Урок 6. Свойства степеней с натуральным показателем. Формулы и действия со степенями
Prostobank.ua рассказывает об основном свойстве степеней, а также свойствах степеней с натуральным показателем. На уроке математики вы узнаете, как возвести степень в степень, как складывать степени при умножении чисел с одинаковыми основами, как возвести отрицательное число в степень, как сложить и вычитать, умножить и делить степени.
- Подбор кредитов:
УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСЕХ
Степень целого положительного числа с натуральным показателем
Изучая натуральные числа, мы анализировали понятие степени натурального числа (подробнее здесь: Степень числа. Возведение в степень. Таблица степеней натуральных чисел). На этом уроке мы рассмотрим основное свойство степени, формулы и действия со степенями.
Что такое степень числа с натуральным показателем?
Степенью числа а с натуральным показателем n больше единицы называют произведение множителей, каждый из которых равен а:
Основное свойство степени
Для любого целого числа a и натуральных показателей m и n выполняется равенство, характеризующее основное свойство степеней:
Исходя из основного свойства степеней, при умножении степеней одного и того же целого числа показатели степеней нужно сложить, а основу оставить без изменений.
Объяснение: при умножении степени складываются – основу степени (число 3) оставляем без изменений, а показатели степеней суммируем: 2 + 5 = 7. Получим в произведении число 3 в седьмой степени.
Возведение степени в степень
Для любого целого числа a и натуральных показателей m и n выполняется равенство:
Правило возведения степени в степень звучит так:
Чтобы возвести степень в степень, нужно показатели степеней перемножить, а основу оставить ту же.
Пример
Объяснение: основу степени (число 2) оставляем без изменений, показатели степеней перемножаем: 3 ⋅ 4 = 12
Степень произведения чисел
Для любых целых чисел a и b и натурального показателя степеней n выполняется равенство:
Чтобы найти n-ую степень произведения чисел, нужно перемножить n-ые степени множителей.
Пример
Возведение отрицательного числа в степень
Степень целого отрицательного числа с натуральным показателем: правило возведения
Чтобы возвести в степень отрицательное число, нужно возвести в такую же степень модуль этого числа и перед результатом поставить знак плюс, если показатель степени является четным числом, или минус, если показатель степени – нечетное число
Рассмотрим примеры, когда основой степени является целое отрицательное число -2:
В первом примере мы возвели число -2 к третьей степени. Показатель степени, число 3, нечетный, поэтому перед результатом ставим знак минус.
Если поднести к четвертой степени число -2, то получим в результате положительное число (ведь показатель степени число 4 является четным).
Действия со степенями. Примеры
Выше мы рассмотрели основные свойства степеней с натуральным показателем, если основа целое положительное число или целое отрицательное число. Теперь рассмотрим конкретные примеры, где нужно выполнить действия со степенями – сложение и вычитание, умножение и деление.
Сложение и вычитание степеней с одинаковыми основаниями
Складывая или вычитая выражения со степенями, мы пользуемся теми же правилами, что и для алгебраических выражений.
То есть, если выражение содержит степени с одинаковыми основами и показателями, действия сложения и вычитания выполняют как для целых чисел.
Умножение степеней с разными основами
Правило умножения степеней звучит так:
Чтобы умножить степень с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить таким же.
Формула умножения чисел с одинаковыми степенями:
где a и b – любые целые числа, n – натуральное число
Решим несколько примеров на умножение степеней, используя формулу и правило:
Деление степеней
Правило деления степеней с одинаковыми основами звучит так:
При делении степеней с одинаковыми основаниями от показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя, а основа остается без изменений.
Формула: как делить степени
где а – целое число, которое не равно нулю, а m – и натуральные числа
Примеры
Что происходит со степенями при сложении цифр?
при сложении — ничего, каждое число так и остается по отдельности, разве что есть с одинакоковыми степенями, тогда можно скомбинировать
чтоб запомнить, представь: корень из 3 + корень кубический из 5 + корень из 8 = так они и останутся, если только их в десятичные не перевести
Остальные ответы
Вроде их складывают
Можно складывать только цифры с одинаковыми степенями
Да ниче не происходит! Они такими же и остаются=)))
А подробнее можно?!
Вот, например, 2 в 3-й степени + 2 в 4-ой степени +2 в 5-й степени = 8+16+32=56
То есть никакой закономерности тут нет. Степени они и в Африке степени, а цифры и в Африке цифры:)))
То же самое и если 2 в 3-й степени+ 3 в 3-й степени+ 4 в 3-й степени. Тоже нет никакой закономерности.
Имя Имя Имя ИмяУченик (116) 7 лет назад
да плюнь на это, оно тебе надо, я вот тоже думаю, что не надо!)!)!)
1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями
Рассмотрим пример умножения степеней с одинаковыми основаниями.
a 5 ⋅ a 3 = a ⋅ a ⋅ . ⋅ a ⏟ ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⏟ = a ⋅ a ⋅ . ⋅ a ⏟ = a 8 5 раз 3 раза 8 раз
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются,
а основание остаётся без изменений.
a n ⋅ a m = a n + m
(где \(а\) — любое число, \(n\) и \(m\) — натуральные числа).
Обрати внимание!
Нельзя заменять сумму a 6 + a 10 на a 16 .
Формула применяется как слева направо, так и справа налево.
1. 5 3 ⋅ 5 .
Решение: 5 3 ⋅ 5 = 5 3 ⋅ 5 1 = 5 3 + 1 = 5 4 = 625 .
2. 3 4 ⋅ 3 2 .
Решение: 3 4 ⋅ 3 2 = 3 4 + 2 = 3 6 = 729 .
упростить выражение:
t 12 t t 4 .
Решение: t 12 t t 4 = t 12 ⋅ t 1 ⋅ t 4 = t 12 + 1 + 4 = t 17 .
представить в виде произведения: 2 7 .
Решение.
Показатель степени \(7\) можно представить в виде суммы несколькими способами.
2 7 = 2 5 + 2 = 2 5 ⋅ 2 2 ; 2 7 = 2 6 + 1 = 2 6 ⋅ 2 1 = 2 6 ⋅ 2 .
Действия со степенями и корнями
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:
3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:
4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:
5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:
Пример 1. Найти значение выражения
Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:
(степень произведения равна произведению степеней множителей),
(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).
В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.
Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.
Степень с целым и дробным показателем
Имеют место следующие тождества:
Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 2. Найти значение выражения
Пример 3. Найти значение выражения
Пример 4. Найти значение выражения
Преобразования арифметических корней
1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).
2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).
3. Если , то (правило извлечения корня из корня).
4. Если , то (правило возведения корня в степень).
5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.
6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.
7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:
(правило умножения корней),
(правило деления корней),
8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .
9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,
10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.