Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).
Рассматриваются числовые ряды двух видов
Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.
Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.
_^<\infty>,» width=»» height=»» />
каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида
^a_i.» width=»» height=»» />
Вообще, для обозначения ряда используется символ
^<\infty>a_i,» width=»» height=»» />
поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.
В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:
Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:
^<\infty>a_i,» width=»» height=»» />
Пусть заданы сходящиеся ряды 
, где 
Ряд 
сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда 
и 
Где 
Доказательство. Если сходится 
то по признаку сравнения тем более сходятся и Наоборот, если сходятся и 
то сходится и их сумма 
Поскольку число членов ряда Оесконечно, частичные суммы ряда образуют числовую последовательность
Ряд (13.1) называется сходящимся, если существует предел S последовательности частичных сумм (13.3); в таком случае число S называется суммой ряда:
Если же последовательность частичных сумм (13.3) не имеет предела, числовой ряд (13.1) называется расходящимся.
Рассмотрим примеры числовых рядов.
Последовательность частичных сумм этого ряда S = 1, S2 ~ О. ^2,-1 = 1-
S2n = 0, . не имеет предела, т.е. ряд расходится.
2. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии с первым членом b * 0 и знаменателем q * 1:
Частичная сумма общего вида этого ряда выражается формулой
Очевидно, что при q 1 предел Sn при п -»«> бесконечен, и ряд расходится. Если же |
То есть это числовой ряд, кратных р значений: 2р, 3р, 4р, …).
Числовой ряд.
Выполним проход по числовому ряду и зачеркнём все кратные трём числа.
Числовой ряд.
Числовой ряд.
Автор Дмитрий Михайлович Беляев
Источник Справочник
Категория Информатика
Статья от экспертов
В данной статье рассматриваются перестановки условно сходящихся функциональных рядов в пространствах Lp[0,1] при 1≤p≤. Известная теорема Римана утверждает, что множество сумм любого сходящегося числового ряда линейно. М.И.Кадец доказал, что в пространствах Lp[0,1] при 1≤p≤∞ условия линейности множества сумм ряда выглядит следующим образом: Ʃn=1 ∞||xn||min(2,p). В данной статье приводится пример ряда с нелинейным в пространстве Lp[0,1] множеством сумм, который показывает неусиляемость условия М.И.Кадеца в расссматриваемых пространствах.
Автор(ы) Корнилов Петр Анатольевич
Источник Ярославский педагогический вестник
Научный журнал
Перейдём к определению числового ряда.
Определение 1 Числовой ряд — это бесконечная сумма из бесконечной последовательности чисел: $\sum.
Приведём понятие сходящегося числового ряда и расходящегося.
Определение 2 Числовой ряд сходящийся, если существует предел вида $S=\lim\limits_
В теории числовых рядом первым вопросом является вопрос о сходимости данного ряда.
Автор Александр Мельник
Источник Справочник
Категория Математика
Статья от экспертов
В статье анализируются числовые ряды, признаки сходимости и расходимости.
ЧИСЛОВОЙ РЯД – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности an> называется числовым рядом:
Также по теме:
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Каждому натуральному n сопоставляется сумма первых n членов последовательности an>
Также по теме:
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
Значения Sn называют частичными суммами ряда. Они образуют последовательность Sn> последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда an – общий член ряда.
Если последовательность частичных сумм данного ряда имеет предел S, то есть
то ряд сходится и S – его сумма. Записывается это следующим образом:
В противном случае ряд называют расходящимся.
Таким образом, сумма ряда – это, по определению, предел последовательности его частичных сумм.
Пусть есть геометрическая прогрессия bn = b1q n –1, знаменатель которой q по абсолютной величине меньше единицы (–1 n + b1q2 + …+ b1q n –1= .
Очевидно, что при |q| n стремится к нулю. Тогда значение Snстремится к и это число называется суммой всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии: b1 + b1q n + b1q2 + …= .
Необходимый признак сходимости ряда: последовательность членов сходящегося ряда должна стремится к нулю: .
Это условие не является достаточным, как показывает пример ряда .
Для этого ряда выполняется необходимый признак сходимости ряда: , однако, ряд расходится, так как частичные суммы
Для выяснения сходимости рядов найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.