Доказать что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства

Матрица линейного оператора.

Рассмотрим линейный оператор A:C®C (линейное преобразование пространства C). Пусть векторы образуют базис пространства C. Подействуем оператором А на базисные векторы. В результате получим векторы . Так как вектор , то его можно разложить по базису:

В результате получаем матрицу:

i- ый столбец которой есть вектор-столбец из координат вектора в базисе . Матрица называется матрицей линейного оператора в заданном базисе .

Пусть теперь — произвольный вектор из C, а — его образ при линейном преобразовании А. Тогда координаты векторов и связаны соотношением:

Таким образом, действие линейного оператора на вектор сводится к преобразованию его координат с помощью матрицы линейного оператора. Задание матрицы линейного оператора является наиболее удобным способом определения оператора действующего в конечномерном пространстве.

Пусть С- матрица перехода от базиса к базису ,а и — матрицы оператора в первом и втором базисе соответственно. Тогда имеют место соотношения:

Матрицы и , связанные между собой данными соотношениями, называются подобными матрицами.

Действиям над линейными операторами соответствуют точно такие же действия над их матрицами. Если А и В линейные операторы, действующие в Х и , — матрицы этих операторов в одном и том же базисе, то:

1. Оператору А+В соответствует матрица .

2. Оператору соответствует матрица .

3. Оператору АВ соответствует матрица .

4.Если оператор В=А -1 , то матрица .

Пример 1. Вычислим матрицу тождественного оператора Е. По определению . Пусть базис в Х. Тогда вектор . Поэтому тождественному оператору соответствует единичная матрица:

Пример 2. Покажем, что поворот плоскости на угол a вокруг начала координат является линейным преобразованием, и найдем матрицу этого преобразования в любом ортонормированном базисе. Предполагается, что положительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего поворота, переводящего базисный вектор во второй вектор базиса . Покажем, во-первых, что данный оператор является линейным. Пусть — радиус-вектор произвольной точки плоскости. Обозначим его координаты , модуль через r, угол с базисным вектором через j. Тогда

Образ вектора вектор будет равен

Рассмотрим теперь сумму двух векторов

Тогда образ суммы

т. е. выполняется свойство аддитивности линейного оператора. Аналогично можно проверить выполнение свойства однородности . Найдем теперь матрицу оператора в базисе , . Так как базис ортонормированный, то и . Тогда образы базисных векторов равны и . Откуда матрица оператора имеет вид

Пример 3. Линейный оператор А в базисе , , ,

Необходимо найти матрицу этого оператора в базисе , , , .

Векторы двух базисов «старого» и «нового» связаны соотношениями . Поэтому матрица перехода С от базиса к базису имеет вид:

Тогда матрица оператора А в «новом» базисе

Задачи

1. Пусть А и В- линейные операторы, действующие из Х в U. Показать, что оператор С=А+В является линейным.

2. Показать, что сложение операторов обладает следующими свойствами:

3. Пусть А и В- линейные операторы. Показать, что оператор С=АВ является линейным.

4. Выяснить, какие из следующих операторов А, определенных путем задания координат вектора как функций координат вектора , являются линейными, и найти их матрицы в том же базисе, в котором заданы координаты вектора :

5. Доказать, что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства, переводящее векторы соответственно в и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором заданы координаты всех векторов:

6. Линейное преобразование j в базисе , , имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе , , .

7. Пусть оператор А в базисе имеет матрицу , оператор В в базисе имеет матрицу . Найти матрицу оператора А+В в базисе .

8. Доказать, что любое линейное преобразование А одномерного пространства сводится к умножению всех векторов на одно и то же число, т.е. .

9. Как изменится матрица линейного оператора, если в базисе поменять местами векторы и ?

1.3. Задачи

1. Пусть А и В- линейные операторы, действующие из Х в . Показать, что оператор С=А+В является линейным.

2. Показать, что сложение операторов обладает следующими свойствами:

3. Пусть А и В- линейные операторы. Показать, что оператор С=АВ является линейным.

6. Линейное преобразование  в базисе , , имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе , , .

9. Как изменится матрица линейного оператора, если в базисе поменять местами векторы и ?

Образ и ядро линейного оператора

Определение 1. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов , представимых в виде , где .

Образ линейного оператора А является линейным подпространством пространства . Его размерность называется рангом оператора А.

Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех векторов , для которых .

Ядро является линейным подпространством пространства Х. Его размерность называется дефектом оператора А.

Если оператор А действует в ¤ -мерном пространстве Х, то справедливо следующее соотношение + = .

Оператор А называется невырожденным, если его ядро . Ранг невырожденного оператора равен размерности пространства Х.

Пусть — матрица линейного преобразования А пространства Х в некотором базисе, тогда координаты образа и прообраза связаны соотношением

Поэтому координаты любого вектора удовлетворяют системе уравнений

Отсюда следует, что ядро линейного оператора является линейной оболочкой фундаментальной системы решений данной системы.

2.1. Задачи

1. Доказать, что ранг оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе.

Вычислить ядра линейных операторов, заданных в некотором базисе пространства Х следующими матрицами:

Вычислить ранг и дефект операторов, заданных следующими матрицами:

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор А, действующий в — мерном пространстве Х.

Определение. Число  называется собственным значением оператора А, если , такой, что . При этом вектор называется собственным вектором оператора А.

Важнейшим свойством собственных векторов линейного оператора является то, что собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям линейно независимы.

Если — матрица линейного оператора А в базисе пространства Х, то собственные значения  и собственные векторы оператора А определяются следующим образом:

1. Собственные значения находят как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения -ой степени):

2. Координаты всех линейно независимых собственных векторов , соответствующих каждому отдельному собственному значению , получают, решая систему однородных линейных уравнений:

матрица которой имеет ранг . Фундаментальные решения этой системы являются вектор – столбцами из координат собственных векторов.

Корни характеристического уравнения называют также собственными значениями матрицы , а решения системы — собственными векторами матрицы .

Пример. Найти собственные векторы и собственные значения оператора А, заданного в некотором базисе матрицей

1. Для определения собственных значений составляем и решаем характеристическое уравнение :

Отсюда собственное значение , его кратность .

2. Для определения собственных векторов составляем и решаем систему уравнений :

Эквивалентная система базисных уравнений имеет вид

Поэтому всякий собственный вектор представляет собой вектор-столбец , где с – произвольная константа.

линейная-алгебра — Доказательство от противного

Докажите, что существует единственное линейное отображение А: R^5 -> R^3, переводящее векторы: a1=(2,2,-2,-1,1); a2=(-2,3,-1,2,0); a3=(-2,-1,3,0,2); a4=(-4,2,0,1,2); a5=(-1,2,-2,0,1); соответственно в векторы:b1=(6,12,-6); b2=(-12,14,-7); b3=(-12,-2,1); b4=(-21,20,-10); b5=(-6,18,-9)

задан 6 Мар ’16 10:53

Идея у меня такая: доказывать от противного, но где использовать координаты векторов в своем доказательстве я не понимаю.

(6 Мар ’16 10:54) Den

@Den: нужно проверить, что система a1. a5 линейно независима. Это можно сделать при помощи определителей, или гауссовых преобразований. Из этого всё сразу следует: как существование, так и единственность. Векторы образуют базис в R^5, а на базисных векторах линейное отображение можно задать как угодно.

(6 Мар ’16 11:36) falcao

@falcao а как в этом примере найти базис ядра и базис образа этого линейного отображения?