1. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник
Отрезок \(AC\) называется перпендикуляром, проведённым из точки \(A\) прямой \(a\), если прямые \(AC\) и \(a\) перпендикулярны.
Точка \(C\) называется основанием перпендикуляра.
От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Докажем, что от точки \(A\), не лежащей на прямой \(BC\), можно провести перпендикуляр к этой прямой.
Допустим, что дан угол ∠ ABC .
Отложим от луча \(BC\) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне \(BC\)).
Сторона \(BA\) совместится со стороной B A 1 .
При этом точка \(A\) наложится на некоторую точку A 1 .
Следовательно, совмещается угол ∠ ACB с ∠ A 1 CB .
Но углы ∠ ACB и ∠ A 1 CB — смежные, значит, каждый из них прямой.
Прямая AA 1 перпендикулярна прямой \(BC\), а отрезок \(AC\) является перпендикуляром от точки \(A\) к прямой \(BC\).
Если допустить, что через точку \(A\) можно провести ещё один перпендикуляр к прямой \(BC\), то он бы находился на прямой, пересекающейся с AA 1 . Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.
Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.
У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.
Все медианы пересекаются в одной точке.
Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.
Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части );
2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.
У треугольника три угла и три биссектрисы.
Все биссектрисы пересекаются в одной точке.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника ( в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике );
2) из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней ( перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90 ° ) — это и будет высота.
Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются.
Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.
Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.
Обрати внимание!
Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самым коротким отрезком.
В произвольном треугольнике с помощью циркуля и линейки построить 3 биссектрисы
1. Выбираем один из углов треугольника и чертим из него окружность так, чтобы она пересекала две прилегающие к углу стороны Точки пересечения со сторонами назовём p1 p2
2. из точки p1 проводим окружность
3. из точки p2 проводим окружность точно такого же радиуса, как и в прошлом пункте. Точки пересечения этих окружностей назовём q1 q2
4. Через точки q1 q2 проводим прямую. Она же проходит по выбранной вершине треугольника
5. Убираем вспомогательные линии. Биссектриса построена.
— После этого берём вторую вершину и строим биссектрису к ней
— ну а третью биссектрису можно вовсе не строить — все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, 1). [<|ABC;
Похожие вопросы
Как построить биссектрису угла с помощью циркуля и линейки?
Циркулем ставишь точки, а из этих точек пересекающиеся окружности.
Глеб ВоробьёвУченик (110) 11 месяцев назад
Все очень просто!
1)Проводите произвольную окружность из вершины угла.
2)Из точек касания со сторонами угла проводите окружность (неполную, радиус-расстояние между точками касания.)
3)Дальше соединяете точку вершины угла с точкой пересечения окружностей.
4)Все готово.
Удачи в учёбе!
Похожие вопросы
Как построить биссектрису данного угла
В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.
Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.
Количество просмотров этой статьи: 127 978.
В этой статье:
Угол можно разделить пополам так же, как отрезок. Разделить пополам – это значит разделить что-то на две равные части. Существуют два способа разделить угол пополам. Можно воспользоваться транспортиром, если он есть и если нужно измерить величину угла. Или можно провести биссектрису с помощью линейки и циркуля.
Метод 1 из 2:
Построение биссектрисы с помощью транспортира
- Например, угол равен 160 градусов.
- Обратите внимание, что на полукруглой части транспортира есть две угломерные шкалы. Чтобы выяснить, какое число выбрать, подумайте об угле. Тупые углы больше 90 градусов, а острые углы меньше 90 градусов.
- Например, если угол равен 160 градусов, вычисления нужно записать так: 160 2 = 80 >=80> . Таким образом, биссектриса проходит под углом 80 градусов.
- Например, биссектриса данного угла, который равен 160 градусов, проходит через значение в 80 градусов, поэтому поставьте точку напротив цифры 80 на транспортире и между лучами угла.
Проведите прямую из вершины угла к поставленной точке. Для этого воспользуйтесь линейкой транспортира. Проведенная прямая – это биссектриса угла. [3] X Источник информации