибо более быстрое будет делить время, а более медленное — длину. Следовательно, если такой обратный переход будет правильным и при обратном переходе всегда происходит деление, то очевидно, что всякое время будет непрерывным. Вместе с тем ясно, что и всякая величина будет непрерывной, так как время и величина делятся теми же самыми и одинаковыми делениями.

К тому же и с помощью обычных рассуждений легко уясняется, что величина непрерывна, если время непрерывно, поскольку в половинное время проходится половинный путь, и вообще в меньшее время — меньший, ибо одни и те же деления будут и для времени, и для величины. И если одно из них бесконечно, то будет [бесконечно] и другое, и в каком смысле [бесконечно] одно, в таком и другое, например, если время бесконечно в отношении концов, то и длина будет [бесконечна] в отношении концов; если [время бесконечно] в отношении делимости, то и длина в отношении делимости; если время [бесконечно] в обоих [указанных отношениях], то в обоих [будет бесконечна] и величина.

Поэтому ошибочно рассуждение Зенона, в котором предполагается, что невозможно пройти бесконечное [множество предметов] или коснуться каждого из них в конечное время. Ведь длина и время и вообще все непрерывное называются бесконечными в двояком смысле: или в отношении деления, или в отношении концов. И вот, бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в конечное время, а бесконечного в отношении деления — можно, так как само время бесконечно именно в таком смысле. Таким образом, бесконечное удается пройти в бесконечное, а не в конечное время и коснуться бесконечного [множества можно] бесконечным, а не конечным [множеством]. Разумеется, невозможно ни пройти бесконечное в конечное время, ни конечное в бесконечное время, но если время будет бесконечным, то и величина будет бесконечной, и если величина, то и время. Пусть АВ будет конечной величиной, Г — бесконечным временем; возьмем от него конечную часть ГД, в течение которой проходится какая-нибудь величина, положим BE. Она или без остатка уложится в величине АВ, или с остатком, или превзойдет ее; это безразлично, ибо если величина, равная BE, всегда проходится в равное время и если эта [величина] будет служить мерой целому, всякое время, в течение которого проходится целое, будет конечным; ведь оно будет делиться на равные [части], как и величина. Далее, если не всякая величина проходится в бесконечное время, но возможно пройти какую-нибудь, например BE, в конечное время и она измерит всю величину, а равная величина проходится в равное время, то, следовательно, будет конечным и время. Что величина BE проходится не в бесконечное [время], это ясно, раз берется время, ограниченное с одной стороны; ибо если часть проходится в меньшее [время], то это [время] должно быть ограниченным, так как окажется в наличии другой предел. То же самое доказательство применимо и в том случае, если длина бесконечна, а время конечно.

Итак, из сказанного ясно, что ни линия, ни поверхность и вообще ничто непрерывное не будет неделимым — не только в силу только что сказанного, но и потому, что тогда придется делить неделимое. А именно, так как во всякое время существует более быстрое и более медленное и более быстрое в равное время проходит большее, то есть возможность пройти и двойную и полуторную длину: ведь может быть такое отношение скоростей. Пусть, таким образом, более быстрое проходит в то же время полуторную [длину], и пусть величина эта будет разделена на три неделимые [части] — АВ, ВГ и ГД, а величина, проходимая более медленным, на две — EZ и ZH. Следовательно, и время разделится на три неделимые [части], так как равное проходится в равное время; положим, что время делится на КЛ, ЛМ и MN. И снова, когда более медленное проходит EZ и ZH, время разделится на две части. Неделимое, таким образом, разделится, и не имеющее частей будет пройдено не в неделимое время, а в большее. Итак, ясно, что ничто непрерывное не может быть лишенным частей.