Как разбить сферу на равные треугольники

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Разбиение поверхности сферы на равные треугольники

На страницу 1 , 2 След.

Разбиение поверхности сферы на равные треугольники
12.05.2008, 10:27

Можно ли разбить поверхность сферы на равные треугольники?

Что-то мне подсказывает, что да. Поэтому интересен ответ на следующий вопрос (если первый имеет утвердительный ответ):

Как вычислять вершины этих треугольников?

12.05.2008, 10:55

Что может быть проще, берёте правильный многогранник с треугольными гранями(тетраэдр, октаэдр и икосаэдр), описываете вокруг него сферу, вершины исходного многогранника и дадут вершины треугольников.

12.05.2008, 11:58

А можно ли выразить параметрически координаты вершин этих треугольников?

Кстати, а есть ограничения для количества правильных треугольников на которое можно разбить сферу?

12.05.2008, 13:04

Заслуженный участник

Jaranero писал(а):
Кстати, а есть ограничения для количества правильных треугольников на которое можно разбить сферу?
Предыдущий ответ содержал полный список вариантов.
12.05.2008, 13:30
ИСН писал(а):
Jaranero писал(а):
Кстати, а есть ограничения для количества правильных треугольников на которое можно разбить сферу?
Предыдущий ответ содержал полный список вариантов.

Треугольники по условию задачи должны быть равными (друг другу), но не обязаны быть равносторонними. А я уже с равнобедренными не равносторонними треугольниками вижу как минимум счётное число вариантов разбиения.

12.05.2008, 14:02

Заслуженный участник

Ну, в первом посте автора упоминались равные треугольники (так-то и я вижу счётное число вариантов), во втором — правильные .

12.05.2008, 14:05

Ну да, в общем-то. Согласен с тем, что насчёт правильных треугольников комментарий ИСН тоже был правильным

12.05.2008, 14:08

Заслуженный участник

А на сколько подобных друг другу треугольников можно разбить сферу?
12.05.2008, 14:41

Заслуженный участник

На сфере нет подобных треугольников. Есть одинаковые.
12.05.2008, 15:23

О боже мой! Только не подобные треугольники!))) Мне хватит уже про равные и правильные)))

Шучу конечно! Мне все очень интересно! Особенно насчет правильных треугольников . В первом посте я видимо не учел всего многообразия математических понятий.

ИСН писал(а):
На сфере нет подобных треугольников. Есть одинаковые.

Кстати, а почему нет? Можно разбив сферу на правильные треугольники объединить некоторые из них так что получатся подобные треугольники

Но я не об этом хотел узнать. Просто хотелось бы вывести формулу по которой можно было бы «передвигаться» из любой вершины треугольника в соседние вершины, выбирая одно из шести направлений.
Т.е. имеется координата какой-либо вершины треугольника (которая является точкой поверхности сферы и плюс вершиной еще пяти соседних треугольников по вершине). Используя эти координаты и направление (вдоль одного из шести ребер) надо вычислить координаты следующей вершины.

Но как? Какая длина ребра у треугольника будет? От чего зависит число треугольников на которые можно разбить сферу?

Как разбить сферу на равные треугольники

все гениальное просто ! ) икосайдер и нет проблем ) спасибо

ну начинать, положим, надо с тетраэдра, только непонятно зачем все это? ��

Если имеем дело с реальной сферой а не с 3Д моделью, то тоже достаточно просто: чертим циркулем окружность №1 любого диаметра, далее окружность №2, что бы её центр лежал на первой окружности, получаем 2 точки пересечения окружностей, чертим еще окружности, что бы их центр находился в точках пересечения других окружностей. И так расчерчиваем, пока не закончатся точки пересечения по всей сфере. В результате получаем поверхность с точками, соединив которые прямыми, получаются треугольники, либо шестигранники(по желанию).
5 класс помоему;).

Как разбить сферу на правильные треугольники?

Как зная радиус сферы R, есть ли формула которая находит число треугольников? типа формулы нахождения кол-во водорода в алкенах (CnH2n). По кол-ву треугольников найти сторону треугольника, найти кол-во точек и общую число граней.
Нужны формулы которые находят кол-во треугольников, кол-во точек (красных) и общую длину граней (оранжевые) .

Лучший ответ

Это не одинаковые треугольники. Те, которые составляют шестиугольник — они правильные. А те которые составляют пятиугольник — равнобедренные. Эта фигура называется усеченный икосаэдр. Она состоит из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Вершин 60. Ребер 90. Все ребра одинаковые .

Сергей ИгоревичМудрец (14425) 9 лет назад

А мне нужно разбить сферу так что бы были одинаковые ребра только что бы их было больше, есть ли такая формула? Найти кол-во вершин и кол-во ребер. и от радиуса сферы найти общую длину ребер. . такие есть формулы?

Семен Аркадьевич Высший разум (340094) Посмотри в инете тему: «Полуправильные многогранники». Таких тел много. Ребер доходит до 180. Но грани не только треугольники как и в этом. Не понятна цель: хочу чтобы ребер было больше? Зачем нужно разбивать ?

Остальные ответы

разве что на икосаэдр. дальше уже правильные не поучатся, 5 треугольников сильно не ложатся
у вас — все тругольники неправильные

Сергей ИгоревичМудрец (14425) 9 лет назад

Ну тогда как на рисунке только большее кол-во треугольников и большие кол-во и как найти общее кол-во граней и их общую длину?

Сергей ИгоревичМудрец (14425) 9 лет назад
А если такая программа? которая по данным делает все расчеты?

Семен Аркадьевич Высший разум (340094) А там простейшие геометрические расчеты. Элементарно сделать в Екселе такую программку.

На треугольники не получится.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Полуправильный_многогранник
Семен АркадьевичВысший разум (340094) 9 лет назад

И на треугольники можно. Только не правильные. Есть такой термин : «Геодезический купол». Первый был построен на основе икосаэдра. Даже есть программы построения таких куполов.

Инженер-констриктор Высший разум (189546) Вот именно, что неправильные. Но думаю, что автора интересует, чтобы они были одинаковыми. Так что геодезический купол как раз сойдёт.

Научный форум dxdy

Разбиение сферы на многоугольники

На страницу 1 , 2 След.

Разбиение сферы на многоугольники
02.10.2012, 12:26

Имеется сфера, которую необходимо разбить на одинаковые* многоугольники таким образом, чтобы можно было, выбирая произвольную точку на сфере, попадать в своего рода центр одного из таких многоугольников (под «центром» тут можно понимать любую точку на многоугольнике, важно лишь, чтобы она каждый раз была одна и та же). Практический смысл в том, что это своего рода нормализация координат точки на поверхности Земли: хочется считать две точки одинаковыми, если они достаточно близко друг к другу (входят в один и тот же многоугольник).

* Многоугольники не обязаны быть одинаковыми, то есть вполне бы устроило решение, когда сфера разбивается на пента- и гексагоны как футбольный мяч. Важно лишь, чтобы размер многоугольников был регулируемым, т.е. в реальности функция выше должна ещё будет иметь параметр, отвечающий за размер многоугольника.

Вопрос в том, как должна выглядеть функция $$ f: (\lambda_<lon>, \varphi_) \rightarrow (\lambda’, \varphi’) $» />, где <img decoding=$ и $\varphi'$ — долгота и широта «центра» многоуольника, в который попадает « не нормализованная» точка.

Буду рад услышать какие-то идеи.

P.S. Вот красивая картинка в тему:

Re: Разбиение сферы на многоугольники
02.10.2012, 13:42
Paleface в сообщении #626021 писал(а):
Буду рад услышать какие-то идеи.
Чем не устраивает сетка широт/долгот через равные интервалы? Полюса — целым кругом без секторов.
Re: Разбиение сферы на многоугольники
02.10.2012, 18:22

Последний раз редактировалось Paleface 02.10.2012, 18:41, всего редактировалось 1 раз.

_Ivana в сообщении #626038 писал(а):
Чем не устраивает сетка широт/долгот через равные интервалы? Полюса — целым кругом без секторов.

Равные интервалы долготы не будут равными расстояниями на разных широтах, пожалуй этим и не устраивает. Хотя можно сделать неравномерную сетку в зависимости от широты, да.

Re: Разбиение сферы на многоугольники
04.10.2012, 22:01

Странно, что ответ до сих пор не дан ЗУ. Тогда попробую я написать своё видение этой задачи. Но оно будет физическим, потому что я не знаю, как это формализовать.

Дана сфера. Разместим на ней $N$ зарядов одного знака и дадим им свободно (без внешнего воздействия) двигаться с трением. Положения равновесия в установившейся системе будут отмечать $N$ точек, в некотором смысле равномерно распределённых по сфере. Обозначим это множество буквой $F$ . $F$ не однозначно.

$F$ обладает (по интуиции) таким свойством: если $x\in F$ после некоторого поворота сферы переходит в $x'\in F$ , то $F$ переходит в себя. Похожим свойством обладают красталлы относительно определённых трансляций.

По аналогии с кристаллами на сфере можно ввести ячейку Вигнера около точки $x\in F$ :
1. соединяем дугами эту точку со всеми соседями
2. проводим серединные перпендикуляры-дуги
3. Замкнутый участок сферы, огранниченный перпендикулярами и содержащий точку $x$ , и называется ячейкой Вигнера (для сферы)

Собственно, множество всех ячеек образует разбиение сферы на абсолютно одинаковые фигуры с точностью до поворота.

Только я не знаю, как это построение формализовать и все высказанные утверждения доказать.

Пример:
$N=2$ : две диаметрально противоположные точки бьют сферу на две полусферы, они в полюсах полусфер.
$N=6$ : три диаметрально противоположные пары, которые между собой перпендикулярны (как три перп. оси пересекают сферу с центром в нуле). Фигура разбиения похожа на искаженный квадрат.

Re: Разбиение сферы на многоугольники
05.10.2012, 05:26
Mysterious Light в сообщении #627032 писал(а):

$n=1,2,3,4,5,6,12$

Это так называемая проблема Томсона — Thomson problem. Нахождение её точных решений — довольно сложная задача, сейчас точные решения известны для .

Цитата:

В математике это называется область Вороного.

Цитата:

Только я не знаю, как это построение формализовать и все высказанные утверждения доказать.

В общем случае это наверное неверно, так как в идеальной конструкции для 5 точек ячейки получатся разные.

Как разбить сферу на равные треугольники

Научный форум dxdy

Разбиение поверхности сферы на равные треугольники

Как разбить сферу на равные треугольники

Как разбить сферу на правильные треугольники?

Научный форум dxdy

Разбиение сферы на многоугольники

Добавить комментарий Отменить ответ