Частица влетает в однородное электрическое поле как она будет двигаться

Частица влетает в однородное электрическое поле как она будет двигаться

Если частица находится в произвольном электромагнитном поле, то на неё со стороны поля действует сила Лоренца:

F → = q E → + q [ v → , B → ] ,

где q – заряд частицы, E → и B → – напряжённость электрического и индукция магнитного поля, а v → – скорость движения частицы в данной системе отсчёта. Рассмотрим задачу о движении частицы в стационарном поле, силовые характеристики которого от времени не зависят. Если при этом вектор индукции магнитного поля B → направлен по одной из координатных осей (например, по оси Oz), то магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна этой оси. Если при этом вектор E → и начальная скорость частицы перпендикулярны вектору B → , то тогда движение частицы является плоским и происходит в плоскости хОу, перпендикулярной вектору индукции B → .

Пусть вектор напряжённости электрического поля E → направлен вдоль оси Оу, тогда проекции силы на координатные оси равны

F x = q v y B F y = q

После задания проекций силы как функций проекций скорости решается система уравнений Ньютона методом Эйлера для каждой проекции. Компоненты вектора ускорения а_х и а_у вычисляются по известным проекциям силы, причём на каждом шаге в эти формулы подставляются новые значения проекций скорости движущейся частицы.

При нулевой начальной скорости частицы её движение будет происходить по циклоиде, при отличной от нуля начальной скорости – по трохоиде. Кадр из данного компьютерного эксперимента приведён на рисунке. Программа данного компьютерного эксперимента на языке Delphi дана в приложении.

Если частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям, то выражения для проекций силы примут вид:

F x = q v y B F y = − q v x B ,

а величина силы Лоренца равна F = q v B , причём сила перпендикулярна направлению скорости частицы. Эта сила сообщает частице нормальное ускорение, тогда 2-й закон Ньютона примет вид:

Отсюда следует, что частица в магнитном поле будет двигаться по окружности, причём радиус окружности равен R = m v q B , а время одного оборота равно

T = 2 π R v = 2 π m q B .

Таким образом, период обращения частицы по окружности не зависит от её скорости, а зависит лишь от удельного заряда частицы.

На этом основан принцип действия циклотрона – устройства для ускорения заряженных частиц. Циклотрон представляет собой вакуумную цилиндрическую камеру, помещённую в магнитное поле, силовые линии которого параллельны оси цилиндра. Каждая частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Магнитное поле не ускоряет частицу, а лишь искривляет траекторию её движения вследствие того, что сила Лоренца, будучи перпендикулярна скорости, не совершает работы и не изменяет кинетической энергии частицы. Частицы движутся каждая по своей окружности, причём их радиусы различны из-за отличия их скоростей. Однако период их обращения одинаков. Спустя время Т частицы пролетают через ускоряющие электроды – дуанты, и в этот момент включается сильное электрическое поле, которое одновременно немного увеличивает скорость всех частиц. После однократного ускорения частицы движутся по окружности большего радиуса, однако с тем же периодом обращения, и через время Т они ускоряются ещё раз и т.д., пока радиус их траектории сравняется с радиусом камеры ускорителя, после чего специальное устройство выводит их на мишень.

Кадр из этого компьютерного эксперимента приведён на рисунке, а компьютерная программа на языке Visual Basic дана в приложении.

Движение заряда в магнитном поле

Задача 1. В однородное магнитное поле индукцией B влетает со скоростью частица массой m и зарядом q. Угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции B равен . Определите, как будет двигаться частица в магнитном поле.

Рассмотрим случай = 0. При этом сила Лоренца равна нулю и на заряд не действует. Следовательно, он будет двигаться прямолинейно с постоянной скоростью , т.е. по инерции. Легко видеть, что вариант произвольного угла представляет собой комбинацию двух частных случаев: ₁ = 90° и ₂ = 0.

Разложим вектор на две составляющие и . Интуитивно ясно, что частица будет совершать вращательное движение по поверхности цилиндра, равномерно перемещаясь со скоростью ₂ вдоль его образующей.

Радиус цилиндра R определяется из уравнения (сила Лоренца действует на тело только благодаря составляющей скорости ₁):

Период обращения частицы . Он не зависит ни от модуля скорости , ни от её направления, определяемого углом .

Траектория заряда – винтовая линия, «навитая» на цилиндр. Её шаг – расстояние, проходимое вдоль образующей за один оборот:

Приведённое решение не вполне строгое, но вполне приемлемое, ибо большего сделать сейчас нельзя. А строгое решение основывается на интегрировании дифференциального уравнения Его проведёт абитуриент, когда станет студентом.

Задача 2 (МФТИ, 1978; физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1981).

Электрон влетает в однородное магнитное поле индукцией B. В точке A он имеет скорость , которая составляет с направлением поля угол . При каких значениях индукции магнитного поля электрон окажется в точке D? Расстояние АD = L.

Решение. Очевидно, что на расстоянии L должно уложиться целое число шагов винтовой линии, т.е.

Отсюда получаем неоднозначный ответ:

Решение краткое, однако на экзамене придётся вывести формулу шага винта (см. задачу 1).

Задача 3. Однородные магнитное и электрическое поля перпендикулярны друг другу. Напряжённость электрического поля E, индукция магнитного поля B. С какой скоростью и в каком направлении должен лететь протон, чтобы двигаться прямолинейно?

Решение. Интуитивно подобранная векторная конфигурация полей и сил изображена на рисунке.

Скорость протона перпендикулярна обоим векторам – E и B. Очевидно, что движение частицы может быть прямолинейным в том и только в том случае, когда сила Лоренца F_Л и кулоновская сила F_К компенсируются: F_Л + F_К = 0. Отсюда следует равенство модулей: F_Л = F_К, значит, qB = qE и При этом прямолинейное движение протона будет ещё и равномерным. Легко видеть, что при любой другой скорости (как по модулю, так и по направлению) движение частицы будет криволинейным и неравномерным.

Задача 5 (физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990). Электрон движется в однородных и постоянных электрическом и магнитном полях, направленных по оси Z. В начальный момент электрон пересекает начало координат, двигаясь в направлении оси X. В каких точках электрон вновь пересечёт ось Z? Напряжённость электрического поля E, индукция магнитного поля B, заряд электрона e, масса электрона m.

Решение. На рисунке изображены направления полей и сил, действующих на электрон. Он будет двигаться как бы по винтовой линии со всё увеличивающимся шагом (конечно, строго это не винтовая линия).

Ведь по оси Z на электрон действует кулоновская сила. Координата точки пересечения частицы с осью Z после n витков , где – проекция ускорения электрона на ось Z, – его период обращения в плоскости XOY. Отсюда:

Задача 5. Протон движется в однородном магнитном поле по винтовой линии радиусом R и шагом h. Индукция магнитного поля B. Найдите скорость частицы.

Решение. Из результата задачи 2 вытекает система уравнений:

где m и q – масса и заряд протона соответственно.

Запишем равносильную систему:

Возведём обе части уравнений в квадрат и скложим, учитывая, что:

Легко определим и угол (скорость ведь вектор!):

Задача 6 (мехмат МГУ им. М.В.Ломоносова, 1983). Электрон движется в однородном магнитном поле индукцией B. В начальный момент времени он находился в точке O, и его скорость была перпендикулярна вектору магнитной индукции. Найдите расстояние l от электрона до точки O в момент времени t. Массу электрона m и его заряд q считать известными.

Из рисунка геометрически ясно, что где – угол поворота радиус-вектора электрона, – его угловая скорость. Поскольку и

Задача 7. -частица влетает по нормали в область поперечного однородного магнитного поля индукцией B = 0,1 Тл. Область магнитного поля заключена между параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно h = 0,1 м. Найдите скорость частицы, если после прохождения магнитного поля она отклонится на угол = 30° от первоначального направления. Для -частицы отношение заряда к массе (удельный заряд)

Решение. Здесь мы имеем дело с локализованным в пространстве магнитным полем. Поэтому траекторией -частицы будет не вся окружность, а её дуга. Из уравнения находим где R – радиус дуги. Поскольку

Числовой расчёт даёт: = 106 м/с.

Продолжение в № 10

Физика. 10 класс

§ 30. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле

Поскольку электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц, то это означает, что магнитное поле, действуя на проводник с током, действует тем самым на каждую из этих частиц. Таким образом, силу Ампера можно рассматривать как результат сложения сил, действующих на отдельные движущиеся заряженные частицы. Как можно определить силу, действующую со стороны магнитного поля на заряженную частицу, движущуюся в этом поле?

Сила Лоренца. Силу, которой магнитное поле действует на заряженную частицу, движущуюся в этом поле, называют силой Лоренца в честь выдающегося нидерландского физика Хендрика Антона Лоренца ( 1853–1928 ).

Модуль силы Лоренца можно определить по формуле , где N — общее число свободных заряженных одинаковых частиц на прямолинейном участке проводника длиной Δl ( рис. 167 ). Если модуль заряда одной частицы q, а модуль суммарного заряда всех частиц Nq, то согласно определению силы тока , где Δt — промежуток времени, за который заряженная частица проходит участок проводника длиной Δl. Тогда

Поскольку – модуль средней скорости упорядоченного движения заряженной частицы в стационарном * электрическом поле внутри проводника, то формулу для определения модуля силы Лоренца можно записать в виде:

где α — угол между направлениями индукции магнитного поля и скорости упорядоченного движения заряженной частицы.

Из формулы (30.1) следует, что сила Лоренца максимальна в случае, когда заряженная частица движется перпендикулярно направлению индукции магнитного поля (α = 90°). Когда частица движется вдоль линии индукции поля (α = 0° или α = 180°), сила Лоренца на неё не действует. Сила Лоренца зависит от выбора инерциальной системы отсчёта, так как в разных системах отсчёта скорость движения заряженной частицы может отличаться.

Направление силы Лоренца, действующей на заряженную частицу, как и направление силы Ампера, определяют по правилу левой руки (рис. 168): если левую руку расположить так, чтобы составляющая индукции магнитного поля, перпендикулярная скорости движения частицы, входила в ладонь, а четыре пальца были направлены по движению положительно заряженной частицы (против движения отрицательно заряженной частицы), то отогнутый на 90° в плоскости ладони большой палец укажет направление действующей на частицу силы Лоренца.

Сила Лоренца перпендикулярна как направлению скорости движения частицы, так и направлению индукции магнитного поля.

От теории к практике

На рисунке 169 представлены направления индукции магнитного поля, скорости движения частицы в данный момент времени и силы Лоренца , действующей на частицу со стороны магнитного поля. Определите знак заряда частицы.

* Электрическое поле, создаваемое и поддерживаемое источником тока в течение длительного промежутка времени и обеспечивающее постоянный электрический ток в проводнике, называют стационарным электрическим полем. ↑

заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции.

По круговой траектории (орбите даже!) .
Сила Лоренца действует согласно правилу ЛЕВОЙ руки под углом 90 градусов к векторам скорости и индекции поля:
Fl=qvB
Эта сила является и центростремительной (по характеру воздействия) :
Fc=mv*v/R
qvB=mv*v/R R=mv/(qB) — две формулы дали циклотронный радиус орбиты движения.
Плоскость круговой траектории перпендикулярна линиям магнитной индукции.
———————-
Если Вы, как большинство нерадивых начинающих учеников, не оцените вопрос (особенно при голосовании, — я обижусь. Ведь я уважил Ваш вопрос.

Остальные ответы

Похожие вопросы