Что такое числовой ряд в информатике

Числовой ряд

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;
комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Определение

$\<a_i\></p> <p>Пусть _^<\infty>» width=»» height=»» /> — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность</p> <p><img decoding=$

Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

$S=\sum_<i=1></p> <p>^<\infty>a_i,» width=»» height=»» /></p> <h3>Операции над рядами</h3> <p>Пусть заданы сходящиеся ряды <img decoding=$

Их произведением по Коши называется ряд $\sum c_n$ , где $c_n = \sum_<k=0>^n a_k b_» width=»» height=»» /></li> </ul> <p>Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.</p> <h3>Критерий абсолютной сходимости</h3> <p>Ряд <img decoding=$ сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда $\,b_k$ и $\,c_k.$ Где $\,a_k = b_k - c_k, \left|a_k\right| = b_k + c_k, b_k \geqslant 0, c_k \geqslant 0, \forall k.$

Доказательство. Если сходится $\sum \left|a_k\right|,$ то по признаку сравнения тем более сходятся $\,b_k$ и $\,c_k.$ Наоборот, если сходятся $\,b_k$ и $\,c_k,$ то сходится и их сумма $\sum \left|a_k\right|.$

См. также

Сумма ряда
Функциональный ряд

Литература

В. А. Зорич Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М .: Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.

Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.

Ряды и последовательности

РЯДЫ

Поскольку число членов ряда Оесконечно, частичные суммы ряда образуют числовую последовательность

Ряд (13.1) называется сходящимся, если существует предел S последовательности частичных сумм (13.3); в таком случае число S называется суммой ряда:

Если же последовательность частичных сумм (13.3) не имеет предела, числовой ряд (13.1) называется расходящимся.

Рассмотрим примеры числовых рядов.

Последовательность частичных сумм этого ряда S = 1, S₂ ~ О. ^2,-1 = 1-

S_2n = 0, . не имеет предела, т.е. ряд расходится.

2. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии с первым членом b * 0 и знаменателем q * 1:

Частичная сумма общего вида этого ряда выражается формулой

Очевидно, что при q 1 предел S_n при п -»«> бесконечен, и ряд расходится. Если же |

Числовой ряд

То есть это числовой ряд, кратных р значений: 2р, 3р, 4р, …).
Числовой ряд.
Выполним проход по числовому ряду и зачеркнём все кратные трём числа.
Числовой ряд.
Числовой ряд.

Автор Дмитрий Михайлович Беляев
Источник Справочник
Категория Информатика
Статья от экспертов

О перестановках числовых и функциональных рядов

В данной статье рассматриваются перестановки условно сходящихся функциональных рядов в пространствах Lp[0,1] при 1≤p≤. Известная теорема Римана утверждает, что множество сумм любого сходящегося числового ряда линейно. М.И.Кадец доказал, что в пространствах Lp[0,1] при 1≤p≤∞ условия линейности множества сумм ряда выглядит следующим образом: Ʃn=1 ∞||xn||min(2,p). В данной статье приводится пример ряда с нелинейным в пространстве Lp[0,1] множеством сумм, который показывает неусиляемость условия М.И.Кадеца в расссматриваемых пространствах.

Автор(ы) Корнилов Петр Анатольевич
Источник Ярославский педагогический вестник
Научный журнал

Признак сходимости Даламбера, примеры

Перейдём к определению числового ряда.
Определение 1 Числовой ряд — это бесконечная сумма из бесконечной последовательности чисел: $\sum.
Приведём понятие сходящегося числового ряда и расходящегося.
Определение 2 Числовой ряд сходящийся, если существует предел вида $S=\lim\limits_ S_n.
В теории числовых рядом первым вопросом является вопрос о сходимости данного ряда.

Автор Александр Мельник
Источник Справочник
Категория Математика
Статья от экспертов

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды

В статье анализируются числовые ряды, признаки сходимости и расходимости.

ЧИСЛОВОЙ РЯД

ЧИСЛОВОЙ РЯД – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности a_n> называется числовым рядом:

Также по теме:
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Каждому натуральному n сопоставляется сумма первых n членов последовательности a_n>

Также по теме:
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Значения S_n называют частичными суммами ряда. Они образуют последовательность S_n> последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда a_n – общий член ряда.

Если последовательность частичных сумм данного ряда имеет предел S, то есть

то ряд сходится и S – его сумма. Записывается это следующим образом:

В противном случае ряд называют расходящимся.

Таким образом, сумма ряда – это, по определению, предел последовательности его частичных сумм.

Пусть есть геометрическая прогрессия b_n = b1q n –1, знаменатель которой q по абсолютной величине меньше единицы (–1 n + b1q2 + …+ b1q n –1= .

Очевидно, что при |q| n стремится к нулю. Тогда значение S_nстремится к и это число называется суммой всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии: b1 + b1q n + b1q2 + …= .

Признаки сходимости рядов.

Необходимый признак сходимости ряда: последовательность членов сходящегося ряда должна стремится к нулю: .

Это условие не является достаточным, как показывает пример ряда .

Для этого ряда выполняется необходимый признак сходимости ряда: , однако, ряд расходится, так как частичные суммы

Для выяснения сходимости рядов найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Похожие публикации:

000webhost com как загрузить сайт

0xc0000428 windows 10 как исправить

10 значное число это сколько

1024 это 2 в какой степени