Чем отличается локальный минимум от глобального

Чем локальный экстремум отличается от условного?

Экстремум — точки минимума или максимума =) для недоучек. Но я спрашиваю тех, кто действительно знает.

Лучший ответ

Локальный экстремум это точка, в которой достигается наибольшее (или наименьшее) значение функции в НЕКОТОРОЙ (сколь угодно малой) ОКРЕСТНОСТИ данной точки.

Условный экстремум —точка, в которой достигается наибольшее (или наименьшее) значение функции, при некотором УСЛОВИИ на переменную.
Как правило условие задаётся уравнениями (или неравенствами) связи.

Условный экстремум, так же, как и обычный, может быть ЛОКАЛЬНЫМ и ГЛОБАЛЬНЫМ!

Локальный условный экстремум это точка, в которой достигается наибольшее (или наименьшее) значение функции в НЕКОТОРОЙ (сколь угодно малой) ОКРЕСТНОСТИ данной точки, НА МНОЖЕСТВЕ, удовлетворяющем условию связи.

Глобальный условный экстремум это точка, в которой достигается наибольшее (или наименьшее) значение функции НА ВСЁМ МНОЖЕСТВЕ, удовлетворяющем условию связи.

Остальные ответы
экстремум что это?

ЛОкальный экстремум ищется в задаче где оптимизация проводится по всему пространству (задача безусловной оптимизации) . Условный экстремум ищется в задаче, где определяется область оптимизации каким нибудь множеством (в виде системы неравенств или равенств, это называется задачей условной оптимизации) . Отсюда и названия. Вроде все.

Локальные и глобальные экстремумы

В задачах математического программирования обычно разыскивается экстремум (максимум или минимум) целевой функции при некоторых ограничениях на значения ее переменных, которые записываются в виде системы уравнений и неравенств.

Точка называется локальным минимумом , если существует число такое, что для любой точки x из сколь угодно малой окрестности точки :

Аналогично определяется локальный максимум функции в точке.

В чем отличие локального минимума от глобального? Глобальный минимум – это точка x*, в которой целевая функция принимает значение не большее, чем в любой допустимой точке. Локальный минимум – это точка x*, в которой целевая функция принимает значение не большее, чем в любой достаточно «близкой» к x* допустимой точке.

Всегда можно легко перейти от задачи на максимум к задаче на минимум , и наоборот.

При этом решения этих двух задач достигаются в одной и той же точке, а значения целевых функций противоположны (см. рис.)

Рис.1. Переход от задачи на максимум к задаче на минимум

В некоторых случаях существование решения ЗМП гарантирует следующая теорема:

Теорема Вейерштрасса (TW). Если допустимое множество X замкнуто, ограничено и непусто, а целевая функция F(x) непрерывна на Х, то она достигает и наибольшего и наименьшего значения на этом множестве.

Обратите внимание на то, что невыполнение условий TW оставляет вопрос о существовании решения ЗМП открытым.

ПРИМЕР 1. Проиллюстрируем применение TW к следующим задачам:

? а) Допустимое множество задачи открыто и неограничено, что делает невозможным применение TW. Тем не менее целевая функция рассматриваемой ЗМП имеет глобальный минимум в точке .

b) Функция непрерывна на ограниченном, замкнутом множестве. Это означает, что в силу TW на рассматриваемом промежутке целевая функция задачи достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

c) Допустимое множество задачи замкнуто и ограничено, однако целевая функция терпит разрыв на данном промежутке в точке , и TW в данном случае неприменима. Целевая функция данной ЗМП не имеет глобального минимума и максимума.?

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

06.1. Точки локального и глобального экстремума

С помощью производной функции можно произвести полное исследование функции (найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы, точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости, асимптоты графика) и построить график этой функции.

Теорема 1 Для того чтобы дифференцируемая на функция не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы () для всех . Если же для любого (), то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Геометрический смысл теоремы. Касательная к графику возрастающей на функции () составляет острый угол с осью , касательная к графику убывающей на функции, () образует тупой угол с осью . Если функция на является постоянной , , то и касательная к графику функции параллельна оси .

Точка называется Точкой локального максимума (минимума) функции если существует -окрестность точки , такая, что для всех выполняется неравенство (рисунок 6.1)

Значение называется Локальным максимумом (минимумом) функции.

Обозначается:

Рисунок 6.1 – Локальный максимум

Точки максимума или минимума функции называются Точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции называются Экстремумами функции.

Экстремумы функции носят локальный характер – это наибольшее или наименьшее значения функции по сравнению с близлежащими ее значениями.

Если функция на имеет несколько максимумов и минимумов, то возможен случай, когда максимум функции меньше ее минимума.

Наименьшее и наибольшее значения функции на называются Абсолютными минимумом и Максимумом или Глобальными экстремумами функции

Обозначаются: , .

Главная
Заказать работу
Стоимость решения
Варианты оплаты
Ответы на вопросы (FAQ)
Отзывы о нас
Примеры решения задач
Методички по математике
Помощь по всем предметам
Заработок для студентов

Документация

В общем случае решатели возвращают локальный минимум (или оптимум). Результатом может быть глобальный минимум (или оптимум), но этот результат не гарантируется.

Минимум local функции является точкой, где значение функции меньше, чем в соседних точках, но возможно больше, чем в удаленной точке.
Минимум global является точкой, где значение функции меньше, чем во всех других допустимых точках.

Решатели Optimization Toolbox™ обычно находят локальный минимум. (Этот локальный минимум может быть глобальным минимумом.) Они находят минимум в basin of attraction начальной точки. Для получения дополнительной информации об областях притяжения, смотрите Области притяжения.

Следующее является исключениями к этому общему правилу.

Задачи линейного программирования и положительные определенные проблемы квадратичного программирования выпуклы с выпуклыми выполнимыми областями, таким образом, у них есть только одна область притяжения. В зависимости от заданных опций, linprog игнорирует любую предоставленную пользователями начальную точку, и quadprog не требует один, даже при том, что можно иногда ускорять минимизацию путем предоставления начальной точки.
Функции Global Optimization Toolbox , такой как simulannealbnd , попытайтесь искать больше чем одну область притяжения.

Поиск меньшего минимума

Если вам нужен глобальный минимум, необходимо найти начальное значение для решателя в области притяжения глобального минимума.

Можно установить начальные значения, чтобы искать глобальный минимум этими способами:

Используйте регулярную сетку начальных точек.
Используйте случайные точки, полученные из равномерного распределения, если все координаты задачи ограничены. Используйте точки, полученные из нормальных, экспоненциальных, или других случайных распределений, если некоторые компоненты неограниченны. Чем меньше вы знаете о местоположении глобального минимума, тем более распространено ваше случайное распределение должно быть. Например, нормальные распределения редко производят больше чем три стандартных отклонения далеко от их средних значений, но распределения Коши (плотность 1 / (π (1 + x 2 ))) делает значительно разрозненные выборки.
Используйте идентичные начальные точки с добавленными случайными возмущениями на каждой координате — ограниченный, нормальный, экспоненциальный, или другой.
Если у вас есть лицензия Global Optimization Toolbox , используйте GlobalSearch (Global Optimization Toolbox) или MultiStart (Global Optimization Toolbox) решатели. Эти решатели автоматически генерируют случайные стартовые точки внутри границ.

Чем больше вы знаете о возможных начальных точках, тем более сфокусирован и успешен ваш поиск будет.

Области притяжения

Если целевая функция , которой f (x) является гладким, вектор – ∇f (x) , указывает в направлении, где f (x) уменьшается наиболее быстро. Уравнение наискорейшего спуска, а именно,

d d t x ( t ) = − ∇ f ( x ( t ) ) ,

дает путь x (t) , который приводит к локальному минимуму, когда t увеличивается. Обычно x начальных значений (0) , которые находятся друг около друга, дает наикратчайшие пути, которые стремятся к той же минимальной точке. basin of attraction для наискорейшего спуска является набором начальных значений, которые приводят к тому же локальному минимуму.

Этот рисунок показывает два одномерных минимума. Рисунок показывает различные области притяжения с различными стилями линии и указывает на направления наискорейшего спуска стрелками. Для этого и последующих фигур, черные точки представляют локальные минимумы. Каждый наикратчайший путь, x начинающийся в точке (0) , идет к черной точке в области, содержащей x (0) .

Одномерные области

Следующий рисунок показывают, как пути наискорейшего спуска могут быть более сложными для больших размерностей.

Одна область притяжения, показывая наикратчайшие пути от различных начальных точек

Этот рисунок показывает еще более сложные пути и области притяжения.

Несколько областей притяжения

Ограничения могут разбить одну область притяжения в несколько частей. Например, рассмотрите минимизацию y, удовлетворяющий:

Этот рисунок показывает две области притяжения с конечными точками.

myabs = @(x) abs(x); mycurve = @(x) 5 - 4.*(x-2).^2; myline = @(x) max(myabs(x),mycurve(x)); mybrdr = @(x) 1 + heaviside(x-2); myarea = @(x,y) heaviside(y - myline(x)).*mybrdr(x); % myarea = 0 where infeasible, 1 when x < 2, 2 when x >2 marinv = @(x,y) 1./myarea(x,y); % removes the infeasible region plot(0,0,'k.','MarkerSize',25,'LineWidth',2); hold on grid on plot(11/4,11/4,'k.','MarkerSize',25,'LineWidth',2); fplot(mycurve,'k',[.9 3],'LineWidth',2) fplot(myline,[-2 5],'k','LineWidth',2) fsurf(marinv,[-2 5 -1,6],'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.5) colormap jet

Войти plottools в командной строке, чтобы добавить стрелы с помощью инструмента для рисования стрелы.

Наикратчайшие пути являются прямыми линиями вниз к границам ограничений. От границ ограничений наикратчайшие пути перемещаются вниз вдоль контуров. Конечная точка или (0,0) или (11/4,11/4), в зависимости от того, является ли начальный x — значение выше или ниже 2.

Документация Optimization Toolbox

Поддержка

MATLAB Answers
Помощь в установке
Отчеты об ошибках
Требования к продукту
Загрузка программного обеспечения

Условия использования
Патенты
Торговые марки
Список благодарностей

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте
Войти
Памятка переводчика

1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.

2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.

3. Сохраняйте структуру оригинального текста — например, не разбивайте одно предложение на два.

4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.

5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.