Доказать что последовательность функционалов сходится

функциональный-анализ — $%\ast$%-слабая сходимость последовательностей функционалов

Задача: доказать, что последовательность функционалов $%\\subseteq X^$% на банаховом пространстве $%(X,\ \|\ \|)$% $%\ast$%-слабо сходится к $%f\in X^$%, если и только если она сильно ограничена ($%\|f_i\|< c$% при всех $%i$% для некоторого $%c>0$%) и существует всюду плотное подмножество $%A\subseteq X,\ f_i(a)\rightarrow f(a),\ a\in A$%.

задан 8 Дек ’20 4:01

1 ответ

В одну сторону доказательство опирается на теорему Банаха-Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности). Если последовательность сходится поточечно, то второе условие очевидно, а из ТБШ сразу следует равномерная ограниченность норм.

Обратно: пусть выполнены оба условия, $%M=\sup\limits_n\|f_n\|$% и $%\forall a\in A$% $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists N(a)\in\mathbb:$% $%\forall n>N(a)$% $%|f_n(a)-f(a)|$%. Из всюду плотности заключаем, что $%\forall x\in X\setminus A$% $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists a\in A:$% $%\|x-a\|$%. Очевидно, что $$|f_n(x)-f(x)|\leq|f_n(x)-f_n(a)|+|f_n(a)-f(a)|+|f(a)-f(x)|\leq$$$$\leq\|x-a\|(\|f_n\|+\|f\|)+|f_n(a)-f(a)|.$$ Теперь для $%x\in X\setminus A$% по заданному $%\varepsilon>0$% подбираем подходящее $%a\in A$%, по которому подбираем $%N(a)$% и для всех $%n>N(a)$% получаем, что $%|f_n(x)-f(x)|

отвечен 8 Дек ’20 5:46

математика — Доказать, что последовательность является фундаментальной

Доказать, что если для последовательности n> сходится ряд ∑ n от 1 до ∞ ρ(x_n,x_n+1), то последовательность является фундаментальной.

задан 14 Дек ’13 10:14

1 ответ

Я так понимаю, в условии дано метрическое пространство $%\langle X,\rho\rangle$%. О таких вещах желательно упоминать явно. С чисто формальной точки зрения, буква $%\rho$% может означать что угодно.

Положим $%d_n=\rho(x_n,x_)$%. В условии сказано, что числовой ряд (с неотрицательными членами) $%d_1+d_2+\cdots+d_n+\cdots$% сходится. Значит, последовательность его частичных сумм $%S_n=d_1+d_2+\cdots+d_n$% является фундаментальной. Согласно определению, для любого $%\varepsilon > 0$% существует $%N=N(\varepsilon)$% такое, что $%|S_n-S_m| < \varepsilon$% для всех натуральных $%m,n\ge N$%.

Это же число можно использовать для установления фундаментальности последовательности $%x_n$% точек метрического пространства. Для того же самого значения $%\varepsilon$% рассмотрим расстояние между $%x_m$% и $%x_n$%. Ввиду симметричности метрики, можно без ограничения общности считать, что $%m < n$%, так как при $%m=n$% расстояние равно нулю. Тогда, в силу неравенства треугольника, $%\rho(x_m,x_n)\le\rho(x_m,x_)+\cdots+\rho(x_,x_n)=d_m+\cdots+d_=S_-S_$%. Эта величина неотрицательна и совпадает со своим модулем. При $%m,n\ge N+1$% она будет меньше $%\varepsilon$%. Из этого вытекает фундаментальность последовательности, в соответствии с определением.

отвечен 14 Дек ’13 13:55

falcao
300k ● 9 ● 38 ● 55

Теория функций действительного переменного/Сходимость метрического пространства

Наличие метрики позволяет определить в абстрактном множестве понятие предела и операцию предельного перехода. Понятие предела последовательности абстрактного множества опирается на понятие предела числовой последовательности.

Предел последовательности в метрическом пространстве [ править ]

Определение 1: Последовательностью n> в метрическом пространстве (M, ρ) называется отображение из множества натуральных чисел в множество M.

Определение 2: Последовательность n> элементов метрического пространства называется сходящейся к элементу a ∈ M , а сам элемент a называется пределом последовательности, если

это равносильно тому, что для любого вещественного числа ϵ > 0 0> существует натуральное число n 0 > такое, что для любого номера n > n 0 n_> выполняется неравенство

Свойство 1 (Единственность предела). Если у последовательности n> существует предел, то он единственный.

Доказательство. Допустим, что у данной последовательности существует несколько пределов:

Тогда, по определению предела последовательности:

lim n → ∞ ρ ( x n , a ) = lim n → ∞ ρ ( x n , b ) = 0 \rho (x_,a)=\lim _\rho (x_,b)=0> .

Согласно неравенству треугольника и свойству неотрицательности метрики:

Переходя к пределу при n → ∞ , получим:

А из равенства нулю метрики для двух элементов следует их равенство.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что сходящаяся последовательность n> элементов множества M ограничена, покажем, что все её члены содержатся в некотором шаре B конечного радиуса. Пусть последовательность x_n> сходится в пространстве M, тогда последовательность ρ (x_n, a)> сходится на множестве действительных чисел:

( ∃ M > 0 ) ( ∀ n ∈ N ) ρ ( x n , a ) ≤ M 0)\quad (\forall n\in \mathbb )\quad \rho (x_,a)\leq \;M> .

Определение 3: Последовательность n_k> называется подпоследовательностью последовательности n>, если < n k >\>> — возрастающая последовательность натуральных чисел.

На основании определения 3 докажите самостоятельно свойство:

Свойство 3. Если последовательность n> сходится к элементу a, то и любая её подпоследовательность сходится к тому же самому элементу.

Свойство 4 (Непрерывность метрики).: Пусть заданы две последовательности

lim n → ∞ ρ ( x n , y n ) = ρ ( a , b ) \rho (x_,y_)=\rho (a,b)> .

Доказательство.

Согласно неравенству четырёхугольника, для каждого номера n

| ρ ( x n , y n ) − ρ ( a , b ) | ≤ ρ ( x n , a ) + ρ ( y n , b ) ,y_)-\rho (a,b)|\leq \rho (x_,a)+\rho (y_,b)> .

Переходя к пределу в правой и левой частях неравенства, и учитывая свойство неотрицательности метрики, получаем:

0 ≤ lim n → ∞ | ρ ( x n , y n ) − ρ ( a , b ) | ≤ 0 + 0 |\rho (x_,y_)-\rho (a,b)|\leq 0+0> .

lim n → ∞ ( ρ ( x n , y n ) − ρ ( a , b ) ) = 0 \left(\rho (x_,y_)-\rho (a,b)\right)=0> .

Предел разности равен разности пределов, поэтому

lim n → ∞ ρ ( x n , y n ) = ρ ( a , b ) \rho (x_,y_)=\rho (a,b)>

Что и требовалось доказать.

Понятие фундаментальной последовательности в метрическом пространстве [ править ]

Определение 4: Последовательность n> из M называется фундаментальной, если для любого вещественного числа ϵ > 0 0> существует такое натуральное число n 0 > , что для всех номеров

Рассмотрим некоторые свойства фундаментальных последовательностей.

Свойство А. Если последовательность сходится, то она является фундаментальной.

Доказательство.

lim n → ∞ x n = a ⇔ lim n → ∞ ρ ( x n , a ) = 0 x_=a\Leftrightarrow \lim _\rho (x_,a)=0> .

Воспользуясь определением предела, запишем это как

( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ n 0 ∈ N ) ( ∀ n > n 0 ) ρ ( x n , a ) < ϵ 2 0)\quad (\exists n_\in \mathbb )\quad (\forall n>n_)\quad \rho (x_,a)>> .

Следовательно, при любых n>n₀ и m>n₀

что и требовалось доказать.

Замечание: Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

Свойство Б. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.

Доказательство.

Чтобы доказать, что n> ограничена, нужно доказать, что все её члены содержаться в некотором шаре B конечного радиуса r. Пусть

( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ n 0 ∈ N ) ( ∀ n > n 0 ) ( ∀ m > n 0 ) ρ ( x n , x m ) < ϵ 0)\quad (\exists n_\in \mathbb )\quad (\forall n>n_)\quad (\forall m>n_)\quad \rho (x_,x_) .

Положим ϵ = 1 (найдя для него соответствующее n₀), m= n₀+1. Тогда

Определим число r следующим образом:

тогда для любого номера n будет иметь место

Свойство В. Если последовательность фундаментальна, то и любая её подпоследовательность фундаментальна. (Доказать самостоятельно).

Свойство Г. Если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности n> сходится к элементу a, то к элементу a сходится и вся последовательность.

Доказательство.

Научный форум dxdy

Слабо сходящаяся последовательность в гильбертовом пр-ве

На страницу 1 , 2 След.

Слабо сходящаяся последовательность в гильбертовом пр-ве
28.03.2022, 17:35

Друзья, такой вопрос, на который я не нашел ответа явного пока.
Пусть речь идет о гильбертовом пр-ве, — ограниченный линейный оператор на нем.

Вопрос: верно ли, что ?
Вероятно, ответ «нет», но контрпримера я не знаю. «Да» не совсем доказывается.

Второе слагаемое сколь угодно мало, т.к. это значения некоторого функционала от .
А вот с первым слагаемым не совсем ясно. Подскажите, пожалуйста!

Re: Слабо сходящаяся последовательность в гильбертовом пр-ве
28.03.2022, 18:05

Заслуженный участник

Вы никак не использовали то, что , а без этого доказать не получится (возьмите слабо, но не сильно сходящуюся последовательность, и тождественный ). Раз сходится, то , где . Подставьте это в первое слагаемое и воспользуйтесь тем, что слабо сходящаяся последовательность ограничена.

Re: Слабо сходящаяся последовательность в гильбертовом пр-ве
28.03.2022, 18:10

Заслуженный участник

Ограниченный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в слабо сходящиеся. Из сильной сходимости вытекает слабая. Слабый предел единственен. Этого должно хватить для доказательства.

Re: Слабо сходящаяся последовательность в гильбертовом пр-ве
28.03.2022, 19:40

Последний раз редактировалось artempalkin 28.03.2022, 19:41, всего редактировалось 1 раз.

mihaild в сообщении #1551280 писал(а):

Вы никак не использовали то, что , а без этого доказать не получится (возьмите слабо, но не сильно сходящуюся последовательность, и тождественный ). Раз сходится, то , где . Подставьте это в первое слагаемое и воспользуйтесь тем, что слабо сходящаяся последовательность ограничена.

первое слагаемое стремится к нулю из-за слабой сходимости, а второе — т.к. первый множитель ограничен (т.к. слабо сходящаяся последовательность ограничена), а второй стремится к нулю, т.к. . Да, все получается, спасибо!

Но путь я выбрал сложный, проще размышлять по лекалам thething :
1) последовательность сходится слабо последовательность образов сходится слабо к образу предела
2) последовательность образов сходится по норме к некоторому элементу она сходится слабо к этому элементу
3) слабый предел единственен