Докажите что корень из 5 иррациональное число

Докажите что корень из 5 иррациональное число

Докажите, что число + + + + + + иррационально.

Подсказка

Для решения этой задачи удобнее доказать более общее утверждение: если b 1 , . b n — ненулевые целые числа, a 1 , . a n — натуральные числа, свободные от квадратов, то

b 1 +. + b n 0.

(13.5)

Выбирая здесь a 1 = 1, получаем иррациональность суммы радикалов +. + . Для доказательства соотношения 13.5 проведите индукцию по числу простых p 1 , . p m , входящих в разложения чисел a 1 , . a n на множители.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	1
Название	Рациональные и иррациональные числа
Тема	Дроби
задача
Номер	05.025

Проект осуществляется при поддержке и .

Как доказать, что корень из 5 это иррациональное число?

Допустим, что оно рациональное, то есть существует рациональная дробь х/у такая, что (х/у) ^2 = 5. Будем считать дробь несократимой (если бы она была сократимой, мы могли бы сначала сократить общие множители, а потом продолжить рассуждение) . Из равенства (х/у) ^2 = 5 следует, что
х^2 = 5 * y^2. Отсюда вытекает, что х^2 делится на 5. Но тогда и х должно делиться на 5, то есть х можно записать в виде x = 5 * z, где z — целое число. Подставив это в равенство х^2 = 5 * y^2, получаем
(5 * z)^2 = 5 * y^2,
то есть 5 * z^2 = y^2. Отсюда следует, что y^2 делится на 5, а следовательно, и у делится на 5. Но ведь мы предполагали, что х/у — несократимая дробь, а получили, что и х, и у делятся на 5. Это противоречие показывает, что исходное предположение было неверным. Следовательно, не существует рациональной дроби, квадрат которой равен 5.

Дмитрий ИЗнаток (261) 4 года назад

«Но тогда и х должно делиться на 5, то есть х можно записать в виде x = 5 * z, где z — целое число» — почему? Не могу допетрить до доказательства: в чем эти рассуждения поменяются, если по тому же принципу попытаться доказать иррациональность рациональных чисел, например, корень из 49 или корень из 9/16?
На примере: (3/4)^2 = 9/16 -> 3^2 = 4^2*9/16.. дальше у меня облом;
(7/1)^2 = 49 -> 7^2 = 49*1^2. То же, 7^2 нацело делится на 49, но 7 — нет. Нельзя записать в виде «7 = 49*z, где z — целое число»
Но везде вижу подобное доказательство. Сижу и туплю. Что упускаю?

Excelsior Просветленный (43617) Разница между 49 и 7 заключается в том, что 7 — простое число, а 49 — нет. Вот это вы и упускаете. Подумайте. Поняли?

Докажите что корень из 5 иррациональное число

УПС, страница пропала с радаров.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением

Вам может понравиться Все решебники

Бунимович, Дорофеев, Кузнецова

Вигасин, Годер, Свенцицкая

Котова, Лискова

Виленкин, Жохов, Чесноков

Габриелян, Остроумов, Сладков

Пономарева

Пономарева, Корнилова

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

теория-чисел — Как прямо доказать, что √2 есть число иррациональное?

Известно доказательство от противного. Пусть √2 представляется в виде рациональной дроби a/b, тогда a² = 2b². Отсюда следует, что a² и a четны. Тогда a = 2c, a² = 4с², 4c² = 2b², 2c² = b². Отсюда следует, что b² и b четны. Но это противоречит тому, что дробь a/b несократима. Значит, исходное предположение о рациональности √2 неверно.

Вопрос, как доказать утверждение о иррациональности √2 прямо?

задан 8 Ноя ’11 16:35

4 ответа

Пусть √2 рациональное, т.е. √2 = a/b, где a и b — целые числа, не имеющие общих делителей. тогда 2 = a²/b², т.е. a² = 2b². Следствие — a² — четное. Но если a² — четное, то и а — четное, т.е. а = 2x. Тогда 4x² = 2b² => b² = 2x², т.е. b — тоже четное. А это противоречит исходной посылке (a и b не имеют общих делителей). Следовательно √2 нельзя представить в виде a/b, значит это число не является рациональным.

отвечен 15 Ноя ’11 10:58

Само понятие иррационального числа так устроено, что оно определяется через отрицание свойства «быть рациональным», поэтому доказательство от противного является здесь наиболее естественным. Можно, однако предложить вот какое рассуждение.

Чем отличаются принципиально рациональные числа от иррациональных? Как те, так и другие, можно приблизить рациональными числами с любой заданной точностью, но для рациональных чисел имеется приближение с «нулевой» точностью (самим этим числом), а для иррациональных чисел это уже не так. Попытаемся на этом «сыграть».

Прежде всего, отметим такой простой факт. Пусть $%\alpha$%, $%\beta$% — два положительных числа, которые приближают друг друга с точностью $%\varepsilon$%, то есть $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Что произойдёт, если мы заменим числа на обратные? Как при этом изменится точность? Легко видеть, что $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac<|\alpha-\beta|>=\frac,$$ что будет строго меньше $%\varepsilon$% при $%\alpha\beta>1$%. Это утверждение можно рассматривать в качестве самостоятельной леммы.

Теперь положим $%x=\sqrt$%, и пусть $%q\in<\mathbb Q>$% — рациональное приближение числа $%x$% с точностью $%\varepsilon$%. Мы знаем, что $%x>1$%, а насчёт приближения $%q$% потребуем выполнения неравенства $%q\ge1$%. У всех чисел, меньших $%1$%, точность приближения будет хуже, чем у самой $%1$%, и потому мы не будем их рассматривать.

К каждому из чисел $%x$%, $%q$% прибавим по $%1$%. Очевидно, точность приближения останется той же. Теперь у нас есть числа $%\alpha=x+1$% и $%\beta=q+1$%. Переходя к обратным числам и применяя «лемму», мы придём к выводу, что точность приближения у нас улучшилась, став строго меньше $%\varepsilon$%. Требуемое условие $%\alpha\beta>1$% у нас соблюдено даже с запасом: на самом деле мы знаем, что $%\alpha>2$% и $%\beta\ge2$%, откуда можно сделать вывод, что точность улучшается как минимум в $%4$% раза, то есть не превосходит $%\varepsilon/4$%.

И вот здесь — основной момент: по условию, $%x^2=2$%, то есть $%x^2-1=1$%, а это значит, что $%(x+1)(x-1)=1$%, то есть числа $%x+1$% и $%x-1$% обратны друг другу. А это означает, что $%\alpha^=x-1$% будет приближением к (рациональному) числу $%\beta^=1/(q+1)$% c точностью строго меньше $%\varepsilon$%. Осталось прибавить по $%1$% к этим числам, и окажется, что у числа $%x$%, то есть у $%\sqrt$%, появилось новое рациональное приближение, равное $%\beta^+1$%, то есть $%(q+2)/(q+1)$%, с «улучшенной» точностью. Это завершает доказательство, так как у рациональных чисел, как мы отмечали выше, существует «абсолютно точное» рациональное приближение с точностью $%\varepsilon=0$%, где точность в принципе повысить нельзя. А мы сумели это сделать, что говорит об иррациональности нашего числа.

Фактически, это рассуждение показывает, как строить конкретные рациональные приближения для $%\sqrt$% со всё улушающейся точностью. Надо сначала взять приближение $%q=1$%, и далее применять одну и ту же формулу замены: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. В ходе этого процесса получается следующее: $$1,\frac32,\frac75,\frac,\frac,\frac$$ и так далее.

отвечен 10 Фев ’13 0:33

falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55