11 сколько различных решений имеет система уравнений

11 сколько различных решений имеет система уравнений

При решении систем линейных уравнений обсуждаются 3 вопроса: а) существует ли решение системы уравнений, б) сколько разных решений имеет система уравнений, в) алгоритм решения. Ниже излагаются основные результаты в этой области математики, позволяющие исчерпывающим образом ответить на эти вопросы.

Теорема Крамера

Система двух уравнений, два неизвестных

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений \[ a_x_1+a_x_2=b_1, \quad \quad(17) \] \[ a_x_1+a_x_2=b_2, \quad \quad(18) \]

числа \(a_, b_i\), \(i,k=1,2\) считаются заданными, требуется найти неизвестные \(x_1,x_2\) . Эту систему можно решить исключением неизвестных. Например, умножим первое уравнение на \(a_\) и вычтем второе, умноженное на \(a_\), получим:

Если второе уравнение умножить на \(a_\) и вычесть из него первое уравнение, умноженное на \(a_\), получим: \[ x_2=\frac. \quad \quad(20) \]

Введем следующие обозначения. Матрицей коэффициентов системы уравнений (17)-(18) назовем матрицу \[ A=\left( \begin a_ & a_ \\ a_ & a_ \end \right), \] столбец правых частей системы \[ B=\left (\begin b_1 \\b_2 \end \right). \]

Тогда формулы (19), (20) можно переписать следующим образом: \[ x_1=\frac, x_2=\frac, \quad \quad(21) \] где матрица \(C_k\), \(k=1,2\), получается из матрицы \(A\) заменой ее \(k\)-того столбца на столбец \(B\). Формулы (21) называются формулами Крамера для системы из 2 уравнений с двумя неизвестными. Они описывают единственное решение системы уравнений в данном случае.

Система \(n\) уравнений, \(n\) неизвестных

Рассмотрим систему \(n\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными, \[ a_x_1+a_x_2+ . +a_x_n=b_1, \quad \quad(22) \] \[ a_x_1+a_x_2+. +a_x_n=b_2, \quad \quad(23) \] \[ . \] \[ a_x_1+a_x_2+. +a_x_n=b_n. \quad \quad(24) \]

Матрицей коэффициентов системы уравнений назовем матрицу \[ A=\left( \begin a_ & a_ & a_ &\ldots & a_ \\ a_ & a_ & a_ &\ldots & a_ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_ &a_ & a_ & \ldots & a_ \end \right) , \] образуем столбец правых частей системы \[ B=\left (\begin b_1 & b_2 & \ldots &b_n \end \right)^T. \]

Cправедливо следующее утверждение.

Пусть \(detA \neq 0\). Тогда система уравнений (22)-(24) имеет единственное решение, которое описывается формулами: \[ x_k=\frac, k=1,2. n, \quad \quad(25) \] где матрица \(C_k\) получается из матрицы \(A\) заменой ее \(k-\)го столбца столбцом \(B\).

Cоотношения (25) называются правилом Крамера.

Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы

В том случае, когда матрица коэффициентов системы уравнений невырождена, для построения решений системы можно использовать обратную матрицу.

Уравнения (22)-(24) можно записать в более экономичном виде \[ \sum _^na_x_m=b_k, k=1,2. n. \quad \quad(26) \]

Далее, введем столбец неизвестных \(X=(x_1,x_2. x_n)^T\), тогда в левой части соотношения (26) можно опознать матричное умножение, так что систему уравнений (26) можно записать в наших матричных терминах в виде матричного уравнения, \[ AX=B, \quad \quad(27) \] решение которого уже описано ранее в терминах обратной матрицы: \[ X=A^B. \]

В целом решение систем методом Крамера и методом обратной матрицы требует выполнения 2 условий: матрица коэффициентов системы должна быть квадратной ( т.е. число уравнений должно совпадать с числом неизвестных) и эта матрица должна быть невырожденной. К тому же практическая реализация этих методов связана с весьма громоздкими вычислениями, так что они имеют лишь теоретическое значение. На практике используют существенно более простой в реализации метод Гаусса, который к тому же позволяет решать и более общие системы уравнений. Этот метод описан ниже.

Решить системы методом Крамера и методом обратной матрицы.

а) \[ x_1+x_2+2x_3=-1, \] \[ 2x_1-x_2+2x_3=-4, \] \[ 4x_1+x_2+4x_3=-2. \]

б) \[ 3x_1+2x_2+x_3=5, \] \[ 2x_1+3x_2+x_3=1, \] \[ 2x_1+x_2+3x_3=11. \]

в) \[ 2x_1+x_2-x_3=2, \] \[ 3x_1+x_2-2x_3=3, \] \[ x_1+x_3=3. \]

11 сколько различных решений имеет система уравнений

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

11 сколько различных решений имеет система уравнений

Рассмотрим систему \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными, \[ a_x_1+a_x_2+ . +a_x_n=b_1, \quad \quad (28) \] \[ a_x_1+a_x_2+. +a_x_n=b_2,\quad \quad (29) \] \[ . \] \[ a_x_1+a_x_2+. +a_x_n=b_m, \quad \quad(30) \]

Матрицей коэффициентов системы уравнений назовем матрицу \[ A=\left( \begin a_ & a_ & a_ &\ldots & a_ \\ a_ & a_ & a_ &\ldots & a_ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_ &a_ & a_ & \ldots & a_ \end \right) , \] образуем столбец правых частей системы \[ B=\left (\begin b_1 & b_2 & \ldots &b_m \end \right)^T. \]

Решением системы уравнений (28)-(30) называют такой набор чисел \(x_1,x_2. x_n\), который при подстановке в уравнения обращает все эти уравнения в равенства.

Система уравнений (28)-(30) называется однородной , если столбец правых частей нулевой. Если столбец \(B\) ненулевой, система называется неоднородной .

Вообще говоря, система уравнений (28)-(30) может не иметь решений.

Рассмотрим систему уравнений \[ x_1+x_2=1, \] \[ x_1+x_2=2. \]

Очевидно, что она не имеет решений.

Далее, система линейных уравнений может иметь бесконечно много решений.

Рассмотрим систему уравнений \[ x_1+x_2=0. \]

Очевидно, что эта система из одного уравнения для двух неизвестных имеет бесконечно много решений.

Кроме того, как следует из теоремы Крамера, система уравнений может иметь единственное решение. Таким образом, следует развить теорию, позволяющую выяснить в общих терминах, когда система несовместна, когда она имеет решение и сколько решений она имеет, и представить аппарат, позволяющий построить эти решения.

Метод Гаусса

Метод Гаусса позволяет в рамках единого подхода построить решения произвольной системы линейных алгебраических уравнений. Исходным является построение расширенной матрицы, которая получается так: к матрице коэффициентов системы \(A\) добавляют справа столбец правых частей \(B\). При этом имеется естественное взаимно-однозначное соответствие: каждой строке расширенной матрицы отвечает уравнение системы.

Метод Гаусса опирается на следующие простые соображения: существуют преобразования системы уравнений, которые не меняют набора решений системы. Перечислим эти преобразования с указанием того, как они влияют на расширенную матрицу.

1. Перестановка уравнений (перестановка строк расширенной матрицы).

2. Умножение уравнения на ненулевое число (умножение строки расширенной матрицы на ненулевое число).

3. Вычитание из одного уравнения другого, умноженного на произвольное число (вычитание из строки расширенной матрицы другой строки, умноженной на произвольное число).

4. Перестановка двух неизвестных (с учетом необходимости обратной замены переменных ) (перестановка столбцов расширенной матрицы).

Опишем теперь процедуру решения системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса. Она включает 2 шага: прямой и обратный.

Выпишем расширенную матрицу системы уравнений, \[ A=\left( \begin a_ & a_ & a_ &\ldots & a_& b_1\\ a_ & a_ & a_ &\ldots & a_& b_2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_ &a_ & a_ & \ldots & a_& b_m \end \right) , \] и найдем среди чисел \(a_\) число, отличное от 0. Перестановкой строк и столбцов переместим это число в позицию \((1,1)\), \[ A \mapsto \left( \begin a^ & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ \ldots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end \right) . \] Затем из второй, третьей и последующих строк вычитаем первую с подходящим множителем, так, чтобы под числом \(a^\) появились нулевые элементы, \[ A \mapsto \left( \begin a^ & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ 0 &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end \right) . \] Затем в части матрицы, не включающей первую строку и последний столбец, вновь ищем ненулевой элемент \(a^\) и, переставляя строки и столбцы, помещаем его на позицию \((2,2)\), \[ A \mapsto \left( \begin a^ & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & a^ & \ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ 0 &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end \right) . \] Вычитая вторую строку из всех последующих с подходящими множителями, получаем 0 во всех элементах, стоящих под \(a^\), \[ A \mapsto \left( \begin a^ & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & a^ & \ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ 0 &0 &\ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ 0 &0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end \right) . \] Затем в части матрицы, не включающей первую и вторую строки и последний столбец, вновь ищем ненулевой элемент \(a^\) и, переставляя строки и столбцы, помещаем его на позицию \((3,3)\) и т.д. Продолжая нашу процедуру, мы преобразуем исходную матрицу к матрице, имеющей «трапециевидную» форму: на главной диагонали у такой матрицы стоят ненулевые элементы, а под главной диагональю — нули. Наша процедура остановится, когда 1) мы дойдем до «дна» матрицы, или 2) будет невозможно найти ненулевой элемент среди оставшихся строк, т.е. оставшиеся строки содержат только нули (за возможным исключением последнего столбца!). На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается. Его результатом является преобразованная матрица.

Рассмотрим внимательно построенную на предыдущем шаге матрицу. Как отмечалось выше, каждая строка построенной матрицы представляет уравнение, которое однозначно по ней восстанавливается. Таким образом, следует решить систему уравнений, соответствующую матрице, построенной в результате прямого хода метода Гаусса. Возможны следующие ситуации.

а) Она содержит строки, состоящие из нулей, за исключением элементов последнего столбца, которые не равны нулю, \[ A \mapsto \left( \begin a^ & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & a^ & \ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ 0 &0 &\ldots &\ldots & \ldots & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 &0 & 0 & \ldots & 0 & b^* \end \right) , \] \(b^* \neq 0\). Как упоминалось выше, каждая такая строка матрицы соответствует уравнению, в данном случае — уравнению с нулевыми коэффициентами, в правой части которого стоит не ноль. Таким образом, в этом случае исходная система уравнений несовместна.

б) Итоговая матрица содержит полностью нулевые строки. Такие строки соответствуют тривиальному уравнению \(0=0\), их можно вычеркнуть. Далее, \(r\), число ненулевых элементов на главной диагонали равно рангу матрицы коэффициентов исходной системы уравнений. При этом возможны 2 ситуации:

б1) \(r=n\) — ранг матрицы равен числу неизвестных. Это ситуация теоремы Крамера, когда существует только одно решение системы уравнений. По построенной матрице восстанавливают систему уравнений, которую решают снизу вверх . При этом на каждом шаге уравнение тривиально.

б2) \(r < n\). В этом случае следует неизвестные с номерами, большими \(r\), положить равными произвольным константам (т.е. написать равенства \(x_=\alpha ,x_=\beta, . x_n=\gamma \), причем \(\alpha ,\beta, . \gamma \) могут принимать произвольные значения), подставить эти значения в построенную систему уравнений и решать эти уравнения снизу вверх . При этом мы получим набор решений, зависящий от \(n-r\) свободных параметров — \(\alpha, \beta, . \gamma\).

Рассмотрим систему уравнений \[ x_1-2x_2+3x_3-4x_4=4, \] \[ x_2-x_3+x_4=-3, \] \[ x_1+3x_2-3x_4=1, \] \[ -7x_2+3x_3+x_4=-3. \] Этой системе уравнений соответствует расширенная матрица \[ A=\left( \begin 1 &-2 & 3 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -3 \\ 1& 3 & 0 & -3 &1\\ 0& -7 & 3 &1 & -3 \end \right). \] Начинаем преобразовывать матрицу. В данном случае в позиции \((1,1)\) стоит 1, так что на первом шаге перестановку строк и столбцов можно не реализовывать. Вычитаем первую строку из третьей, так что \[ A \mapsto \left( \begin 1 &-2 & 3 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -3 \\ 0& 5 & -3 & 1 & -3\\ 0& -7 & 3 &1 & -3 \end \right). \] И опять, в позиции \((2,2)\) стоит 1, так что и на втором шаге перестановка строк и столбцов не требуется. Вычитаем вторую строку из третьей 5 раз, прибавляем вторую строку к четвертой 7 раз, \[ A \mapsto \left( \begin 1 &-2 & 3 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -3 \\ 0& 0 & 2 & -4 & 12 \\ 0& 0 & -4 &8 & -24 \end \right). \] Третью строку можно сократить на 2, четвертую — на (-4), \[ A \mapsto \left( \begin 1 &-2 & 3 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -3 \\ 0& 0 & 1 & -2 & 6 \\ 0& 0 & 1 & -2 & 6 \end \right). \] В позиции \((3,3)\) стоит 1, так что перестановка строк и столбцов на третьем шаге не нужна. Вычитаем третью строку из четвертой, \[ A \mapsto \left( \begin 1 &-2 & 3 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -3 \\ 0& 0 & 1 & -2 & 6 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 0 \end \right). \] Последняя строка содержит только нули, что соответствует тривиальному уравнению \(0=0\). Вычеркивая ее, прибываем к окончательному виду преобразованной расширенной матрицы: \[ A \mapsto \left( \begin 1 &-2 & 3 & -4 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -3 \\ 0& 0 & 1 & -2 & 6 \end \right). \] Эта матрица соответствует 3 уравнениям. Ранг матрицы равен \(r=3\) (число ненулевых элементов на главной диагонали), система уравнений имеет 4 неизвестных. Согласно схеме метода Гаусса, полагаем: \(x_4=\alpha\), и начинаем решать систему уравнений снизу вверх. Третье (нижнее!) уравнение нам дает: \[ x_3=2\alpha +6. \] Подставляем во второе уравнение: \[ x_2-(2\alpha +6)+\alpha =-3, \] так что \[ x_2=\alpha +3. \] Подставляя в первое уравнение, получаем: \[ x_1-2(\alpha +3)+3(2\alpha +6)-4\alpha =4. \] В итоге \[ x_1=-8. \] Выпишем ответ целиком: \[ x_1=-8, x_2=\alpha +3,x_3=2\alpha +6, x_4=\alpha. \]

Однородные системы уравнений

Напомним, что система линейных уравнений называется однородной, если в правых частях всех уравнений стоят нули. Таким образом, мы обсуждаем систему уравнений \[ a_x_1+a_x_2+ . +a_x_n=0, \quad \quad(31) \] \[ a_x_1+a_x_2+. +a_x_n=0, \quad \quad(32) \] \[ . \] \[ a_x_1+a_x_2+. +a_x_n=0. \quad \quad(33) \] С использованием экономичных обозначений эту систему можно переписать в виде \[ \sum _^na_x_m=0, k=1,2. n. \quad \quad(34) \]

Очевидно, что у этой системы имеется решение \(x_1=x_2=. =x_n=0\), это решение называется тривиальным . Центральный вопрос, который обсуждается в данном параграфе: есть ли у системы уравнений (31)-(33) нетривиальные решения?

Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы был меньше числа неизвестных.

Для того, чтобы сформулировать окончательный результат, нам потребуется ввести новые понятия. Пусть \(x_1,x_2. x_n\) — решение системы (31)-(33). Образуем столбец решений \(X=(x_1,x_2. x_n)^T\).

Пусть столбцы \(X_1,X_2. X_k\) представляют собой столбцы решений системы (31)-(33). Тогда любая линейная комбинация этих столбцов представляет собой столбец решений системы (31)-(33).

1. Имеется \((n-r)\) линейно независимых столбцов, представляющих собой столбцы решений системы,

2. Любой другой столбец, представляющий собой столбец решений системы, является линейной комбинацией этих линейно независимых столбцов.

Утверждение этой теоремы можно выразить с помощью одной формулы. Пусть \(X_1,X_2. X_\), — те линейно независимые столбцы-решения, существование которых утверждается в теореме. Тогда любой другой столбец-решение имеет вид: \[ X=\sum ^_\lambda_kX_k, \quad \quad(35) \] т.е. является их линейной комбинацией. Такой столбец-решение называется общим решением системы (31)-(33) (имея в виду, что константы \(\lambda_k, k=1,2. (n-r)\), могут принимать любое значение. Соотношение (35) описывает структуру общего решения однородной системы уравнений. Столбцы-решения \(X_k\) называются фундаментальными решениями системы (31)-(33).

Решить системы уравнений и построить фундаментальные решения.

а) \[ -6x_1+3x_2+18x_4=0, \] \[ 5x_1-7x_2+9x_3-24x_4=0, \] \[ 27x_1-27x_2+27x_3-108x_4=0. \]

б) \[ -x_1+2x_2-3x_3-4x_4=0, \] \[ -x_1-4x_2+3x_3+2x_4=0, \] \[ -5x_1-8x_2+3x_3-2x_4=0. \]

в) \[ x_1+x_2+x_3+x_4=0, \] \[ x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0, \] \[ x_1+3x_2+6x_3+10x_4=0, \] \[ x_1+4x_2+10x_3+20x_4=0. \]

Неоднородные системы уравнений

Обсудим теперь неоднородную систему уравнений, в правых частях которых не все числа равны нулю, \[ a_x_1+a_x_2+ . +a_x_n=b_1, \quad \quad(36) \] \[ a_x_1+a_x_2+. +a_x_n=b_2, \quad \quad(37) \] \[ . \] \[ a_x_1+a_x_2+. +a_x_n=b_m, \quad \quad(38) \] или, в более кратком виде, \[ \sum _^na_x_p=b_k, k=1,2. m. \] С этой системой уравнений можно связать 2 матрицы: матрицу коэффициентов \(A\) и расширенную матрицу \(\widetilde\), которая получается из \(A\) приписыванием справа столбца правых частей \(B\).

Решить системы уравнений методом Гаусса.

а) \[ -7x_1+6x_2+3x_3=50, \] \[ -4x_1-4x_2-2x_3=10, \] \[ 6x_1+3x_2-3x_3=0. \]

б) \[ -7x_1-6x_2+19x_3=-34, \] \[ -2x_1-2x_2+6x_3=-10, \] \[ -23x_1-20x_2+63x_3=112. \]

в) \[ 5x_1+6x_2+3x_3=30, \] \[ -5x_1+5x_2-25x_3=25, \] \[ 20x_1-9x_2+78x_3=-45. \]

г) \[ x_1+2x_2+3x_3=4, \] \[ 2x_1+3x_2+4x_3=1, \] \[ 3x_1+4x_2+5x_3=6. \]

д) \[ 2x_1-x_2+x_3-x_4=1, \] \[ 2x_1-x_2-3x_4=2, \] \[ 3x_1-x_3+x_4=-3, \] \[ 2x_1+2x_2-2x_3+5x_4=-6. \]

Методы решения систем логических уравнений
статья по информатике и икт (10 класс) по теме

Решить систему логических уравнений можно, например, с помощью таблицы истинности (если количество переменных не слишком велико) или с помощью дерева решений, предварительно упростив каждое уравнение.

1. Метод замены переменных.

Ввод новых переменных позволяет упростить систему уравнений, сократив количество неизвестных. Новые переменные должны быть независимыми друг от друга . После решения упрощенной системы надо снова вернуться к первоначальным переменным.

Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере.

Пример. Сколько различных решений имеет система уравнений

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Введем новые переменные: А=(X1 ≡ X2); В=(X3 ≡ X4); С=(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); E=(X9 ≡ X10).

(Внимание! Каждая их переменных x1, x2, …, x10 должна входить только в одну из новых переменных А,В,С,D,Е, т.е. новые переменные независимы друг от друга).

Тогда система уравнений будет выглядеть так:

Построим дерево решений полученной системы:

Рассмотрим уравнение А=0, т.е. (X1 ≡ X2)=0. Оно имеет 2 корня:

Из этой же таблицы видно, что уравнение А=1 тоже имеет 2 корня. Расставим кол-во корней на дереве решений:

Чтобы найти количество решений одной ветви, надо перемножить количества решений на каждом ее уровне. Левая ветвь имеет 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 решения; правая ветвь имеет тоже 32 решения. Т.е. вся система имеет 32+32=64 решения.

2. Метод рассуждений.

Сложность решения систем логических уравнений состоит в громоздкости полного дерева решений. Метод рассуждений позволяет не строить все дерево полностью, но понять при этом, сколько оно будет иметь ветвей. Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.

Пример 1. Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5 ) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5 ) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Первое и второе уравнения содержат независимые переменные, которые связаны третьим условием. Построим дерево решений первого и второго уравнений.

Чтобы представить дерево решений системы из первого и второго уравнений, надо каждую ветвь первого дерева продолжить деревом для переменных у . Построенное таким образом дерево будет содержать 36 ветвей. Некоторые из этих ветвей не удовлетворяют третьему уравнению системы. Отметим на первом дереве количество ветвей дерева «у» , которые удовлетворяют третьему уравнению:

Поясним: для выполнения третьего условия при х1=0 должно быть у1=1, т.е все ветви дерева «х» , где х1=0 можно продолжить только одной ветвью из дерева «у» . И только для одной ветви дерева «х» (правой) подходят все ветви дерева «у». Таким образом, полное дерево всей системы содержит 11 ветвей. Каждая ветвь представляет собой одно решение исходной системы уравнений. Значит, вся система имеет 11 решений.

Пример 2. Сколько различных решений имеет система уравнений

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)= 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10)= 1.

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10)= 1

где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение : Упростим систему. Построим таблицу истинности части первого уравнения: