Во вписанном четырехугольнике abcd диагонали которого пересекаются в точке k

Спасайте. Во вписанном четырехугольнике ABCD стороны ВС и CD равны. Диагонали пересекаются в точке К.
а) Докажите, что AC*СК=BC².
б) Найдите площадь этого четырехугольника, если АС=8, и угол BAD=150°.

Большое спасибо! Скажите, а к доказательству первого пункта можно было прийти только через подобие треугольников? Я в том смысле что это стандартный подход для доказательств подобных равенств?

Новые вопросы в Геометрия

12.2. Сколько образующих имеет цилиндр? 12.3. Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью, парал- лельной основаниям? 12.4. Какая фигура получа … ется вращением прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины двух противолежащих сторон этого прямоугольника (рис. 12.10)?

Діагоналі прямокутника утворили кут 62 градуса. Знайти кути, які утворюють діагоналі зі сторонами прямокутника. СРОЧНООО ТЕСТ ТРЕБА ЗНАТИ ЧЕРЕЗ ПІВ … ГОДИНИ.

Во вписанном четырехугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке P, стороны AB и CD соответственно равны 28 и 7 см. Найдите длину отрезка AP(в см), если DP=5 см. (Буду очень благодарна за помощь:)

Четірехугольник АВСД, уголАВД — вписанный =1/2дугтАД, уголАСД вписанный=1/2дугиАД, уголАВД=уголАСД, уголАРВ=уголСРД как вертикальные, треугольник АВР подобен треугольнику СРД по двум равным углам, РД/АР=СД/АВ, 5/АР=7/28, АР=5*28/7=20

Новые вопросы в Геометрия

12.2. Сколько образующих имеет цилиндр? 12.3. Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью, парал- лельной основаниям? 12.4. Какая фигура получа … ется вращением прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины двух противолежащих сторон этого прямоугольника (рис. 12.10)?

Діагоналі прямокутника утворили кут 62 градуса. Знайти кути, які утворюють діагоналі зі сторонами прямокутника. СРОЧНООО ТЕСТ ТРЕБА ЗНАТИ ЧЕРЕЗ ПІВ … ГОДИНИ.

Свойства вписанного четырёхугольника. Часть 1

Голубев, А. И. Свойства вписанного четырёхугольника. Часть 1 / А. И. Голубев, А. А. Хиврич. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2023. — № 5 (68). — С. 90-101. — URL: https://moluch.ru/young/archive/68/3713/ (дата обращения: 09.01.2024).

К настоящему времени найдено огромное количество свойств вписанного четырёхугольника и конструкций, с ним связанных, причём многие из них регулярно появляются при решении задач с различных математических олимпиад. К сожалению, большинство этих свойств описано в разрозненных источниках, что создаёт проблему при подготовке к олимпиадам математического цикла, поэтому своей задачей автор поставил их поиск и систематизацию, а также нахождение новых.

В данной статье собраны и систематизированы темы и методы доказательств, связанные со вписанным четырёхугольником, а для более качественного погружения в тему предложены 15 подробно разобранных задач олимпиадного уровня, 4 из которых были придуманы в процессе работы над статьёй.

Автором были найдены свойства 11 и 12, а также изящные доказательства ко многим другим.

— ABCD — сам вписанный четырёхугольник

— AC ∩ BD = P, AB ∩ DС = E, BC ∩ AD = F

—  — описанная окружность ABCD, O — её центр, R — радиус

— M — точка Микеля ABCD

— H — ортоцентр ABCD

— O _{XYZ —} центр описанной окружности треугольника XYZ

— (XYZ) — описанная окружность XYZ

— Простые задачи и темы

— Углублённые задачи и темы

— Продвинутые задачи и темы

Общие сведения о полном четырёхстороннике

— Полным четырёхсторонником называется фигура (ABCDEF), образованная четырьмя прямыми общего положения

— (BCE), (ADE), (CDF), (ABF) пересекаются в одной точке M, называемой точкой Микеля четырёхугольника ABCD (доказательство элементарно; M же является центром поворотной гомотетии, переводящей AB в DC и BC в AD, подробнее — см. [1] или [4])

— H _BCE , H _ADE , H _CDF , H _ABF лежат на одной прямой, называемой прямой Обера (здесь и далее h), и M _AC , M _BD , M _EF также лежат на одной прямой, прямой Гаусса, причем прямая Гаусса  h (доказательство через радикальные оси см., например, [3], про радикальные оси см., например, [1])

— O _BCE , O _ADE , O _CDF , O _ABF и M лежат на одной окружности (здесь и далее )

Доказательство:

1) Поскольку M лежит на каждой из (BCE), (ADE), (CDF), (ABF), то, из свойств прямой Симсона (подробнее см., например, [1]) M ₁ — M ₂ — M ₃ , M ₁ — M ₂ — M ₄ , M ₁ — M ₃ — M ₄ и M ₂ — M ₃ — M ₄ , где

M ₁ , M ₂ , M ₃ , M ₄ — основания перпендикуляров из M на AB, CD, BC и AD соответственно, откуда

M ₁ — M _{2 —} M ₃ — M ₄ (отсюда, кстати, также следует коллинеарность H _BCE , H _ADE , H _CDF , H _ABF как лежащих на совпадающий прямых Штейнера M относительно (BCE), (ADE), (CDF), (ABF) (св-во прямой Симсона))

2) Т.к, M лежит на каждой из (BCE), (ADE), (CDF), (ABF), то при инверсии в M (св-ва инверсии см. [3]) O _BCE , O _ADE , O _CDF , O _ABF перейдут в точки O _BCE ’, O _ADE ’, O _CDF ’, O _ABF ’, являющиеся отражениями M относительно сторон образа ABCD, значит O _BCE ’, O _ADE ’, O _CDF ’, O _ABF ’, как и M ₁ , M ₂ , M ₃ , M ₄ будут лежать на одной прямой, а значит до инверсии O _BCE , O _ADE , O _CDF , O _ABF и M лежали на одной окружности, ч.т.д.

Сопряжение Клоусона и инверсия Микеля

— Дан четырёхугольник ABCD и точка X, (ABX) ∩ (CDX) = Y, (BCX) ∩ (ADX) = Y’, тогда (ADY), (BCY), (ABY’) и (CDY’) пересекаются в одной точке X’, называемой сопряженной Клоусона точки X в четырёхугольнике ABCD.

1) После инверсии в X задача становится равносильной существованию точки Микеля полного четырёхсторонника

Следствие: AXB = X’CB + X’DA (следует из вписанности BXYA, BCX’Y и ADX’Y)  для точки X’, удовлетворяющей равенству AXB = X’CB + X’DA и аналогичным относительно других сторон (признак сопряжения точек по Клоусону), верно, что она есть сопряженная Клоусона точки X в ABCD. Кроме того, если у X есть изогонально сопряженная точка в ABCD, то она совпадает с X’. (Подробнее про изогональное сопряжение см., например, [2])

— Из свойств поворотной гомотетии следует, что для полного четырёхсторонника ABCDEF

— MA * MC = MB * MD = ME * MF и AMC, BMD и EMF имеют общую биссектрису l.

Тогда для преобразования i _M , являющегося композицией инверсии в M с радиусом

и симметрии относительно l, верно: i _M : A  C, B  D, E  F. i _M называется инверсией Микеля

Утверждение: пусть i _M : X  X’, тогда X’ будет сопряженной Клоусона для X в четырёхугольнике ABCD

1) Из свойств инверсии имеем MXC =  MAX’ и MXB = MDX’, а из свойств поворотной гомотетии BAM = CDM, откуда BXC =  BAX’ + X’DC. Получая аналогичные равенства для других сторон, заключаем, что X и X’ — сопряженные Клоусона по признаку, ч.т.д.

Высоты и диагонали во вписанном четырёхугольнике

— Лемма Монжа: высоты, опущенные из середин сторон ABCD на противоположные стороны, пересекаются в одной точке (ортоцентре ABCD), причем эта точка делит пополам каждый из отрезков, соединяющих вершины с ортоцентрами “противоположных” треугольников

1) Поскольку H _ABD H _ACD CB — параллелограмм (свойство 1) то BH _ACD и CH _ABD , равно как BH _ACD , AH _BCD и CH _ABD , DH _ABC точкой пересечения делятся пополам, значит, все четыре отрезка (AH _BCD , BH _ACD , CH _ABD и DH _ABC ) пересекаются в одной точке (H) и делятся ей пополам

2) Т. к. H _ABD H _ACD CB — п-мм, то высота из M _BC на AD, параллельная BH _ACD , будет проходить через его точку пересечения диагоналей.

Аналогично другие высоты будут проходить через точки пересечения диагоналей соответствующих п-ммов, которые, как мы поняли, совпадают (точка H), ч.т.д.

3*) Кроме того, H _ABD H _ACD H _ABD H _ABC центрально симметричен ABCD

4*) Если рассматривать ломаную ACBD (а не ABCD) как “основную”, то тогда её сторонами будут являться AC и BD  H  перпендикулярам из середин AC и BD на BD и AC соответственно

— H есть середина H _BCE H _ADE и H _ABF H _CDF

1)H _ADE H _ACD || BH _BCE , H _ADE H _ACD = BH _BCE , HB = H _ACD  HH _ADE H _ACD = HBH _BCE  H _ADE HH _ACD = BHH _BCE и HH _BCE = HH _ADE  H — середина H _BCE H _ADE , аналогично H — середина H _ABF H _CDF , ч.т.д.

— G — середина OH, где G — центр масс ABCD

1)M _AB H || OM _CD и HM _CD || M _AB O  M _AB HM _CD O — п-мм по признаку  G, середина M _AB M _CD , есть и середина OH, ч.т.д.

1)Поскольку h есть радикальная ось окружностей, построенных на AC и BD как на диаметрах, то принадлежность P прямой h равносильна равенству степеней P относительно этих окружностей, что, в свою очередь, равносильно PA * PC = PB * PD

Прямая Эйлера вписанного многоугольника

— У любого вписанного многоугольника существует ортоцентр

Если во вписанном n-угольнике соединить каждую вершину с ортоцентром (n-1)-угольника, образованного оставшимися вершинами, то все полученные отрезки пересекутся в одной точке и поделятся в отношении (n — 3):1, считая от вершины. Докажем это по индукции:

1. База для n = 4 доказана
2. Пусть утверждение верно для n-угольника
3. 1) Рассмотрим 2 вершины A ₁ и A ₂ (n+1)-уг., ортоцентр H _n-1 (n-1)-уг., вершинами которого являются оставшиеся n-1 вершина, тогда ортоцентр H _{n_1} n-уг., не содержащего A ₁ — такая точка на A ₂ H _n-1 , что A ₂ H _{n_1} /H _{n_1} H _n-1 = (n — 3):1, аналогично и H _{n_2} .

3) Аналогично любые 2 отрезка A _i H _{n _ i} и A _k H _{n _ k} точкой пересечения поделятся в отношении (n-2):1, считая от вершины  все такие отрезки пересекутся в одной точке и поделятся в отношении (n-2):1 

1. Предположение верно для всех n, ч.т.д.

— В любом вписанном многоугольнике центр описанной окружности, центр масс и ортоцентр лежат на одной прямой, причем центр масс делит отрезок соединяющий центр описанной окружности с ортоцентром в отношении (n-2):2, считая от центра описанной окружности

Про геометрию масс, в частности про центр масс, можно прочитать в [6], нам же понадобится только то, что центр масс n-угольника с равными весами в вершинах — точка на отрезке, соединяющим произвольную вершину с центром масс оставшихся (n-1) вершин, делящая его в отношении (n-1):1, считая от вершины (по сути, это точка, при подвесе за которую многоугольник останется в равновесии. В частности, на отрезке это будет действовать правило рычага, а если рассматривать четырёхугольник с равными массами в вершинах, то это будет центр четырёхугольника Вариньона)

Итак, докажем исходное утверждение по индукции:

1. База для n = 3 общеизвестна
2. Пусть предположение верно для n-угольника
3. 1) Рассмотрим вершину A вписанного (n+1)-уг., центр его описанной окружности O, его центр масс M _n+1 и ортоцентр H _n+1 , а также центр масс M _n и ортоцентр H _n n-угольника, образованного из данного “выкидыванием” A, тогда:

2) Используя доказанные свойства ортоцентра, определение центра масс и индуктивное предположение, получаем, что

AH _{n +1} /H _{n +1} H _n = (n — 2):1, AM _{n +1} /M _{n +1} M _n = n:1 и OM _n /M _n H _n = (n — 2):2. По теореме Менелая для AH _n M _n легко проверить, что H _{n +1} , M _{n + 1} и O лежат на одной прямой (эта прямая называется прямой Эйлера вписанного n-угольника), а из теоремы Менелая для OH _{n +1} H _n получаем, что OM _{n +1} /M _{n +1} H _{n +1} = (n — 1):2  4. Предположение верно для всех n, ч.т.д

Исследуем вписанный четырёхугольник

— Свойство 4: M  EF

(EMC + CMF = ABC + CDA = )

— Свойство 5: O — P — M

Действительно, т. к. O — точка велосипедистов* для (CDF) и (ABF), то OO _CDF FO _ABF — п-мм, а OMO _CDF O _{ABF —} трапеция, но O _CDF O _ABF  EF, т. к. является серпером к MF  OM  EF, п по т. Брокара OP  EF  O — P — M, ч.т.д.

Здесь еще можно отметить, что

*про точку велосипедистов можно почитать в [2] или [4]

— Свойство 6: O и P — сопряженные Клоусона (по признаку)

— Свойство 7: AOCM и BODM — вписанные

Действительно, т. к. при инверсии Микеля O  P, A  C, B  D и A — P — C, B — P — D, то до инверсии AOCM и BODM были вписанными, ч.т.д.

— Свойство 9: h есть радикальная ось  и 

1) После инверсии Микеля центры описанных окружностей перейдут в точки симметричные M относительно сторон ABCD, то попадут на прямую Штейнера точки M для каждой из описанных окружностей, т. е. на прямую Обера, а  перейдет в себя  точки пересечения  и  перейдут в точки пересечения  и h, но, поскольку после инверсии Микеля “конфигурация” не изменилась, то значит эти точки останутся на месте, т. е. они лежат и на , и на , и на h 

h — радикальная ость  и , ч.т.д.

2) Т. к. после инверсии Микеля  переходит в h, а O в P,  h, то до инверсии O  , ч.т.д.

Следствие: пусть  ∩ EF вторично в V, тогда, т. к. OV будет являться линией центров  и , и h  m, то OV || m

— Свойство 10: O _ADE H _ADE O _BCE H _BCE и O _CDF H _ABF O _ABF H _CDF вписаны в концентрические окружности

1)Т. к. AED  BEC, то, первое, BEH _BCE = CEH _ABE , который, очевидно, = AEO _ADE  E — H _BCE — O _ADE , аналогично E — O _BCE — H _ADE , и второе, EO _ADE / EO _BCE = EH _ADE / EH _BCE  EO _ADE * EH _BCE = EO _BCE * EH _ADE 

2) Т. к. O _BCE O _ADE O _ABF O _{CDF —} равнобокая трапеция, то серпер к O _BCE O _ADE совпадает с серпером к O _ABF O _CDE ;

т. к. H _ADE H _CDF = H _ABF H _BCE , то серпер к H _ABF H _CDF совпадает с серпером к H _BCE H _ADE  центры описанных окружностей O _ADE H _ADE O _BCE H _BCE и O _CDF H _ABF O _ABF H _CDF совпадают, ч.т.д.

Их общий центр называется точкой Эрвея

— Свойство 11: прямые Обера ломаных ABCD, ACBD и ACDB пересекаются в одной точке.

Действительно, в разделе “Высоты и диагонали во вписанном четырёхугольнике” мы поняли, что этой ортоцентр ABCD является также и ортоцентром ACBD, аналогично и ACDB  лежит на каждой из прямых Обера.

— Свойство 12: окружности  ломаных ABCD, ACBD и ACDB соосны.

Поскольку радикальной осью каждой из окружностей является соответственная прямая Обера, то, в силу свойства 11, H имеет равную степень относительно каждой из этих окружностей (и )  для этих трёх окружностей нашлось 2 точки с равными относительно них степенями (вторая — O, её степень относительно каждой — 0, причём нетрудно проверить, что O и H совпадают только если ABCD — квадрат), а значит у них есть общая радикальная ось, ч.т.д.

Следствие: центры окружностей  ломаных ABCD, ACBD и ACDB лежат на одной прямой

Для лучшего понимания рассуждений про ломаные на чертеже “по порядку” идут A — D — B — C вместо A — B — C — D

1. (Iran TST, 2022, Problem 4) Диагонали вписанного в окружность с центром O четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точки M и N — середины сторон AD и BC соответственно. Описанные окружность BCP и MON пересекаются в точке F (не на дуге MN), аналогично ADP и MON пересекаются в E. Докажите, что OE = OF.

1) Пусть E ₁ и F ₁ (на чертеже — E и F) — точки пересечения PN с (ADP) и MP с (BPC), покажем, для начала, что это и есть E и F

2) Поскольку PN — медиана BCP, то для ADP это будет симедиана (про них можно почитать в [4] или [5]), значит, E ₁ APD — гармонический четырёхугольник (см [3] или [6]), аналогично и F ₁ BPC  E ₁ MPF ₁ = (из свойств гармонических четырёхугольников) 2AMP = (из подобия) 2CNB = E ₁ NF ₁ ;

MIN = DAC — ADP = ME ₁ N  E ₁ MNF ₁ I — вписанный, O  (MIN)  E = E ₁ , F = F ₁

3) Пусть FP ∩ (APD) = Y, тогда, в силу равенств DY = EA, OD = OA, EAO = YDO, YDO = EAO  OY = OE

4) Заметим, что O — точка велосипедистов для (ADP) и (BCP)  OY = OF  OE = OF, ч.т.д.

5) Можно также отметить, что (BCP) и (ADP) вторично пересекаются на (MON) (EXF = EMF, где X — как раз вторая точка пересечения (BCP) и (ADP))

1. (Автор) Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и CD — в Е. Оказалось, что расстояние между центрами описанные окружностей треугольников ABP и ACE равно расстоянию между центрами описанных окружностей треугольников CDP и BDE. Докажите, что ABCD — вписанный

1) Используя ранее доказанный факт про полный четырёхсторонник, примененный для ломаной ACDB, заключаем, что O ₁ O ₂ O ₃ O ₄ — вписанный, где O _i -центр одной из окружностей (см чертёж)

2) В силу O ₁ O ₂ = O ₃ O ₄ , O ₁ O ₂ O ₄ O ₃ — трапеция  O ₁ O ₃ || O ₂ O ₄ , но O ₁ O ₃ — срединный перпендикуляр к EM, где M — точка Микеля ломаной ACDB, а O ₂ O _{4 —} к PM  EM и PM или || или совпадают, но у них есть общая точка M  совпадают  E — P — M  BAP = BME = BDE  ABCD — вписанный по признаку, ч.т.д.

1. Даны точки A, B и C, лежащие на одной прямой и точка P, на этой прямой не лежащая. Докажите, что P и центры описанных окружностей треугольников APB, APC и BPC лежат на одной окружности.

1) Поскольку основания перпендикуляров, опущенных из P на стороны треугольника, образованного данными центрами описанных окружностей есть середины PA, PB и PC, т. е. точки, лежащие на одной прямой, то по “обратной” прямой Симсона нужный нам четырёхугольник вписанный, ч.т.д.

1. (IMO 1992, Problem 5) Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили такую точку X, что CAB = DAX и  BCA = XCD. Докажите, что XB = XD

1) Рассмотрим X’, изогонально сопряженную к точке X, тогда X’  AC и BX’A + CX’D =   BX’C = CX’D

2) Поскольку изогональю к радиусу является высота, то угол между DX и DO = углу между DG и DX’, который равен углу между BX’ и BE (=

— BX’E), который = углу между BO и OX  XBD = XDB (мы доказали равенство направленных углов XDO и OBX, поэтому мы либо добавляем к обоим равным углам ODB и DOB равные, либо от обоих вычитаем)  BX = XD, ч.т.д.

1. (Автор) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и CD — в E, AD и BC — в F. Пусть X ₁ — середина отрезка, соединяющего проекции E на AC и BD, Y ₁ — E на AD и BC, X ₂ — F на AC и BD, Y ₂ — F на AB и CD, X ₃ — P на AB и CD, Y ₃ — P на AD и BC. Докажите, что X ₁ Y ₁ , X ₂ Y ₂ , X ₃ Y ₃ пересекаются в одной точке.

Секрет задачи заключается в следующем факте: пусть K, L, M и N — проекции точки P пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника ABCD. Тогда прямая Гаусса KLMN совпадает с прямой Обера ABCD. Тогда на каждой из прямых Гаусса (X ₁ Y ₁ , X ₂ Y ₂ , X ₃ Y ₃ для соответствующей ломаной) будет лежать ортоцентр ABCD  эти 3 прямые ∩ в одной точке, ч.т.д.

Докажем этот факт:

1) Пусть Z’ — проекция Z,  AB (CD), на CD (AB), X — середина KM, Y — KK’ ∩ MM’

2) Мы уже показали, что P  H _ADE H _BCE  принадлежность X H _ADE H _BCE равносильна принадлежности Y этой прямой (P — X — Y). Докажем, что Y  H _ADE H _BCE с помощью проверки равенства отношений проекций H _BCE H _ADE и H _BCE Y на AB и CD (т. е. покажем

3) Пусть AED = , тогда

 X  H _ADE H _BCE , аналогично середина X ₁ отрезка LN  H _ABF H _CDF , но H _ADE H _BCE и H _ABF H _{CDF —} одна прямая (Обера)  прямая Гаусса KLMN совпадет с прямой Обера ABCD, ч.т.д.

1. (Автор) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и CD — в E. Точки M и N таковы, что MP  CD, ME  BD, NP  AB и NE  AC. Докажите, что AMDN — параллелограмм.

Для решения нам понадобится следующая лемма: пусть дан вписанный четырёхугольник ABCD, P — точка ∩ его диагоналей, E — прямых AB и CD. Пусть Q и L — проекции E и P на AC и CD соответственно, а O — середина AD. Тогда Q, L и O лежат на одной прямой.

1) Рассмотрим T и K — проекции E и P на BD и AB соотв., тогда, очевидно, TKPLQE — вписанный в окружность с диаметром EP и TQLK — трапеция в силу LEQ =

2) Пусть BAC = . Рассмотрим h =

= 1 и h(L) = K (L  P  K), то h есть поворот, переводящий L в K. Легко проверить, что O будет являться неподвижной точкой при преобразовании h  она и есть центр этого поворота  OL = OK

3) Пусть TK ∩ QL = O ₁ , тогда, очевидно из п.1 O ₁ L = O ₁ K, кроме того, по теореме Паскаля для KTPQLE, A, O ₁ и D лежат на одной прямой. Но на прямой AD есть только одна точка, равноудалённая от K и L  O = O ₁  Q — L — O

Итак, вернемся к задаче:

1) К обозначениям точек в лемме добавим PK ∩ EM = F и PL ∩ EN = G

2) Очевидно, что F и G — ортоцентры EBP и ECP соотв.  EFN =  — EBP =  — ECP = EGP  MFGN — вписанный

3) Применим лемму для ABCD и MFGN: точка O пересечения TK и QL является как серединой AD, так и серединой MN  AMDN — п-мм по признаку, ч.т.д.

1. (Автор) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Пусть K и L — проекции P на AB и CD соответственно. M — середина AD. KC и BL пересекаются в точке X, прямые PX и KM — в Y. Докажите, что YPLD — вписанный.

1) Пусть AB ∩ CD = E, N — проекция E на AC.

2) Воспользуемся леммой из предыдущей задачи: K, L и N коллинеарны  YLD = NLE = (из вписанности PLNE) CPE.

3) Заметим, что CPL = BPK  по лемме об изогоналях (подробнее — см [7]) для вершины P и точек K, B, C, L: CPE = XPB 

4) YPD = EPN = YLD  YPLD — вписанный, ч.т.д.

1. (СПбМО, 2009, задача 7) Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Его диагонали пересекаются в точке P, а продолжения сторон AB и ВС — в точке E. M и N — середины AD и BC соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMN касается EP.

1) Пусть BC ∩ AD = F, EP ∩ BC = G, EP ∩ AD = H, K — середина EP

2) Известно, что четвёрки [B; C; G; F], [A; D; H; F] и [E; P; Q; H] — гармонические (это верно для произвольного ABCD, про гармонические четвёрки см. [4] или [5])  из св-в гармонических четвёрок, т. к. M, N, K — середины AD, BC и EP соответственно, KP 2 = KG * KH (1), FG * FN = FC * FB, FH * FN = FD * DA, но FD * FA = FC * FB  FG * FN = FH * FM  GNMH — вписанный

3) K, N, M лежат на одной прямой как середины диагоналей полного четырёхсторонника, образованного BECP (его прямая Гаусса)  из вписанности GNMH и равенства (1), KP 2 = KN * KM, откуда KP, т. е. EP, касается (PMN) по признаку, ч.т.д.

Задачи для самостоятельного решения

1. (Автор) Во вписанном четырёхугольнике ABCD DB  AC и BA = 25, BD = 63, BC = 39. Найти радиус описанной окружности.
2. На окружности с диаметром AC выбрали точки B и D, E и F — проекции A и C на BD. Докажите, что BE = CF.
3. (Теорема Помпею) Точка P лежит на меньшей дуге AB описанной окружности равностороннего треугольника ABC. Докажите, что PC = PA + PB.
4. Пусть P лежит на меньшей дуге AB описанной окружности равнобедренного треугольника ABC (AC = CB). D — основание перпендикуляра из C на PB. Докажите, что PA + PB = 2PD.
5. (Е. А. Емельянов) Докажите, что точки пересечения окружностей с центрами в серединах дуг AB, BC, CD, DA окружности  и проходящие через A, B, C, D соответственно, не лежащие на , образуют прямоугольник.
6. Пусть M — середина дуги AB окружности . Пусть C и D лежат на  и MC ∩ AB = E, MD ∩ AB = F. Докажите, что CDFE — вписанный.
7. Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Прямые AB и CD пересекаются в E, AD и BC — в F. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов BEC и CFD со сторонами ABCD являются вершинами ромба.
8. На сторонах BC и AD вписанного четырёхугольника ABCD отметили точки B’ и A’ соответственно, такие что BB’ = AA’ = AB. На продолжениях BC и AD за C и D отметили точки C’ и D’ соответственно, такие что CC’ = DD’ = CD. Докажите, что A’B’C’D’ — вписанный.
9. (СПб МО, 2009, 11.3) В окружность  вписан четырёхугольник ABCD. Касательный к , проведённые в точках A и D, пересекаются в точке P, при этом дуга ABCD лежит вне треугольника ADP. На луче BA нашлась такая точка K, что PK||AC, а на луче DC — точка N, такая, что PN||BD. Докажите, что точки B, C, K, N лежат на одной окружности.
10. Пусть A ₁ , B ₁ , C ₁ — основания соответствующих биссектрис в треугольнике ABC. Описанная окружность A ₁ B ₁ C ₁ пересекает AB, BC, CA в C ₂ , A ₂ и B ₂ соответственно. Докажите, что 2*max(A ₁ A ₂ , B ₁ B ₂ , C ₁ C ₂ ) = A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ + C ₁ C ₂ .
11. Пусть B’ и C’ — основания перпендикуляров из B и C на внешнюю биссектрису угла A треугольника ABC. Докажите, что основание высоты треугольника, опущенной из A, середина стороны BC, B’ и C’ лежат на одной окружности.
12. AA ₁ — биссектриса треугольника ABC. O — центр описанной окружности ABC, O ₁ — BAA ₁ , O ₂ — CAA ₁ . Докажите, что OO ₁ = OO ₂ .
13. (Окружность Ламуна) Медианы AD, BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников AME, AMF, BMD, BMF, CMD и CME лежат на одной окружности.
14. ABCD — параллелограмм, O — его центр. Докажите, что O и проекции D на AB, BC и AC лежат на одной окружности.
15. (Автор) K, L, M, N — проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника ABCD на AB, BC, CD и DA соответственно. H — пересечение перпендикуляров из середин AC и BD на BD и AC. Докажите, что середина KM, середина LN и H лежат на одной прямой.
16. (X олимпиада имени И. Ф. Шарыгина, финал, 9 класс, задача 2, автор — Ф. Нилов) В четырехугольнике ABCD углы A и C — прямые. На сторонах AB и CD как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках X и Y. Докажите, что прямая XY проходит через середину диагонали AC.
17. (Автор) Диагонали вписанного в окружность Г четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и CD — в E. Описанные окружности треугольников BCP и ADP с центрами в I и J пересекаются вторично в точке K. Описанная окружность IJK пересекают Г в точках X и Y. Докажите, что середина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров из E на BC и AD лежит на XY.
18. Внутри треугольника ABC выбрана произвольная точка P, A’, B’, C’ — проекции P на BC, AC и AB соответственно. Описанная окружность A’B’C’ вторично пересекает BC в X, прямая B’C’ пересекает прямую BC в Y. Докажите, что AX  PY.
19. (Автор) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и DC — в E, AD и BC — в F. Описанные окружности треугольников ACE и BDE вторично пересекаются в X; ACF и BDF — в Y; BCE и CDF — в Z. Докажите, что ZP — биссектриса угла XZY.
20. (Автор) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Описанные окружности треугольников ABP и CDP с центрами O ₁ и O ₂ вторично пересекаются в K ₁ ; BCP и ADP с центрами в O ₃ и O ₄ — в K ₂ ; Описанные окружности O ₁ O ₂ K ₁ и O ₃ O ₄ K ₂ пересекаются в X и Y. Докажите, что середина отрезка, соединяющего середины AC и BD лежит на XY.
21. Хорды AC и BD окружности  с центром O пересекаются в точке P. Докажите, что O _ABO O _CDO и O _BCO O _ADO пересекаются на OP.
22. Хорды AC и BD окружности  пересекаются в точке P. Проходящая через P прямая пересекает описанные окружности ABP и CDP и  в точках K, L, M, N (K — L — M — N). Докажите, что KL = MN.
23. Четыре окружности касаются внешним образом (каждая ровно с двумя другими) в точках A, B, C и D. Докажите, что ABCD вписанный.
24. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и CD — в E. Описанная окружность EPD вторично пересекает описанную окружность ABCD в точке X. Докажите, что прямая AX проходит через середину отрезка EP.

Литература:

1. Lozanovski, S. A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry / S. Lozanovski. — version. 1.4. — 231 c. — Текст: непосредственный.
2. Протасов, В. Ю. О двух велосипедистах и вишневой косточке / В. Ю. Протасов. — Текст: непосредственный // Квант. — 2008. — № 3. — С. 41–44.
3. Жижилкин, И. Д. Инверсия / И. Д. Жижилкин. — Москва: МЦНМО, 2019. — 72 c. — Текст: непосредственный.
4. Олимпиадная геометрия. — Текст: электронный // Дзен: [сайт]. — URL: https://dzen.ru/id/5d921a06a660d700ae014dfd.
5. Ефремов, Д. Д. Новая геометрия треугольника / Д. Д. Ефремов. — Одесса: Матезис, 1902. — 334 c. — Текст: непосредственный.
6. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии / В. В. Прасолов. — 8-е изд., испр. — Москва: МЦНМО, 2022. — 640 c. — Текст: непосредственный.
7. Куликова, А. Теорема об изогоналях / А. Куликова, Д. Прокопенко. — Текст: непосредственный // Квант. — 2018. — № 4. — С. 41–44.
8. Акопян, А. В. Геометрия в картинках / А. В. Акопян. — 1-е изд. — Москва: МЦНМО, 2011. — 130 c. — Текст: непосредственный.

Четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13096

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13162

Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке К, причём $$\angle AKB=60^$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Ответ: $$10\sqrt<7>$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13226

В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $$24\sqrt$$ и $$7\sqrt$$

Задание 13248

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13483

Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13506

Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13610

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=40 и CD=10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём $$\angle AKB=60^$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Ответ: $$10\sqrt<7>$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13823

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Точка F принадлежит отрезку АС. Известно, что ВО=10, DO=14, АС=18. Найдите АВ, если площадь треугольника FBC в четыре раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13844

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=48, BC=16, CF:DF=5:3.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13928

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Точка F принадлежит отрезку АС. Известно, что ВО=19, DO=16, АС=24. Найдите AF, если площадь треугольника FCD в три раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13950

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13972

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Ответ: 1120

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 14982

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 9.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Поскольку HG||AC и HE||BD, получаем, что HKOL — параллелограмм, следовательно, углы KHL и KOL равны. Рассмотрим треугольники ABC и EBF, угол EBF — общий, углы BEF и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, углы BFE и BCA — аналогично, следовательно, треугольники ABC и BEF подобны по двум углам. Откуда $$\frac=\frac.$$ Аналогично подобны треугольники ABD и AEH, откуда $$\frac=\frac.$$ Пусть сторона ромба равна a, а длина короткой диагонали равна d. Сложим два полученных уравнения:

Площадь ромба можно найти как произведение сторон на синус угла между ними: $$S_=a^2\sin\angle KHL.$$ Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними: $$S_=\frac\cdot AC\cdot BD\cdot\sin\angle KOL=\frac\cdot9d\cdot\sin\angle KOL.$$ Найдём отношение площадей ромба и параллелограмма: