Конев В.В. Дифференцирование функций
Дифференцирование неявно заданных функций 
Дифференцирование функций
Основные теоремы
Формула Тейлора
Пример. Пусть функция удовлетворяет уравнению
Продифференцируем обе части этого уравнения по переменной x:
Затем сгруппируем в одной части слагаемые, содержащие y‘, а в другой части – остальные слагаемые:
Дифференцирование функции, заданной неявно
- Примеры
≡ x^2/(1+y)
cos 2 (2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ 1+(x-y)^(2/3)
см. также Производная от параметрической функции Пример 1. Найти производную y’ , не решая уравнения: x 3 – x 2 y – x 2 y 4 + 5 = 0 относительно y .
Решение. Так как в правой части уравнения стоит нуль, а производная постоянной равна нулю, то .
Применяя почленное дифференцирование, найдем 3x 2 – 2xy – x 2 y’ – 2xy 4 – 4x 2 y 3 y’ = 0, откуда . Пример 2. Найти y’ функции, заданной неявно уравнением y*lnx – x 2 e y + 1 = 0 (x>0).
Решение. (производную от e y берем как производную сложной функции). Разрешая уравнение относительно y’ (что не всегда возможно), найдем . Пример 3. Найти производную y’x функции y(x), заданной неявно: x 4 + x 2 y + y 3 + 5 = 0.
Решение.
Продифференцируем уравнение по х, рассматривая у как функцию от х, и решим полученное уравнение относительно y’x.
.
- Задать вопрос или оставить комментарий
- Помощь в решении
- Поиск
- Поддержать проект
Дифференциал неявной функции
Если независимая переменная и функция связаны уравнением которое нельзя разрешить относительно то говорят, что функция задана неявно.
По определению дифференциал функции равен
То есть вначале надо найти производную заданной неявно функции а затем подставить ее в последнее соотношение.
Чтобы найти указанную производную, необходимо продифференцировать обе части уравнения и из полученного равенства выразить производную
Отметим, что при дифференцировании надо не забывать, что не является независимой переменной, а есть функция от поэтому производную от нее надо находить как от сложной функции.
Примеры вычисления дифференциалов неявных функций
| Задание | Найти дифференциал функции заданной неявно уравнением |
| Решение | Дифференцируем левую и правую части заданного равенства: |
![\[ (y^2 + x \ln y)' = (0)' \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-08074c5d6ffc41ccd69541dbdede45e6_l3.png)
Согласно свойствам производной, производная суммы равна сумме производных. Тогда имеем:
![\[ (y^2)' + (x \ln y)' = 0 \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4cfa8ce8cb7075f9a0be791fdc43a1b_l3.png)
![\[ 2y \cdot y' + (x)' \cdot \ln y + x \cdot (\ln y)' = 0 \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e6ec586ebff6ad6ee65963db0c46fbd6_l3.png)
![\[ 2y \cdot y' + 1 \cdot \ln y + x \cdot \ln y \cdot y' = 0 \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d5819d875bb3a91e351ea60ee4d5b6ac_l3.png)
![\[ 2y \cdot y' + \ln y + x \cdot \ln y \cdot y' = 0 \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a417b7bd41b8ee6ae131135405e85bba_l3.png)
Из последнего равенства находим производную :
![\[ (2y + x \ln y) \cdot y' = -\ln y \text{ } \Rightarrow \text{ } y' = -\frac{\ln y}{2y + x \ln y} \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b181369016fd27b82522e3ed0577b9da_l3.png)
Итак, искомый дифференциал
![\[ dy = y'dx = -\frac{\ln y}{2y + x \ln y}dx \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ac19e36aebba79c31b5f2a41ae511ad_l3.png)
| Задание | Найти дифференциал функции заданной неявно: |
| Решение | Вначале по свойствам логарифмов упростим выражение. Известно, что логарифм произведения равен сумме логарифмов от каждого из сомножителей, то есть имеем: |
![\[ \ln x + \ln y + x^2 = 1 \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-60131a241557fa8a49ea1367ed13290b_l3.png)
Дифференцируем левую и правую части последнего равенства:
![\[ \left( \ln x + \ln y + x^2 \right)' = (1)' \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b0852e8d31a5a6346c1a451a749b9c5_l3.png)
Производная суммы равна сумме производных, а также производная константы равна нулю. Тогда получаем:
![\[ (\ln x)' + (\ln y)' + (x^2)' = 0 \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-913ed6e71721865522bcdddf135a3f1d_l3.png)
Находим записанные производные и производную от находим как производную сложной функции:
![\[ \frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 2x = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{y'}{y} = - \left( 2x + \frac{1}{x} \right) \text{ } \Rightarrow \text{ } y' = -y \cdot \frac{2x^2 + 1}{x} = - \frac{y(2x^2 + 1)}{x} \]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3368e565df59a91cc8a97148fa72d00_l3.png)
А тогда искомый дифференциал
Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Сложные функции одной и нескольких независимых переменных.
Если $u=f(x_1, x_2, . x_n)-$ дифференцируемая функция переменных $x_1, x_2, . x_n,$ которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной $t:$ $$x_1=\varphi_1(t),\quad x_2=\varphi_2(t),\quad, x_n=\varphi_n(t),$$ то производная сложной функции $u=f(\varphi_1(t)),\,\varphi_2(t),\, \varphi_n(t))$ вычисляется по формуле $$\frac=\frac<\partial u><\partial x_1>.\frac+\frac<\partial u><\partial x_2>.\frac+. +\frac<\partial u><\partial x_n>.\frac.$$ В частности , если $t$ совпадает , например , с переменной $x_1,$ то » полная » производная функции $u$ по $x_1$ равна $$\frac=\frac<\partial u><\partial x_1>+\frac<\partial u><\partial x_2>\cdot\frac+. +\frac<\partial u><\partial x_n>\cdot\frac.$$ Пусть $u=f(x_1, x_2, . x_n),$ где $$x_1=\varphi_1(t_1, t_2, . t_m),\quad x_2=\varphi_2(t_1, t_2, . t_m),\quad, x_n=\varphi_n(t_1, t_2, . t_m),$$ $(t_1, t_2. t_m) -$ независимые переменные. Частные производные функции $u$ по $t_1, t_2, . t_m$ выражаются следующим образом: $$\frac<\partial u><\partial t_1>=\frac<\partial u><\partial x_1>\cdot\frac<\partial x_1><\partial t_1>+\frac<\partial u><\partial x_2>\cdot\frac<\partial x_2><\partial t_1>+. +\frac<\partial u><\partial x_n>\cdot\frac<\partial x_n><\partial t_1>,$$ $$\frac<\partial u><\partial t_2>=\frac<\partial u><\partial x_1>\cdot\frac<\partial x_1><\partial t_2>+\frac<\partial u><\partial x_2>\cdot\frac<\partial x_2><\partial t_2>+. +\frac<\partial u><\partial x_n>\cdot\frac<\partial x_n><\partial t_2>,$$ $$\cdots$$ $$\frac<\partial u><\partial t_m>=\frac<\partial u><\partial x_1>\cdot\frac<\partial x_1><\partial t_m>+\frac<\partial u><\partial x_2>\cdot\frac<\partial x_2><\partial t_m>+. +\frac<\partial u><\partial x_n>\cdot\frac<\partial x_n><\partial t_m>.$$При этом выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет свой вид $$du=\frac<\partial u><\partial x_1>dx_1+\frac<\partial u><\partial x_2>dx_2+. +\frac<\partial u><\partial x_n>dx_n.$$ Выражения для дифференциалов высших порядков сложной функции , вообще говоря , отличаются от выражения вида $$d^mu=\left(\frac<\partial><\partial x_1>dx_1+\frac<\partial><\partial x_2>dx_2+. +\frac<\partial><\partial x_n>dx_n\right)^mu.$$ Например , дифференциал 2- го порядка выражается формулой
Неявные функции одной и нескольких независимых переменных.
Пусть уравнение $f(x, y)=0,$ где $f-$ дифференцируемая функция переменных $x$ и $y$ определяет $y$ как функцию $x.$ Первая производная этой неявной функции $y=y(x)$ в точке $x_0$ выражается по формуле $$\left.\frac\right|_=-\frac
Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием формулы (1).
Примеры:
7.114. Найти $\frac,$ если $z=e^,$ где $x=tg t, \,\, y=t^2-t.$
Решение.
Найдем частные производные:
7.115. Найти $\frac,$ если $z=x^y,$ где $x=ln t, \,\, y=\sin t.$
Решение.
Найдем частные производные:
7.118. Найти $\frac<\partial z><\partial x>$ и $\frac,$ если $z=\ln(e^x+e^y),$ где $ y=\fracx^3+x.$
Решение.
Решение.
Найдем частные производные:
7.125. Найти $dz,$ если $z=f(u, v),$ где $ u=\sin\frac,\, v=\sqrt.$
Решение.
Найдем частные производные:
7.138. Найти $d^2u,$ если $u=f(ax,by,cz).$
Решение.
Обозначим $$x_1=ax,$$ $$x_2=by,$$ $$x_3=cz.$$ Будем пользоваться формулой
7.140. Найти $\frac,$ если $x^2e^-y^2e^=0.$
Решение.
Найдем частные производные
7.143. Найти $\frac,$ $\frac,$ если $x-y+arctg y=0.$
Решение.
Производную$\frac$ ищем по формуле $$\frac=-\frac
Найдем частные производные
Производную второго порядка $\frac$ находим, дифференцируя выражение $\frac=\frac$ по переменной $x.$
Решение.
Найдем частные производные
Производные второго порядка находим, дифференцируя найденные производные первого порядка по соответствующим переменным.
Высшая математика. Практика.
- Матрицы, определители и системы линейных уравнений.
- Векторная алгебра
- Алгебраические линии первого порядка на плоскости и в пространстве.
- Алгебраические линии второго порядка на плоскости и в пространстве.
- Некоторые понятия математической логики теории множеств.
- Комплексные числа
- Предел функции.
- Дифференцируемость функции, ее дифференциал и производная.
- Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
- Графики функций и кривые
- Неопределенный интеграл.
- Определенный интеграл и его применение.
- Числовые ряды.
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- Экстремумы функций нескольких переменных.
- Двойные интегралы
- Дифференциальные уравнения
Таблицы
- Таблица производных
- Таблица производных сложных функций
- Таблица производных высших порядков
- Таблица интегралов
- Формулы Тейлора
- Греческий алфавит
- Таблица оригиналов и изображений.
- Сравнение функций O(f) и o(f).
- Тригонометрическая таблица