Как найти входное сопротивление цепи

Входное сопротивление длинной линии. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами.

Входным сопротивлением длинной линии (цепи с распределенными параметрами) называется такое сосредоточенное сопротивление, подключение которого вместо линии к зажимам источника не изменит режим работы последнего.

В общем случае для линии с произвольной нагрузкой для входного сопротивления можно записать

Полученное выражение показывает, что входное сопротивление является функцией параметров линии и , ее длины и нагрузки . При этом зависимость входного сопротивления от длины линии, т.е. функция , не является монотонной, а носит колебательный характер, обусловленный влиянием обратной (отраженной) волны. С ростом длины линии как прямая, так соответственно и отраженная волны затухают все сильнее. В результате влияние последней ослабевает и амплитуда колебаний функции уменьшается. При согласованной нагрузке, т.е. при , как было показано ранее, обратная волна отсутствует, что полностью соответствует выражению (1), которое при трансформируется в соотношение

Такой же величиной определяется входное сопротивление при .

При некоторых значениях длины линии ее входное сопротивление может оказаться чисто активным. Длину линии, при которой вещественно, называют резонансной. Как и в цепи с сосредоточенными параметрами, резонанс наиболее ярко наблюдается при отсутствии потерь. Для линии без потерь на основании (1) можно записать

Из (2) для режимов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ), т.е. случаев, когда потребляемая нагрузкой активная мощность равна нулю, соответственно получаем:

Исследование характера изменения в зависимости от длины линии на основании (3) показывает, что при по модулю изменяется в пределах и имеет емкостный характер, а при — в пределах и имеет индуктивный характер. Такое чередование продолжается и далее через отрезки длины линии, равные четверти длины волны (см. рис. 1,а).

В соответствии с (4) аналогичный характер, но со сдвигом на четверть волны, будет иметь зависимость при КЗ (см. рис. 1,б).

Точки, где , соответствуют резонансу напряжений, а точки, где , — резонансу токов.

Таким образом, изменяя длину линии без потерь, можно имитировать емкостное и индуктивное сопротивления любой величины. Поскольку длина волны есть функция частоты, то аналогичное изменение можно обеспечить не изменением длины линии, а частоты генератора. При некоторых частотах входное сопротивление цепи с распределенными параметрами также становится вещественным. Такие частоты называются резонансными. Таким образом, резонансными называются частоты, при которых в линии укладывается целое число четвертей волны.

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами имеют характер блуждающих волн, распространяющихся по цепи в различных направлениях. Эти волны могут претерпевать многократные отражения от стыков различных линий, от узловых точек включения нагрузки и т.д. В результате наложения этих волн картина процессов в цепи может оказаться достаточно сложной. При этом могут возникнуть сверхтоки и перенапряжения, опасные для оборудования.

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами возникают при различных изменениях режимов их работы: включении-отключении нагрузки, источников энергии, подключении новых участков линии и т.д. Причиной переходных процессов в длинных линиях могут служить грозовые разряды.

Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами

При рассмотрении схемы замещения цепи с распределенными параметрами были получены дифференциальные уравнения в частных производных

Их интегрирование с учетом потерь представляет собой достаточно сложную задачу. В этой связи будем считать цепь линией без потерь, т.е. положим и . Такое допущение возможно для линий с малыми потерями, а также при анализе начальных стадий переходных процессов, часто наиболее значимых в отношении перенапряжений и сверхтоков.

С учетом указанного от соотношений (5) и (6) переходим к уравнениям

Для получения уравнения (7) относительно одной переменной продифференцируем (7) по х, а (8) – по t:

Учитывая, что для линии без потерь , после подстановки соотношения (10) в (9) получим

Аналогично получается уравнение для тока

Волновым уравнениям (11) и (12) удовлетворяют решения

Как и ранее, прямые и обратные волны напряжения и тока связаны между собой законом Ома для волн

1. В любой момент времени напряжение и ток в любой точке линии рассматриваются как результат наложения прямой и обратной волн этих переменных на соответствующие величины предшествующего режима.
2. Всякое изменение режима работы цепи с распределенными параметрами обусловливает появление новых волн, накладываемых на существующий режим.
3. Для каждой волны в отдельности выполняется закон Ома для волн.

Переходные процессы при включении на постоянное напряжение
разомкнутой и замкнутой на конце линии

При замыкании рубильника (см. рис. 2) напряжение в начале линии сразу же достигает величины , и возникают прямые волны прямоугольной формы напряжения и тока , перемещающиеся вдоль линии со скоростью V (см. рис. 3,а).Во всех точках линии, до которых волна еще не дошла, напряжение и ток равны нулю.Точка, ограничивающая участок линии, до которого дошла волна, называется фронтом волны. В рассматриваемом случае во всех точках линии, пройденных фронтом волны, напряжение равно , а ток — .

Отметим, что в реальных условиях форма волны, зависящая от внутреннего сопротивления источника, параметров линии и т.п., всегда в большей или меньшей степени отличается от прямоугольной.

Кроме того, при подключении к линии источника с другим законом изменения напряжения форма волны будет иной. Например, при экспоненциальном характере изменения напряжения источника (рис. 4,а) волна будет иметь форму на рис. 4,б.

В рассматриваемом примере с прямоугольной волной напряжения при первом пробеге волны напряжения и тока (см. рис. 3,а) независимо от нагрузки имеют значения соответственно и , что связано с тем, что волны еще не дошли до конца линии, и, следовательно, условия в конце линии не могут влиять на процесс.

В момент времени волны напряжения и тока доходят до конца линии длиной l, и нарушение однородности обусловливает появление обратных (отраженных) волн. Поскольку в конце линия разомкнута, то

В результате (см. рис. 3,б) напряжение в линии, куда дошел фронт волны, удваивается, а ток спадает до нуля.

В момент времени , обратная волна напряжения, обусловливающая в линии напряжение , приходит к источнику, поддерживающему напряжение . В результате возникает волна напряжения и соответствующая волне тока (см. рис. 3,в).

В момент времени волны напряжения и тока подойдут к концу линии. В связи с ХХ и (см. рис. 3,г). Когда эти волны достигнут начала линии, напряжение и ток в ней окажутся равными нулю. Следовательно, с этого момента переходный процесс будет повторяться с периодичностью .

В случае короткозамкнутой на конце линии в интервале времени картина процесса соответствует рассмотренной выше. При , поскольку в конце линии и , что приведет к возрастанию тока в линии за фронтом волны до величины . При от источника к концу линии будет двигаться волна напряжения и соответствующая ей волна тока , обусловливающая ток в линии, равный , и т. д. Таким образом, при каждом пробеге волны ток в линии возрастает на .

Отметим, что в реальном случае, т.е. при наличии потерь мощности, напряжение в линии в режиме ХХ постепенно выйдет на уровень, определяемый напряжением источника, а ток в режиме КЗ ограничится активным сопротивлением и проводимостью линии, а также внутренним сопротивлением источника.

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
2. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

1. Какой характер имеет зависимость входного сопротивления линии от ее длины и почему?
2. С помощью чего можно изменять характер и величину входного сопротивления цепи с распределенными параметрами?
3. Какое допущение лежит в основе анализа переходных процессов в длинных линиях?
4. Каким законом связаны волны напряжения и тока в переходных режимах?
5. Линия без потерь имеет длину , фазовая скорость волны . При каких частотах в ней будут иметь место минимумы и максимумы входного сопротивления? Ответ: .
6. При каких длинах линии без потерь в ней будут наблюдаться резонансные явления, если фазовая скорость равна скорости света, а частота ? Ответ: .
7. Постройте эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии, питаемой от источника постоянного напряжения, при включении и отключении в ее конце резистивной нагрузки.

Измерение входного сопротивления

Из теории передачи электрических сигналов известно, что качество передачи сигналов во многом зависит от режима работы цепи. Если цепь работает в согласованном режиме, то есть сопротивление приемника Z _ПР равно волновому сопротивлению цепи Z _В (полное сопротивление цепи, которое препятствует распространению электромагнитной волны), то мощность сигналов ослабляется только за счет собственного затухания цепи, взаимные влияния между цепями минимальны и искажения сигналов также минимальны.

Если цепь работает в несогласованном режиме, то есть Z _ПР ¹ Z _В , то в цепи кроме электромагнитных волн, распространяющихся от генератора к приемнику, появляются отраженные (встречные) волны. Это создает дополнительные потери мощности в самой цепи. Основным параметром, определяющим согласованный режим работы цепи, является входное сопротивление.

Входным сопротивлением называется сопротивление, которое встречает электромагнитная волна в начале цепи.

Добиться идеального режима согласования работы цепей практически невозможно, так как цепи связи имеют свое сопротивление, а аппаратура систем передачи свое сопротивление.

Входное сопротивление цепи может быть измерено методом сравнения или нулевым методом.

Метод сравнения дает возможность определить модуль входного сопротивления.

Рисунок 38 – Схема измерения модуля входного сопротивления.

Собрав схему, приведенную на рисунке 38, настраивают измерительный генератор на какую-нибудь определенную частоту сигнала с выходным уровнем по напряжению таким, чтобы в процессе измерения стрелка индикатора больше отклонялась в пределах шкалы. Ключ S в положение 1 – измеряем уровень по напряжению на входе цепи. Ключ S в положение 2 – с помощью магазина сопротивлений R _М добиваемся такого же значения уровня, что был ранее. Результат измерения модуля входного сопротивления считывают по показаниям магазина сопротивлений, то есть (см. формулу 21):

Зная Z _ВХ , можем определить коэффициент отражения Р по формуле [22]:

Затухание несогласованности А_Н является во многих случаях значительно более удобным параметром несогласованности, чем коэффициент отражения, так как позволяет оценить несогласованность в децибелах. Затухание несогласованности А_Н определяется по формуле [23]:

Если затухание измеряемой цепи не превышает 13 дБ, то по данному методу измеряют модули входных сопротивлений цепи в режиме холостого хода ( | Z _ХХ | ) и в режиме короткого замыкания ( | Z _КЗ | ), а затем рассчитывают модуль входного сопротивления по формуле [24]:

Если затухание больше 13 дБ, измерения производятся по той же схеме, только в конце цепи включают нагрузку, сопротивление которой R _ПР равно номиналу входного сопротивления аппаратуры. Из этого следует, что в данном случае (см. формулу 25):

Нулевой метод дает возможность определить модуль | Z _ВХ | и угол j _ВХ входного сопротивления. Данный метод распадается на два: измерение входного сопротивления магазинным мостом и измерение входного сопротивления дифференциальным мостом. Выбор этих методов зависит от диапазона частот, для которых производятся измерения. Если диапазон НЧ, то пользуемся магазинным мостом, а для диапазона ВЧ пользуемся дифференциальным мостом.

Входное сопротивление

У любого электрического устройства, для работы которого требуется сиг­нал, имеется входное сопротивление. Точно так же, как и любое другое сопротивление, вход­ное сопротивление устройства есть мера тока, текущего по входной цепи, когда ко входу приложено определенное напряжение.

Например, входное сопротивление 12-вольтовой осветительной лампы, потребляющей 0,5 А, равно 12/0,5 = 24 Ом. На первый взгляд, наличие в схеме конденсаторов, резисто­ров и полупроводниковых p-n переходов делает определение входного сопротивления трудным. Однако любую входную цепь, какой бы сложной она ни была, можно представить в виде простого импеданса (рис9.5).

Рис. 9.5. Схема с парой входных клемм, иллюстрирующая понятие входного импеданса Z_in.

Если V_in — напряжение переменного входного сигнала, а I_in — пере­менный ток, текущий по входной цепи, то входной импеданс равен

У большинства схем входной импеданс имеет резистивный (омический) характер в широком диапазоне частот, в пределах которого сдвиг по фазе между входным напряжением и входным током пренебрежимо мал. В этом случае справедлив за­кон Ома и нет необходимости в алгебре комплексных чисел и в векторных диаграммах, применяемых к цепям с реактивными элементами. Важно от­метить, однако, что из омического характера входного импеданса не обяза­тельно следует возможность его измерения на постоянном токе; на пути входного сигнала могут находиться реактивные компоненты (например, разделительный конденсатор), которые несущественны в отношении пере­менного сигнала на средних частотах, но не позволяют проводить измере­ния во входной цепи на постоянном токе.

Измерение входного сопротивления

Cпособ измерения входного сопротивления по­казан на рис. 9.6.

Рис. 9.6. Измерение входного сопротивления

Резистор с известным сопротивлением R Ом включают между генератором и входом схемы. Затем с помощью осцил­лографа или вольтметра переменного напряжения с высокоомным входом измеряются напряжения V₁, и V₂ по обе стороны резистора R.

Если I_in — переменный входной ток (в амперах), то, согласно закону Ома, на резисторе R падает напряжение, равное

Если схема является усилителем, то V₁, и V₂, удобнее измерять на выходе усилителя: V₁ = V_вых1/k измеряется при непос­редственном подключении генератора ко входу, а V₂ = V_вых2/k — при последовательном включении со входом резистора R. Поскольку в выражении для Z_in присутствует отношение V₁/V₂, то

Пример: если включение последова­тельно со входом резистора с сопротивлением 10 кОм вызывает уменьшение на­пряжения на выходе усилителя наполовину, то V₁/V₂ = 2 и Z_in = 10 кОм.

Выходное сопротивление

Пример, дающий представление о выходном сопротивлении: свет фар автомобиля тускнеет при работе стартера. Большой ток, по­требляемый стартером, вызывает падение напряжения внутри аккумулято­ра, в результате чего напряжение на его клеммах уменьшается и свет фар становится менее ярким. Это падение напряжения происходит на выходном сопротивлении аккумулятора, возможно, более известном как внутреннее сопротивление или сопротивление источника. Этот пример можно распространить на все вы­ходные цепи, включая цепи постоянного и переменного тока, у которых всегда имеется определенное выходное сопротивление, соединенное с ис­точником напряжения.

Теорема Тевенина гласит, что каждую электрическую цепь с двумя выводами, состоящую из источников напряжения и сопротивлений, можно заменить на последовательно включенные, одно сопротивление и один источник ( рис. 9.7), где Z_out — выходной импеданс, а V- выходное напряжение холостого хода, то есть напряжение на выходе разомкнутой цепи.

Рис. 9.7. Эквивалентная схема, применимая к любой паре выходных клемм в соответствии с теоремой Тевенина

Из рис. 9.7, видно, что, когда к выходным клеммам подключается резистор или входные клеммы другого устройства, часть напряжения источника V падает на внутреннем импедансе Z_out . Обычно выходной импеданс схем имеет резистивный (омический) характер в широком диапазоне частот, и поэтому Z_out можно заменить — выходным сопротивлением R_out.

Термин: Сопротивление входное

Под входным сопротивлением прибора (устройства) понимают сопротивление R_ВХ его входной цепи при пропускании через эту цепь тока I_вх.

При простой модели входного сопротивления по постоянному току R_ВХ представляют как величину активного сопротивления. В более сложной модели при работе на переменном токе R_ВХ представляют как величину импеданса на определённой частоте сигнала. Эти вопросы относятся к построению эквивалентной схемы входной цепи прибора (устройства).

Если специально не оговаривается, то величина входного сопротивления приводится для рабочего диапазона сигнала для данного входа при нормальной температуре окружающей среды. При превышении рабочего диапазона сигнала входное сопротивление может отличаться от входного сопротивления в рабочем диапазоне сигнала и даже можнет стать нелинейным из-за наличия во входной цепи защитных элементов ограничения напряжения. В выключенном (обесточенном) состоянии прибора входное сопротивление может резко отличаться от входного сопротивления в рабочем режиме.

Для приборов с входным коммутатором каналов входное сопротивление всегда нормируется для одноканального режима, при котором коммутационный процесс отсутствует. Это связано с тем, что коммутационный процесс вносит в цепь измерения динамический заряд коммутатора в момент переключения и тем самым усложняет саму модель входа такого прибора, в результате чего оценивать его по критерию «входное сопротивление» становится некорректно.

У приборов с входом напряжения входное сопротивление относительно высокое, поскольку данный вход параллельно подключают к цепи измерения.

У приборов с входом тока входное сопротивление относительно низкое, поскольку требуется последовательно включать такой прибор в цепь измерения.

Для усилителей заряда 1-го типа, преобразующих составляющую напряжения заряда, вход заряда имеет очень высокое входное сопротивление в режиме измерения.

Для усилителей заряда 2-го типа, преобразующих переменный заряд путём пропускания тока цепи заряда через вход (например, как у LE-41), вход имеет низкое входное сопротивление.

Для дифференциального входа применяется понятие входного сопротивления как для дифференциальной цепи X, Y (при условии соблюдения синфазного диапазона сигнала относительно AGND), так и для цепи синфазного сигнала при соединённых вместе входах X и Y (относительно AGND).

Измерить входное сопротивление можно методом вольтметра − амперметра, контролируя напряжение и ток в цепи входа и вычисляя сопротивление по закону Ома для участка цепи. Но более точное измерение входного сопротивление прибора получается по двум измерениям для разных напряжений U₁ и U₂ и соответствующим измеренным токам I₁ и I₂; в этом случае входное сопротивление вычисляется по формуле:

Напоследок – лирическое отступление о философском смысле, связанном с понятием входного сопротивления прибора. Теоретически невозможно создать идеальный прибор, не влияющий на цепь измерения, поскольку невозможно измерить физическую величину, не отобрав из цепи измерения энергию. Это означает, что невозможно создать идеальные вольтметр и амперметр с бесконечно большим и, соответственно, бесконечно малым входным импедансом. Или, другими словами, достижимая точность измерения всегда конечна. Эти фундаментальные истины подтверждены известным в квантовой механике принципом неопределённости.

Понятие входного (внутреннего) сопротивления пассивной или активной электрической цепи являтся базовым понятием Теории линейных электрических цепей в курсе ТОЭ.

Перейти к другим терминам	Cтатья создана:	16.07.2014
О разделе «Терминология»	Последняя редакция:	03.03.2020

Пример использования термина

Термин используется для описания электрических свойств входов преобразователей и систем сбора данных.