Где x а где y

1. Координаты точки и вектора

Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.

Оси координат \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\) называются соответственно: \(Ox\) — ось абсцисс , \(Oy\) — ось ординат , \(Oz\) — ось аппликат .

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: \((Oxy)\), \((Oyz)\) и \((Oxz)\).

Положение точки \(A\) в пространстве определяется тремя координатами: \(x\), \(y\) и \(z\).

Координата \(x\) называется абсциссой точки \(A\), координата \(y\) — ординатой точки \(A\), координата \(z\) — аппликатой точки \(A\).

Записываются так: \(A(x; y; z)\).

Если точка находится на оси \(Ox\), то её координаты \(X(x; 0; 0)\).
Если точка находится на оси \(Oy\), то её координаты \(Y(0; y; 0)\).
Если точка находится на оси \(Oz\), то её координаты \(Z(0; 0; z)\).
Если точка находится в плоскости \(Oxy\), то её координаты A 1 x ; y ; 0 .
Если точка находится в плоскости \(Oyz\), то её координаты A 2 0 ; y ; z .
Если точка находится в плоскости \(Oxz\), то её координаты A 3 x ; 0 ; z .
Координаты вектора

Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы i → , j → и k → , то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде OA → = x ⋅ i → + y ⋅ j → + z ⋅ k → .

Коэффициенты \(x\), \(y\) и \(z\) определяются одним-единственным образом и называются координатами вектора.

Записываются так: OA → x ; y ; z .
Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:
— координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:
a → x 1 ; y 1 ; z 1 , b → x 2 ; y 2 ; z 2 , a → + b → x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ; z 1 + z 2 ;

— координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
a → − b → x 1 − x 2 ; y 1 − y 2 ; z 1 − z 2 ;

1. Координатная плоскость

Для обозначения числами точного положения точки на плоскости
проведём две перпендикулярные координатные прямые \(x\) и \(y\),
которые пересекаются в начале отсчёта — точке \(O\).

Так мы задали на плоскости прямоугольную систему координат,
а плоскость стала координатной плоскостью .
Начало координат — точка \(O\) (точка пересечения прямых \(x\) и \(y\)) ,
оси координат — координатные прямые \(x\) и \(y\) ,
координатные углы — прямые углы, образованные при пересечении осей координат .
Координатные углы нумеруют против часовой стрелки:

Отметим в прямоугольной системе координат точку \(M\).

Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную оси \(y\).
Прямая пересечёт ось \(x\) в некоторой точке, координата которой равна \(-2\).
Эту координату называют абсциссой точки \(M\).

Далее проведём через точку \(M\) прямую, параллельную оси \(x\). Прямая пересечёт ось \(y\) в некоторой точке, координата которой равна \(3\).

Эту координату называют ординатой точки \(M\).
Коротко пишем так: \(M(x; y)\).

Эту пару чисел называют координатами точки \(M\).
Абсциссу записываем на первое место, ординату — на второе место.

Имеем \(M(-2; 3)\).
Число \(-2\) называют абсциссой точки \(M\), а число \(3\) — ординатой точки \(M\).
Горизонтальную координатную прямую \(x\) называют осью абсцисс , или осью \(x\), а
вертикальную координатную прямую \(y\) — осью ординат , или осью \(y\).

Координатные углы ещё называют координатными четвертями. Рассмотрим координаты точки \(M(x; y)\) в разных четвертях и на осях:

в \(1\) четверти: \(x>0; y>0\);
во \(2\) четверти: \(x<0; y>0\);
в \(3\) четверти: \(x<0; y<0\); в \(4\) четверти: \(x>0; y<0\); на оси \(x\): координата \(y=0\), то есть \(M(x; 0)\); на оси \(y\): координата \(x=0\), то есть \(M(0; y)\).

Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината — и наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Как найти координаты точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса , а на втором — ордината точки.

Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):

• находить координаты точки;
• найти положение точки.

Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на оси координат.

Точка пересечения с осью « x » называется абсциссой точки « А », а с осью y называется ординатой точки « А ».

Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3) .

Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2) .

Запомните!

На первом месте записывают абсциссу (координату по оси « x »), а на втором — ординату (координату по оси « y ») точки.

Особые случаи расположения точек

1. Если точка лежит на оси « Oy », то её абсцисса равна 0 . Например,
   точка С (0, 2) .
2. Если точка лежит на оси « Ox », то её ордината равна 0 . Например,
   точка F (3, 0) .
3. Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0) .

Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.

Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.

Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0) .

Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y) .

Как найти положение точки по её координатам

Найти точку в системе координат можно двумя способами.

Первый способ

Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2) , надо:

1. Отметить на оси « Ox », точку с координатой « −4 », и провести через неё прямую перпендикулярную оси « Ox ».
2. Отметить на оси « Oy », точку с координатой 2 , и провести через неё прямую перпендикулярную оси « Oy ».
3. Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка. У неё абсцисса равна « −4 », а ордината равна 2 .

Второй способ

Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:

1. Сместиться по оси « x » влево на 4 единицы, так как у нас
   перед 4 стоит « − ».
2. Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит « + ».

Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать готовую систему координат на нашем сайте.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

19 декабря 2023 в 12:09

Гарени Бача Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Гарени Бача
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

Активный туризм на Юге России

Прямоугольные координаты (плоские) — линейные величины: абсцисса Х и ордината Y , определяющие положение точек на плоскости (на карте) относительно двух взаимно перпендикулярных осей Х и Y (рис. 14). Абсцисса Х и ордината Y точки А—расстояния от начала координат до оснований перпендикуляров, опущенных из точки А на соответствующие оси, с указанием знака.

Рис. 14. Прямоугольные координаты

В топографии и геодезии, а также на топографических картах ориентирование производится по северу со счетом углов по ходу часовой стрелки, поэтому для сохранения знаков тригонометрических функций положение осей координат, принятое в математике, повернуто на 90°.

Прямоугольные координаты на топографических картах СССР применяются по координатным зонам. Координатные зоны — части земной поверхности, ограниченные меридианами с долготой, кратной 6°. Первая зона ограничена меридианами 0° и 6°, вторая—б» и 12°, третья—12° и 18° и т.д.

Счет зон идет от Гринвичского меридиана с запада на восток. Территория СССР располагается в 29 зонах: от 4-й до 32-й включительно. Протяженность каждой зоны с севера на юг порядка 20000 км. Ширина зоны на экваторе около 670 км, на широте 40°— 510 км, т широте 50°—430 км, на широте 60°—340 км.

Все топографические карты в пределах данной зоны имеют общую систему прямоугольных координат. Началом координат в каждой зоне служит точка пересечения среднего (осевого) меридиана зоны с экватором (рис. 15), средний меридиан зоны соответствует

Рис. 15. Система прямоугольных координат на топографических картах: а—одной зоны; б—части зоны

оси абсцисс, а экватор — оси ординат. При таком расположении координатных осей абсциссы точек, расположенных южнее экватора, и ординаты точек, расположенных западнее среднего меридиана, будут иметь отрицательные значения. Для удобства пользования координатами на топографических картах принят условный счет ординат, исключающий отрицательные значения ординат. Это достигнуто тем, что отсчет ординат идет не от нуля, а от величины 500 км, Т. е. начало координат в каждой зоне как бы перенесено на 500 км влево вдоль оси Y . Кроме того, для однозначного определения положение точки по прямоугольным координатам на земном шаре к значению координаты Y слева приписывается номер зоны (однозначное или двузначное число).

Зависимость между условными координатами и их действительными значениями выражается формулами:

X ‘ = Х-, У = У— 500 000,

где X ‘ и Y ‘— действительные значения ординат; X , Y — условные значения ординат. Например, если точка имеет координаты

Х = 5 650 450: Y = 3 620 840,

то это значит, что точка расположена в третьей зоне на удалении 120 км 840 м от среднего меридиана зоны (620840—500000) и к северу от экватора на удалении 5650 км 450 м.

Полные координаты — прямоугольные координаты, записанные (названные) полностью, без каких-либо сокращений. В примере, приведенном выше, даны полные координаты объекта:

Х = 5 650 450; Y = 3620 840.

Сокращенные координаты применяются для ускорения целеука-зания по топографической карте, в этом случае указываются только десятки и единицы километров и метры. Например, сокращенные координаты данного объекта будут:

Х = 50 450; Y = 20 840.

Сокращенные координаты нельзя применять при целеуказании на стыке координатных зон и если район действий охватывает пространство протяженностью более 100 км по широте или долготе.

Координатная (километровая) сетка —сетка квадратов на топографических картах, образованная горизонтальными и вертикальными линиями, проведенными параллельно осям прямоугольных координат через определенные интервалы (табл. 5). Эти линии называются километровыми. Координатная сетка предназначается для определения координат объектов и нанесения на карту объек тов по их координатам, для целеуказания, ориентирования карты, измерения дирекционных углов и для приближенного определения расстояний и площадей.

Таблица 5 Координатные сетки на картах

На карте масштаба 1:500 000 координатная сетка полностью не показывается; наносятся только выходы километровых линий по сторонам рамки (через 2 см). При необходимости по этим выходам координатная сетка может быть прочерчена на карте.

Километровые линии на картах подписываются у их зарамочных выходов и у нескольких пересечений внутри листа (рис. 16). Крайние на листе карты километровые линии подписываются полностью, остальные—сокращенно, двумя цифрами (т. е. указываются только десятки и единицы километров). Подписи у горизонтальных линий соответствуют расстояниям от оси ординат (экватора) в километрах. Например, подпись 6082 в правом верхнем углу показывает, что данная линия отстоит от экватора на удалении 6082 км.

Подписи вертикальных линий обозначают номер зоны (одна или две первых цифры) и расстояние в километрах (всегда три цифры) от начала координат, условно перенесенного к западу от среднего меридиана на 500 км. Например, подпись 4308 в левом нижнем углу означает: 4 — номер зоны, 308 — расстояние от условного начала координат в километрах.

Дополнительная координатная (километровая) сетка может быть нанесена на топографических картах масштаба 1:25 000, 1:50000, 1:100000 и 1:200000 по выходам километровых линий в смежной западной или восточной зоне. Выходы километровых линий в виде черточек с соответствующими подписями даются на картах, расположенных на протяжении 2° к востоку и западу от граничных меридианов зоны.

рис. 16. Координатная (километровая) сетка на листе карты

Дополнительная координатная сетка предназначается для преобразования координат одной зоны в систему координат другой, соседней, зоны.

На рис. 17 черточки на внешней стороне западной рамки с подписями 81,6082 и на северной стороне рамки с подписями 3693, 94, 95 и т.д. обозначают выходы километровых линий в системе координат смежной (третьей) зоны. При необходимости дополнительная координатная сетка прочерчивается на листе карты путем соединения одноименных черточек на противоположных сторонах рамки. Вновь построенная сетка является продолжением километровой сетки листа карты смежной зоны и должна полностью совпадать (смыкаться) с ней при склейке карты.

Координатная сетка западной (3-й) зоны

Рис. 17. Дополнительная координатная сетка