1. Отношение двух чисел
При делении одного числа на другое мы находим, во сколько раз одно число больше другого или, наоборот, какую часть одно число составляет от другого. В этом и есть смысл отношения двух чисел.
Поскольку 5 2 = 10 4 = 50 20 = 2,5 1 , то отношение \(5 : 2\) можно заменить и отношением \(10 : 4\), и отношением \(50 : 20\), и отношением \(2,5 : 1\).
Обрати внимание!
Отношение не изменится, если члены его умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.
Отношения \(5\) к \(2\) и \(2\) к \(5\), как и дроби 5 2 и 2 5 , называют взаимно обратными.
Для нахождения отношения длин, отношения масс надо выразить их в одной единице измерения.
Например, найдём отношение \(30\) см к \(2\) м. Сначала выразим обе эти величины в сантиметрах, а потом разделим одну на другую:
\(2\) м \(= 200\) см, поэтому 30 : 200 = 3 20 .
Для выражения этого отношения в процентах надо полученную дробь умножить на \(100\).
Если \(a\) и \(b\) — два числа, или два значения одной и той же величины, то
- отношение \(a\) к \(b\) — это результат от деления \(a\) на \(b\);
- если \(a > b\), то отношение \(a : b\) обозначает, во сколько раз \(a\) больше \(b\);
- если \(a < b\), то отношение \(a : b\) обозначает, какую часть составляет \(a\) от \(b\);
- процентное отношение \(a\) к \(b\) — это отношение \(a : b\), умноженное на \(100\) процентов.
Разделить число в отношении
Вводить можно целые числа, десятичные дроби, правильные и неправильные дроби -5, 5, 0.25, -1.25, 10/8, -1/2 и.т.д.
Число для деления и части не должны быть равны 0.
Как разделить число в заданном отношении
Для начала нужно найти сумму всех членов отношения. Затем разделить исходное число на полученную сумму. Затем умножаем полученное число на каждый член отношения.
К примеру разделим число x в отношении d:f. Для начала находим сумму d+f. Затем разделим число на сумму x/(d+f). Затем каждый член умножим на полученное число dx/(d+f), fx/(d+f)
Примеры задач на деление числа в заданном отношении
Задача 1 Необходимо разделить 90 конфет на трёх друзей, в отношении 2:3:4. Для начала найдём сумму 2+3+4=9. Разделим исходное число на сумму 90/9=10. Затем умножим полученное число на каждый член 2*10=20, 3*10=30, 4*10=40
Задача 2 Периметр треугольника равен 120, стороны относятся как 5:4:3. Найдите длины сторон. Для начала найдём сумму 5+4+3=12. Разделим исходное число на сумму 120/12=10. Затем умножим полученное число на каждый член 5*10=50, 4*10=40, 3*10=30
Деление числа в данном отношении + задачи с решением
В шестом классе изучается тема деления чисел в данном отношении. Тема для учеников не всегда понятна с первого объяснения учителя, поэтому разберем ее подробнее на страницах сайта 7 гуру. Напишем понятия и правила, разберем примеры решения задач на деление в данном отношении.
Понятие отношения
Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b. Числа a и b называются членами отношения.
Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Цена товара – это отношение стоимости товара к его массе или количеству единиц товара.
Правило деления числа в данном отношении.
Чтобы разделить число c в отношении a к b, можно разделить число c на сумму членов отношения a + b и результат умножить на каждый член отношения, числа a, b и c не равны нулю.
Задача 1. Разделите между двумя друзьями 80 конфет в отношении 1:4.
1 способ:
Таким способом мы решали подобные задачи в начальной школе. Сначала узнаем, сколько всего частей в целом. Узнаем количество предметов в одной части. Умножаем на нужные количества частей, чтобы ответить на вопрос.
1) 1 + 4 = 5 (частей) — всего
2) 80 : 5 = 16 (конфет) — в одной части, а поскольку первому другу досталась 1 часть, то это количество конфет, которые ему достались.
3) 16 * 4 = 64 (конфеты) — в четырех частях, достались второму другу
2 способ:
Решаем по правилу деления числа на части. Этим способом предпочтительнее пользоваться при решении подобных задач.
1) $\frac\ast1=16$ (конфет) — получил первый друг
2) $\frac\ast4=64$ (конфет) — получил второй друг
Ответ: конфеты между друзьями надо разделить так: первому – 16 конфет, а второму – 64 конфеты.
Задача 2. Сестра и брат сложили свои деньги для покупки лотерейного билета. У сестры было 50 рублей, а у брата 30 рублей. Билет выиграл 4000 рублей. Как они должны разделить эти деньги между собой?
1) $50:30=\frac=\frac53$ — отношение, в котором нужно разделить выигрыш
2) $\frac\ast5=500\ast5=2500$ (р.) — сестре от выигрыша
3) $\frac\ast3=500\ast3=1500$ (р.) — брату от выигрыша
Ответ: 2500 рублей, 1500 рублей.
Задача 3. Трое хотят купить фирму по продаже мороженого. Первый желает иметь 6 частей акций, второй – 4 части акций, третий – 2 части. Всего нужно заплатить 960 000 рублей. Сколько денег должен внести каждый из них.
1) $\frac\ast6=480000$ (р.) — должен внести первый
2) $\frac\ast4=320000$ (р.) — должен внести второй
3) $\frac\ast4=160000$ (р.) — должен внести третий
Ответ: 480 000 рублей, 320 000 рублей, 160 000 рублей.
Задача 4. Первая машинистка печатает 180 страниц за 20 часов, а вторая – за 30 часов. Как распределить между ними 180 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?
1) 180 : 20 = 9 (стр.) — напечатает первая машинистка за 1 час
2) 180 : 30 = 6 (стр.) — напечатает вторая машинистка за 1 час
3) 9:6 = 3:2 — в этом отношении нужно разделить 180 страниц
4) $\frac\ast3=108$ (стр.) — надо дать печатать первой машинистке
5) $\frac\ast2=72$ (стр.) — надо дать печатать второй машинистке
Ответ: первой машинистке – 108 страниц, второй – 72 страницы.
Задача 5. Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 4 часа, а велосипедист – за 12 часов. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проедет каждый до встречи, если расстояние между пунктами 120 километров?
Так как время преодоления расстояния мотоциклистом и велосипедистом равно 12:4, значит, скорость мотоциклиста будет в 3 раза больше, чем велосипедиста. Следовательно, за одно и то же время мотоциклист проедет в 3 раза большее расстояние. Это значит, что весь путь делится между ними в отношении 1:3.
1) $\frac\ast1=30$ (км) — проедет велосипедист
2) $\frac\ast3=90$ (км) — проедет мотоциклист
Ответ: 30 км, 90 км.
Задача 6. Сортировка элементов по категориям. Поставьте в соответствующие столбцы (1:4; 2:5) числа, которые можно разделить нацело в заданных отношениях. Варианты ответов: 25, 13, 14, 45, 28, 6.
Для решения нужно сначала посчитать сумму частей первого столбца:
1 + 4 = 5
Затем проверить, какие из чисел кратны 5. Это 25 и 45.
Аналогично для второго столбца.
2 + 5 = 7
Числа, кратные 7: 14 и 28.
Урок математики в 6-м классе по теме:» Как разделить величину в данном отношении»
Цель: формировать навык деления величин в данном отношении.
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний
- Отношение двух чисел – это …
- Отношение 1:5 показывает, что …
- Отношение 3:2 показывает, что …
- Если отношение двух чисел больше единицы, то это означает, что …
- Если первое число в три раза больше второго, то они относятся как …
- Если первое число в полтора раза меньше второго, то они относятся как …
- Если первое число относится ко второму как 4:7, то второе число относится к первому как …
- Отношение 4:12 равно отношению …
- Отношение 2:5 можно записать как отношение 6: …
III. Мотивация
Привести примеры, когда необходимо умение делить какую-либо величину в данном отношении.
Учитель: Я предлагаю Вам решить свою задачу:
Задача. В классе 24 ученика. Из них 10 мальчиков и 14 девочек. В каком отношении находится количество мальчики к количеству девочек?
Ученики: 10 : 14, или 5 : 7.
Учитель: Количество мальчиков ко всему количеству ребят в классе.
Ученики: 10 : 24, или 5 : 12
Учитель: Количество девочек ко всему количеству ребят в классе.
Ученики: 14 : 24, или 7 : 12
Учитель: Прекрасно! А как узнать сколько учащихся класса получили за работу «пять» если известно, что таких учеников шестая часть?
Ученики: 24 : 6 = 4 (учащихся)
Учитель: Как узнать, сколько учащихся класса получили «четыре», если известно, что количество таких ребят относится к общему количеству учащихся как 2:6?
Ученики (после обсуждения): Мы не знаем, как разделить величину в данном отношении.
IV. Целеполагание
Учитель: Значит, мы должны научиться делить величину в данном отношении.
Записываем тему урока в тетрадь.
V. Учебные действия
- Узнали, сколько частей собранных яблок принадлежит отцу, а сколько сыну.
- Сложили эти части, получив общее количество частей.
- Разделили 18 кг собранных яблок на общее количество частей, получив, сколько килограммов яблок приходится на каждую часть.
- Вычислили, сколько яблок собрал отец и сколько сын.
Учитель. Рассмотрим еще один пример.
Разобрать пример из учебника и также выделить последовательность действий, которые необходимо было совершить, чтобы решить задачу.
Учитель. Мы рассмотрели решение двух задач. Что общего в этих задачах
Ученики. Для их решения необходимо было разделить величину в данном отношении.
Учитель. Сравните действия, которые мы выполняли, чтобы разделить величины в данном отношении.
Ученики. Они похожи.
Учитель. Попробуйте вывести алгоритм деления величины в данном отношении
Алгоритм
- Сложить а и в. (Получим общее количество частей.)
- Разделить данное число на а + в. (Получим, сколько приходится на каждую часть.)
- Умножить результат деления на а. (Получим число, которое содержит а частей данного числа.)
- Умножить результат деления на в. (Получим число, которое содержит в частей данного числа.)
– А теперь, работая в группах, придумайте сами задачи, которые решались бы с помощью данного алгоритма.
VI. Контроль
| Число | 12 | 36 | 45 | 72 | 110 | 144 |
| В каком отношении разделить | 1:3 | 5:1 | 2:3 | 4:5 | 7:3 | 5:7 |
| Результат | 3 и 9 |
Учитель: Как разделить величину в данном отношении. Необходимо, чтобы учащиеся несколько раз проговорили этот алгоритм (можно своими словами).
VII. Оценка
Самооценка с помощью пятибалльной шкалы.