Как найти направляющий вектор прямой

Как найти направляющий вектор прямой

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой , его координаты — буквами l, m, n:

.

Если известна одна точка прямой и направляющий вектор , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида

. (1)

В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки и имеют вид

. (2)

Обознчим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); получим

.

Отсюда

, , . (3)

Это — параметрические уравнения прямой, проходящей через точку в направлении вектора . В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, x, y, z — как функции от t ; при изменении t величины x, y, z меняются так, что точка M(x; y; z ) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки М, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки М. При t =0 точка М совпадает с точкой . Скорость v точки М постоянная и определяется формулой

.

Текст издания:	© Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач:	© Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/. Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉

Сайт управляется системой uCoz

Направляющий вектор прямой

Ненулевой вектор а, лежащий на прямой KM или параллельный этой прямой называется направляющим вектором.

Координаты l, m, n направляющего вектора называются направляющими коэффициентами прямой. За направляющий вектор прямой KM, образованная уравнениями двух пересекающихся плоскостей

можно принять векторное произведение N₁×N₂,

где N₁=1, В₁, C₁> и N₂=2, В₂, C₂> — нормальные векторы плоскостей Р₁ и Р₂, представляемых уравнениями (1) и (2). На рисунке видно, что прямая KM перпендикулярна к нормальным векторам N₁, N₂

Направляющий вектор можно найти по формуле:

Найти направляющий вектор прямой

2x — y + z + 7=0 (1)
−3x + 4y + z + 5=0 (2)

Нормальные векторы имеют координаты N₁= и N₂=, подставляя в формулу, получаем

N₁×N₂=− 5i − 5j + 5k ⇔ N₁×N₂=

Это и будет направляющим вектором прямой

Пример 2
Найти направляющие коэффициенты прямой

Решение
Имеем N₁=1, В₁, C₁>, N₂=2, В₂, C₂>. Примем а=N₁×N₂, за направляющий вектор данной прямой. Находим:

Направляющие коэффициенты будут ι=6, m=3, n=6

Примечание
Разделив эти числа на 3, найдем направляющие коэффициенты, то есть l’= 2, m’=1, n’=2

11463

Как найти направляющий вектор прямой

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор ( a ₁ , a ₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А a ₁ + В a ₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 × A + (-1) × B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcos j + ysin j — p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m × С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j — угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

; cos j = 12/13; sin j = -5/13; p = 5.

C ледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

Уравнение прямой имеет вид: , a = b = 1; ab /2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Уравнение прямой имеет вид: , где х₁ = у₁ = 0; x ₂ = -2; y ₂ = -3.

2.2.3. Как найти направляющий вектор
по общему уравнению прямой?

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора на 5, получаем направляющий вектор .

Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, чтобы лучше понимать мои объяснения!

Теперь выполним проверку Задачи 61. Решение уехало вверх, поэтому напоминаю, что в ней мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору . Проверка состоит в двух действиях:

Во-первых, по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

– получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод: задание выполнено правильно.

Задача 62

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Это задача для самостоятельного решения. И проверка, проверка, проверка!

Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике.
Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать!

В том случае, если одна из координат направляющего вектора равна нулю, поступают очень просто:

Задача 63

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Решение: формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Но выход прост! Используя свойства пропорции, перепишем уравнение в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

переставим части местами:

Ответ:

Проверка:

1) Восстановим направляющий вектор найденной прямой :
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору .

2) Подставим координаты точки в уравнение :

– получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет уравнению.

Вывод: задание выполнено правильно

Возникает вопрос: зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае?

Причин две. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что здесь повышается риск запутаться при подстановке координат.

Задача 64

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору , выполнить проверку.

Это задача для самостоятельного решения. Кстати, проверку можно выполнять и графически – решили задачу и изобразили всё на чертеже. Правда, такой способ бывает неудобен или трудновыполнИм, и поэтому всё-таки «рулит» аналитика.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

Автор: Aлeксaндр Eмeлин