Нахождение общего члена ряда по заданным первым членам. Первая часть.
Числовой ряд можно задать по-разному. Чаще всего просто используют запись вида \(\sum\limits_^<\infty>u_n\). Однако изредка указывают несколько первых членов ряда, по которым нужно восстановить общий член ряда. Честно говоря, подобные задачи не имеют единственного решения, и это будет продемонстрировано в задаче №1. Впрочем, есть некие общие приёмы, которые применяют в стандартных случаях.
Для начала стоит запомнить несколько последовательностей. Например, квадраты натуральных чисел, т.е. последовательность \(u_n=n^2\). Вот несколько первых членов этой последовательности:
\[ \begin
Как мы получили эти числа?
Общий член последовательности имеет вид \(u_n=n^2\). Подставляя \(n=1\), получим:
Это и есть первый член последовательности. Подставляя \(n=2\) в \(u_n=n^2\), получим второй член последовательности:
Если подставить \(n=3\), то получим третий член последовательности:
Точно так же находим четвёртый, пятый, шестой и иные члены последовательности. Вот так и получаем соответствующие числа:
\[ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots \]
Также стоит иметь в виду члены последовательности \(u_n=n^3\). Вот несколько первых её членов:
\[ \begin
Кроме того, для формирования общего члена ряда частенько используется последовательность \(u_n=n!\), несколько первых членов которой таковы:
\[ \begin
Что обозначает «n!»?
Запись «n!» (читается «эн факториал») обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е.
\[ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. \]
По определению полагается, что \(0!=1!=1\). Для примера найдём 5!:
\[ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. \]
Часто используются также арифметическая и геометрическая прогрессии. Если первый член арифметической прогрессии равен \(a_1\), а разность равна \(d\), то общий член арифметической прогрессии записывается с помощью такой формулы:
\[ \begin
Что такое арифметическая прогрессия?
Арифметическая прогрессия – последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами неизменна. Эта постоянная разность называется разностью прогрессии. Для примера рассмотрим такую последовательность:
\[ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots \]
Обратите внимание, что какую бы пару соседних элементов мы не взяли, разность между последующим и предыдущим членами всегда будет постоянной и равной 7:
\[ \begin
Это число, т.е. 7, и есть разность прогрессии. Обычно её обозначают буквой \(d\), т.е. \(d=7\). Первый элемент прогрессии \(a_1=3\). Общий член этой прогрессии запишем с помощью формулы (4). Подставляя в неё \(a_1=3\) и \(d=7\), будем иметь:
\[ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. \]
Для наглядности найдём по формуле \(a_n=7n-4\) несколько первых членов арифметической прогрессии:
Подставляя в формулу \(a_n=7n-4\) любое значение номера \(n\), можно получить любой член арифметической прогрессии.
Стоит также отметить геометрическую прогрессию. Если первый член прогрессии равен \(b_1\), а знаменатель равен \(q\), то общий член геометрической прогрессии задаётся такой формулой:
\[ \begin
Что такое геометрическая прогрессия?
Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами постоянно. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии. Для примера рассмотрим такую последовательность:
\[ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots \]
Обратите внимание, что какую бы пару соседних элементов мы не взяли, отношение последующего к предыдущему всегда будет постоянным и равным 3:
\[ \begin
Это число, т.е. 3, и есть знаменатель прогрессии. Обычно его обозначают буквой \(q\), т.е. \(q=3\). Первый элемент прогрессии \(b_1=6\). Общий член этой прогрессии запишем с помощью формулы (5). Подставляя в неё \(b_1=6\) и \(q=3\), будем иметь:
\[ b_n=6\cdot 3^
Для наглядности найдём по формуле \(b_n=6\cdot 3^\) несколько первых членов геометрической прогрессии:
Подставляя в формулу \(b_n=6\cdot 3^\) любое значение номера \(n\), можно получить любой член геометрической прогрессии.
Во всех изложенных ниже задачах члены рядов будем обозначать буквами \(u_1\) (первый член ряда), \(u_2\) (второй член ряда) и так далее. Запись \(u_n\) будет обозначать общий член ряда.
Задача №1
Условие
Найти общий член ряда \(\frac+\frac+\frac+\frac+\ldots\).
Решение
Суть таких задач состоит в том, чтобы заметить закономерность, которая присуща первым членам ряда. И на основании этой закономерности сделать вывод о виде общего члена. Что означает фраза «найти общий член»? Она означает, что необходимо найти такое выражение, подставляя в которое \(n=1\) получим первый член ряда, т.е. \(\frac\) ; подставляя \(n=2\) получим второй член ряда, т.е. \(\frac\) ; подставляя \(n=3\) получим третий член ряда, т.е. \(\frac\) и так далее. Нам известны первые четыре члена ряда:
\[ u_1=\frac<1>;\; u_2=\frac;\; u_3=\frac;\; u_4=\frac. \]
Давайте двигаться постепенно. Все известные нам члены ряда – дроби, поэтому резонно предположить, что и общий член ряда тоже представлен дробью:
Наша задача – выяснить, что же скрывается под знаками вопроса в числителе и знаменателе. Сначала обратимся к числителю. В числителях известных нам членов ряда стоят числа 1, 2, 3 и 4. Заметьте, что номер каждого члена ряда равен числителю. У первого члена в числителе стоит единица, у второго – двойка, у третьего – тройка, у четвёртого – четвёрка.
Логично предположить, что у n-го члена в числителе будет стоять \(n\) :
Кстати сказать, к этому выводу мы можем прийти и иным путём, более формальным. Что представляет собой последовательность 1, 2, 3, 4? Отметим, что каждый последующий член этой последовательности на 1 больше, чем предыдущий. Мы имеем дело с четырьмя членами арифметической прогрессии, первый член которой \(a_1=1\), а разность \(d=1\). Используя формулу (4), получим выражение общего члена прогрессии:
\[ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. \]
Итак, угадывание или формальный расчёт – дело вкуса. Главное – мы записали числитель общего члена ряда. Перейдём к знаменателю.
В знаменателях мы имеем последовательность 7, 9, 11, 13. Это четыре члена арифметической прогрессии, первый член которой равен \(b_1=7\), а разность \(d=2\). Общий член прогрессии найдем, используя формулу (4):
\[ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. \]
Полученное выражение, т.е. \(2n+5\), и будет знаменателем общего члена ряда. Итак:
Общий член ряда получен. Давайте проверим, подходит ли найденная нами формула \(u_n=\frac\) для вычисления уже известных членов ряда. Найдём члены \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) и \(u_4\) по формуле \(u_n=\frac\). Результаты, естественно, должны совпасть с заданными нам по условию первыми четырьмя членами ряда.
\[ u_1=\frac<1>=\frac<1>;\; u_2=\frac=\frac;\; u_3=\frac=\frac;\; u_4=\frac=\frac. \]
Всё верно, результаты совпадают. Заданный в условии ряд можно записать теперь в такой форме: \(\sum\limits_^<\infty>\frac\). Общий член ряда имеет вид \(u_n=\frac\).
В принципе, если речь идёт о стандартном примере, то можно считать, что ответ получен. Однако если вам интересно поисследовать вопрос более детально, то прошу читать далее. Вопрос вот в чём: является ли найденное выше представление общего члена единственным? Ответ на этот вопрос далеко не столь очевидный, как кажется на первый взгляд. Например, давайте продолжим заданный в условии ряд таким образом:
\[ \frac<1>+\frac+\frac+\frac+0+0+0+0+0+0+0+\ldots \]
Разве такой ряд не имеет право на существование? Ещё как имеет. И для этого ряда можно записать, что
\[ u_1=\frac<1>;\; u_2=\frac;\; u_3=\frac;\; u_4=\frac; \; u_n=0\; (n≥ 5). \]
Можно записать и иное продолжение. Например, такое:
\[ \frac<1>+\frac+\frac+\frac+\frac<1>+\frac<1>+\frac<1>+\frac<1>+\frac<1>+\frac<1>+\ldots \]
И такое продолжение ничему не противоречит. При этом можно записать, что
\[ u_1=\frac<1>;\; u_2=\frac;\; u_3=\frac;\; u_4=\frac; \; u_n=\frac<1>\; (n≥ 5). \]
Если первые два варианта показались вам чересчур формальными, то предложу третий. Давайте запишем общий член в таком виде:
Вычислим первые четыре члена ряда, используя предложенную формулу общего члена:
\[ \begin
Как видите, предложенная формула общего члена вполне корректна. И таких вариаций можно придумать бесконечно много, их количество ничем не ограничено. В стандартных примерах, конечно, используется стандартный набор неких известных последовательностей (прогрессии, степени, факториалы и т.д.). Однако в таких задачах всегда присутствует неопределённость, и об этом желательно помнить.
Во всех последующих задачах эта неоднозначность оговариваться не будет. Решать станем стандартными способами, которые приняты в большинстве задачников.
Общий член ряда: \(u_n=\frac\).
Задача №2
Условие
Решение
Нам известны первые пять членов ряда:
\[ u_1=\frac<1>;\; u_2=\frac<1>; \; u_3=\frac<1>; \; u_4=\frac<1>; \; u_5=\frac<1>. \]
Все известные нам члены ряда – дроби, значит и общий член ряда будем искать в виде дроби:
Сразу обратим внимание на числитель. Во всех числителях стоят единицы, поэтому и в числителе общего члена ряда будет единица, т.е.
Теперь обратимся к знаменателю. В знаменателях известных нам первых членов ряда расположены произведения чисел: \(1\cdot 5\), \(3\cdot 8\), \(5\cdot 11\), \(7\cdot 14\), \(9\cdot 17\). Первые из этих чисел таковы: 1, 3, 5, 7, 9. Данная последовательность имеет первый член \(a_1=1\), а каждый последующий получается из предыдущего прибавлением числа \(d=2\). Иными словами, это первые пять членов арифметической прогрессии, общий член которой можно записать с помощью формулы (4):
\[ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. \]
В произведениях \(1\cdot 5\), \(3\cdot 8\), \(5\cdot 11\), \(7\cdot 14\), \(9\cdot 17\) вторые числа таковы: 5, 8, 11, 14, 17. Это элементы арифметической прогрессии, первый член которой \(b_1=5\), а знаменатель \(d=3\). Общий член этой прогрессии запишем с помощью всё той же формулы (4):
\[ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. \]
Сведём результаты воедино. Произведение в знаменателе общего члена ряда таково: \((2n-1)(3n+2)\). А сам общий член ряда имеет следующий вид:
Для проверки полученного результата найдём по формуле \(u_n=\frac\) те четыре первых члена ряда, которые нам известны:
Итак, формула \(u_n=\frac\) позволяет точно вычислить члены ряда, известные из условия. При желании заданный ряд можно записать так:
Дана формула общего элемента последовательности. Указать пять первых её элементов:
Зная несколько первых элементов последовательности, написать формулу общего элемента последовательностей:
Последовательность заданна реккурентно. Найти х90, х238 и х 885:
Вычислить предел последовательности:
Получили неопределённость типа , для её устранения разделим и числитель, и знаменатель дроби на старшую её степень, то есть на n 5 , а затем сократим дробь и вычислим полученный предел:
Получили неопределённость типа , для её устранения разделим и числитель, и знаменатель дроби на старшую её степень, то есть на ____, а затем сократим дробь и вычислим полученный предел:
Это не противоречит основному правилу: «на нуль делить нельзя», так как в знаменателе не «точный нуль», а близкое к нему значение, то есть «приближённый нуль».
Получили неопределённость типа , для её устранения разделим и числитель, и знаменатель дроби на старшую её степень, то есть на ____, а затем сократим дробь и вычислим полученный предел:
При вычислении предела последовательности в случае раскрытия неопределённости типа , можно руководствоваться следующим правилом:
Определяем старшую степень выражения и если «старшая степень находится»:
последовательность — Найти формулу общего члена последовательности
Найти формулу общего члена последовательности $%\big\$%, заданной рекуррентно: $%a_1 = 1$%, $%a_ = a_n + 8n$%. Ответ обоснуйте.
Я вроде бы нашла каким-то путем эту формулу, но, мне кажется, как-то странно, хотя если подставить в полученную мной формулу и проверить, то получаются те самые члены последовательности. Скажите, а как бы Вы рассуждали и обосновывали полученную формулу?
задан 23 Мар ’15 14:54
Math_2012
1.6k ● 3 ● 34 ● 132
77% принятых
2 ответа
Здесь надо просуммировать арифметическую прогрессию. Члены последовательности имеют вид $%a_n=1+(8+16+\cdots+8(n-1))$%. То, что в скобках — это арифметическая прогрессия. Удобно вынести множитель 8, и тогда $%a_n=1+8(1+2+\cdots+(n-1))=1+8\cdot\frac2=4n^2-4n+1$%. Можно заметить, что это полный квадрат, то есть $%a_n=(2n-1)^2$%. То есть тут получаются числа 1, 9, 25, 49, . , где к единице последовательно прибавляются 8, 16, 24, и так далее, как и должно быть.
отвечен 23 Мар ’15 15:00
falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55
Выписав первые несколько членов последовательности замечаем, что они представляют собой полный квадрат, уменьшенный на 9. Отсюда легко выводится формула общего члена: $%a_n=(2n+1)^2-9$%. А вот доказывать, что она представляет собой нужную формулу, нужно методом математической индукции.
База индукции очевидна.
Пусть формула верна для $%k$%, то есть $%a_k=(2k+1)^2-9$%. Проверим, что она верна и для $%k+1$%: $$a_=a_k+8(k+1)=(2k+1)^2-9 + 8(k+1) = (2(k+1)+1)^2-9$$ то есть $%a_$% удовлетворяет той же формуле. Поэтому, согласно методу математической индукции, формула общего члена верна.
отвечен 23 Мар ’15 15:05
EMBED
To add the widget to iGoogle, click here. On the next page click the «Add» button. You will then see the widget on your iGoogle account.
To embed this widget in a post on your WordPress blog, copy and paste the shortcode below into the HTML source:
For self-hosted WordPress blogs
To embed this widget in a post, install the Wolfram|Alpha Widget Shortcode Plugin and copy and paste the shortcode above into the HTML source.
To embed a widget in your blog’s sidebar, install the Wolfram|Alpha Widget Sidebar Plugin, and copy and paste the Widget ID below into the «id» field:
To add a widget to a MediaWiki site, the wiki must have the Widgets Extension installed, as well as the code for the Wolfram|Alpha widget.
To include the widget in a wiki page, paste the code below into the page source.