Как найти косинусы углов треугольника если известны координаты его вершин

Определите косинус меньшего угла треугольника АВС,если известны координаты точек А(-5,7),В(3,-1),С(-1,-9)

Решение
1) АВ² = (3+5)² +( -1-7)² =64+64 = 128, тогда АВ= 8√2
2) ВС² =(3+1)² +(-1+9)² =16+64 =80, тогда ВС =4√5
3) АС² =(-1+5)² +(-9-7)² =16+256 =272, тогда АС = 4√17
4) меньший угол лежит против меньшей стороны, это угол САВ
5) По теореме косинусов из тр-ка АВС
cosA =(AC² +AB² -BC² )/ 2AC*AB = 5/ √34 =0,8575

Остальные ответы
В такой прекрасный день и координаты. Не надоело?

Уважаемая Анжелика! Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, находим длины сторон треугольника,
наименьшая сторона ВС. Следовательно меньший угол А. С помощью теоремы косинусов вычисляем косинус угла А. Хорошего дня!

Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

1048 Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), B(-1; 5), С(3; 1).

Решебник по геометрии за 9 класс к учебнику Геометрия. 7-9 класс Л.С.Атанасян и др.

Решебник по геометрии за 9 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №1048
к главе «Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. §3 Скалярное произведение векторов».

Найти косинусы углов треугольника

Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

kosinusy-uglov-treugolnika

1) Угол A образован векторами

(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).

$\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{\left } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}.$

$\overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A ),$

$\overrightarrow {AB} (6 - ( - 2);1 - 0),$

$\overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A ),$

$\overrightarrow {AC} ( - 3 - ( - 2); - 5 - 0),$

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 8 \cdot ( - 1) + 1 \cdot ( - 5) = - 13.$

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {8^2 + 1^2 } = \sqrt {65} ,$

$\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {( - 1)^2 + ( - 5)^2 } = \sqrt {26} .$

$\cos A = \frac{{ - 13}}{{\sqrt {65} \cdot \sqrt {26} }} = \frac{{ - 13}}{{\sqrt {5 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 13} }} =$

$= \frac{{ - 13}}{{13\sqrt {10} }} = - \frac{1}{{\sqrt {10} }} = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.$

2) Угол B образован векторами

$\cos B = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{\left } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}.$

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

$\overrightarrow {AB} (8;1), \Rightarrow \overrightarrow {BA} ( - 8; - 1),$

$\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {65} .$

$\overrightarrow {BC} (x_C - x_B ;y_C - y_B ),$

$\overrightarrow {BC} ( - 3 - 6; - 5 - 1),$

$\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = - 8 \cdot ( - 9) + ( - 1) \cdot ( - 6) = 78.$

$\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {( - 9)^2 + ( - 6)^2 } = \sqrt {117} .$

$\cos B = \frac{{78}}{{\sqrt {65} \cdot \sqrt {117} }} = \frac{{13 \cdot 6}}{{\sqrt {5 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 13} }} =$

$= \frac{{13 \cdot 6}}{{13 \cdot 3\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$

3) Угол C образован векторами

Теорема косинусов и синусов

9 класс — насыщенное новыми знаниями время. Чтобы не запутаться в теории по геометрии, рекомендуем сделать карточки с информацией по каждой теме. В этой статье вы найдете самое важное про теорему косинусов.

30 августа 2022

· Обновлено 7 декабря 2023

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Формула Теоремы Пифагора:

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

Формула теоремы косинусов

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

доказательстве теоремы косинусов

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

Следствие из теоремы косинусов

Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
Когда b 2 + c 2 — a 2 < 0, угол α будет тупым.

Запоминаем
Когда угол α прямой, то теорема косинусов превращаеся в теорему Пифагора.

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

доказательство теоремы косинусов.

AD = b × cos α,
DB = c – b × cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов рис.1

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов рис.2

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов рис.3

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов рис. 4

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов рис.5

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Определение угла с помощью косинуса