Известно что t 1 z 13 тогда
Задача 1: По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N (N ≥ 2) так, что у любых двух соседних чисел есть одинаковая цифра. Найдите наименьшее возможное значение N.
Решение:
Ответ: 29. Поскольку однозначные числа не имеют общих цифр, то N > 9. А так как числа, соседние с числом 9, должны содержать девятку в своей записи, то меньшее из них не может быть меньше, чем 19, а большее — меньше, чем 29. Следовательно, N ≥ 29.
Равенство N = 29 возможно, поскольку условиям задачи удовлетворяет, например, такой порядок расстановки чисел от 1 до 29 по кругу: 1, 11, 10, 20, 21, 12, 2, 22, 23, 3, 13, 14, 4, 24, 25, 5, 15, 16, 6, 26, 27, 7, 17, 18, 8, 28, 29, 9, 19.
Задача 2: В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.
Решение:
Обозначим ∠ BDA через . Тогда , (AB = AD), . Точки E и F равноудалены от точек B и C, поэтому FE — серединный перпендикуляр к отрезку BC, следовательно, . Итак, , т.е. точки B, F, D, E — на одной окружности.
Задача 3: Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Известно, что . Докажите, что для любого натурального k выполнено неравенство
Решение:
Если abc = 1, то неравенства и (a – 1)(b – 1)(c – 1) ≤ 0 равносильны. Действительно, из того, что , , и abc – 1 = 0 следует, что они оба равносильны неравенству bc + ca + ab ≥ a + b + c. Кроме того, числа t – 1 и t k – 1 имеют при k > 0 одинаковый знак. Поэтому .
Задача 4: Лабиринт представляет собой квадрат 8 × 8, в каждой клетке 1 × 1 которого нарисована одна из четырёх стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки — выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на 90 по часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход
сквозь стенку квадрата, она остаётся на месте, но стрелка по-прежнему поворачивается на 90 по часовой стрелке. Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.
Решение:
Предположим, что фишка никогда не выйдет из лабиринта. Тогда на клетку с номером 1 фишка попадёт конечное число раз (менее 4), т.к. в противном случае, когда стрелка покажет на выход, фишка из лабиринта уйдёт. Аналогично получаем, что после того, как фишка в последний раз побывает на поле >, она конечное число раз побывает на полях с номером >. Продолжая рассуждения получаем, что на поле с номером k, 1 ≤ k ≤ 14 она конечное число раз побывает на поле с номером k + 1. Значит, на каждом поле фишка побывает конечное число раз, что противоречит неограниченности числа ходов. Следовательно, фишка должна выйти из лабиринта.
Задача 5:
Все клетки клетчатой плоскости окрашены в 5 цветов так, что в любой фигуре вида 0,
все цвета различны. Докажите, что и в любой фигуре вида
все цвета различны.
Решение:
Предположим, что в некоторой фигуре 1 × 5 отсутствует некоторый цвет, например, синий (на рисунке эта фигура выделена). Тогда в каждой паре клеток, обозначенных одинаковыми буквами, присутствует синий цвет (в противном случае его не будет в одной из крестообразных фигур, включающих эти пары клеток). Но тогда одна из двух крестообразных фигур, включающих клетки, обозначенные буквами a и c, содержит 2 клетки синего цвета. Противоречие.
Задача 6:
Задача 7:
Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей. (Каждый простой делитель учитывается 1 раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)
Решение:
Если данное число n — чётно, т.е. n = 2m, то искомыми числами будут k = 4m и l = 2m.
Пусть n — нечётно, p 1 , ,p s — его простые делители и p — наименьшее нечетное простое число, не входящее во множество p 1 , ,p s . Тогда искомыми будут числа k = pn и l = (p – 1)n, так как, в силу выбора p, число p – 1 имеет своими делителями число 2, и, возможно, какие-то из чисел p 1 , ,p s .
Задача 8:
В треугольнике ABC (AB > BC) K и M — середины сторон AB и AC, O — точка пересечения биссектрис. Пусть P — точка пересечения прямых KM и CO, а точка Q такова, что QP ⊥ KM и QM||BO. Докажите, что QO ⊥ AC.
Решение: Опустим перпендикуляр OR на прямую AC. Пусть перпендикуляр к прямой KM, восставленный в точке P, пересекает прямую OR в точке Q′. Достаточно доказать, что MQ′||BO, т.к. это будет означать, что точки Q и Q′ совпадают. Так как KM||BC, то . Тогда в , откуда MP = MC = MA, поэтому точка P лежит на окружности с диаметром AC и ∠ APC = 90.
В четырёхугольнике APOR ∠ APO = ∠ ARO = 90, следовательно он вписанный, отсюда ( ∠ RPO = ∠ RAO опираются на одну дугу).
В четырёхугольнике MPQ′R ∠ MPQ′ = ∠ MRQ′ = 90, следовательно, он вписанный, отсюда . Если BO пересекает AC в точке D, то из ∆ BCD: . Отсюда MQ′||BO.
Прямая в пространстве, всевозможные уравнения.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:
1) $\left\A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\quad (P_1)\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\quad (P_2)\end\right. — $ общее уравнение прямой $L$ в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей $P_1$ и $P_2.$
2) $\frac=\frac=\frac
-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline=(m, n, p).$ Вектор $\overline S$ является направляющим вектором прямой $L.$
3) $\frac=\frac=\frac -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$
4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру $t,$ получаем параметрическое уравнение прямой:
Расположение двух прямых в пространстве.
Условие параллельности двух прямых: Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline_1\parallel\overline_2\Leftrightarrow$ $\frac=\frac=\frac.$
Условие перпендикулярности двух прямых: $L_1\perp L_2\Leftrightarrow$ $\overline_1\perp\overline_2\Leftrightarrow$ $\cdot+\cdot+p_1\cdot p_2=0.$
Угол между прямыми:
Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.
Пусть прямая $L$ задана уравнением $\frac=\frac=\frac
,$ следовательно $\overline S=(m, n, p).$ Пусть также $M_2=(x_2, y_2, z_2) -$ произвольная точка, принадлежащая прямой $L.$ Тогда расстояние от точки $M_1=(x_1, y_1, z_1)$ до прямой $L$ можно найти по формуле: $$d(M_1, L)=\frac<|[\overline
Примеры.
2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно:
а) вектору $q(2, -3, 5);$
е) прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\fract.$
Решение.
а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:
$\frac=\frac=\frac
-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $\overline=(m, n, p).$
По условию $M_0(2, 0, -3)$ и $\overline=q(2,-3,5).$
б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой $\frac=\frac=\frac$ имеет координаты $\overline S(5, 2, -1).$ Далее, находим уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(5, 2, -1)$ как и в пункте а):
в) ось OX имеет направляющий вектор $i=(1, 0, 0).$ Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $i(1, 0, 0):$
д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей , поэтому Направляющий вектор прямой
$\left\3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end\right.$ можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.
Для плоскости $P_1:$ $3x-y+2z-7=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(3, -1, 2);$
для плосости $P_2:$ $x+3y-2z-3,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(1, 3, -2).$
Находим векторное произведение:
Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\3x-y+2z-7=0,\\ x+3y-2z-3=0; \end\right.$ имеет координаты $\overline S (-4, 8, 10).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(-4, 8, 10):$
е) Найдем направляющий вектор прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-\fract.$ Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:
Отсюда находим направляющий вектор $\overline S\left(1, 2, -\frac\right).$ Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): $\overline S_1(2, 4, -1).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $\overline S(2, 4, -1):$
2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (1, -2, 1)$ и $M_2(3, 1, -1).$
Решение.
Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:
$\frac=\frac=\frac -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$
Подставляем заданные точки:
2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми
Решение.
Расстояние между параллельными прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от произвольной точки прямой $L_1$ до прямой $L_2.$ Следовательно, его можно найти по формуле $$d(L_1, L_2)=d(M_1, L_2)=\frac<|[\overline
Из канонических уравнений прямых берем точки $M_1=(2, -1, 0)\in L_1,$ $M_2=(7, 1, 3)\in L_2,$ $\overline S=(3, 4, 2). $
Отсюда находим $\overline=(7-2, 1-(-1),3-0)=(5, 2, 3);$
Ответ: 3.
2.205 (а). Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $\left\2x-2y+z+3=0,\\ 3x-2y+2z+17=0 \end\right.$
Решение.
Для того, чтобы найти расстояние от точки $A$ до прямой $L,$ нам необходимо выбрать произвольную точку $M,$ принадлежащую прямой $L$ и найти направляющий вектор этой прямой.
Выбираем точку $M.$ Пусть координата $z=0.$ Подставим это значение в данную систему:
Таким образом, $M=(-14, -\frac, 0)$
Направляющий вектор найдем, как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:
Для плоскости $P_1:$ $2x-2y+z+3=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(2, -2, 1);$
для плосости $P_2:$ $3x+2y+2z+17=0,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(3, -2, 2).$
Находим векторное произведение:
Таким образом, направляющий вектор прямой $\left\2x-2y+z+3=0,\\ 3x-2y+2z+17=0 \end\right.$
имеет координаты $\overline S (-2, -1, 2).$
Теперь можно воспользоваться формулой $$d(A, L)=\frac<|[\overline
$\overline=\left(2-(-14),3-\left(-\frac\right),-1-0\right)=\left(16, 15\frac, -1\right)$
Ответ: $d(A, L)=15.$
2.212. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $P: 3x-2y-3z-7=0$ и пересекает прямую $L: \frac=\frac=\frac.$
Решение.
Запишем уравнение плоскости $P_1,$ которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $3x-2y-3z-7=0:$
$P: 3x-2y-3z-7=0\Rightarrow \overline N=(3; -2; -3).$ Искомая плоскость проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ перпендикулярно вектору $\overline N(3, -2, -3).$
$P_1: 3x-9-2y-4-3z-12=0 \Rightarrow$
Далее найдем точку пересечения плоскости $P_1$ и прямой $L.$ Для этого запишем уравнение прямой $L$ в параметрической форме:
Далее, подставим значения $x, y$ и $z,$ выраженные через $t$ в уравнение плоскости $P_1,$ и из полученного уравнения выразм $t:$
Подставляя найденное занчение $t$ в уравнение прямой $L,$ найдем координаты точки пересечения:
Таким образом, прямая $L$ и плоскость $P_1$ пересекаются в точке $M_1(8, -8, 5).$
Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки $M_0(3, -2. -4)$ и $M_1(8, -8, 5)$— это и будет искомая прямая. Воспользуемся формулой ( 3) $\frac=\frac=\frac :$
Домашнее задание.
2.199.
б) Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (3, -1, 0)$ и $M_2(1, 0, -3).$
2.205.
б) Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $ L:$ $\left\x=3t+5,\\ y=2t,\\z=-2t-25. \end\right.$
Ответ: 21.
2.206. Доказать, что прямые $L_1: \left\2x+2y-z-10=0,\\ x-y-z-22=0, \end\right.$ и $L_2: \frac=\frac=\frac.$ параллельны и найти расстояние $\rho(L_1, L_2)$
Ответ: 25.
2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости $x-3y+2z+1=0$ с прямыми $\frac=\frac=\frac$ и $\frac=\frac=\frac.$
2.211. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(7, 1, 0)$ параллельно плоскости $2x+3y-z-15=0$ и пересекающей прямую $\frac=\frac=\frac.$
Евгений Пригожин мертв? Что известно
О статье
- Автор, Елизавета Фохт, Сергей Горяшко, Анастасия Лотарева
- Должность, Би-би-си
23 августа 2023
В среду вечером под Тверью потерпел крушение бизнес-джет Embraer Legacy 600. Самолет развалился в воздухе на части. Борт связан с основателем ЧВК «Вагнер» Евгением Пригожиным. Росавиация сообщила, что человек с таким именем и фамилией был в списке пассажиров самолета. Всего их было семь, членов экипажа — трое. В катастрофе, по предварительным данным, никто не выжил, но официальных подтверждений гибели основателя «Вагнера» пока так и не появилось. О его смерти в результате авиакатастрофы сообщили несколько СМИ, в том числе и близкие к самому Пригожину, со ссылкой на анонимные источники. Сам Пригожин, путешествуя, использовал двойников и летал пассажиром с паспортами на другие имена.
О гибели Евгения Пригожина в авиакатастрофе вечером в среду сообщил близкий к руководству ЧВК «Вагнер» телеграм-канал Grey Zone. «Герой России, настоящий патриот своей Родины — Евгений Викторович Пригожин погиб в результате действий предателей России. Но даже в Аду он будет лучшим!», — говорится в сообщении. Точно так же канал обвинил предателей России в гибели сооснователя ЧВК, первого командира наемников Дмитрия «Вагнера» Уткина, по позывному которого и названа компания.
«Царьград ТВ» со ссылкой на анонимный источник, а также телеграм-канал «ВЧК-ОГПУ» утверждают, что вместе с Пригожиным погиб и Уткин. О смерти Пригожина в катастрофе также пишет «Фонтанка» со ссылкой на источник. Точно так же, ссылаясь на анонимного собеседника, о гибели Пригожина и Уткина сообщил Владимир Рогов, занимавший в назначенной Кремлём оккупационной администрации Запорожья должность члена главного совета.
Официально российские власти гибель Пригожина и Уткина, по состоянию на вечер среды, не подтвердили. В восемь вечера по Москве в Росавиации заявили, что Евгений Пригожин был в списке пассажиров потерпевшего крушение бизнес-джета. В 11 вечера в телеграм-канале ведомства опубликовали имена всех, кто должен был находиться на борту разбившегося самолета.
С Пригожиным, судя по манифесту, летел Уткин, а также Александр Тотмин, Сергей Пропустин, Евгений Макарян, Валерий Чекалов, Николай Матусеев.
Пригожин, судя по этому сообщению Росавиации, летел со своими соратниками и партнерами — так, Чекалов был владельцем связанной с Пригожиным компании, претендовавшей на контракты на добычу газа и нефти в Сирии в 2017 году. В июле 2023 Минфин США внес в санкционные списки Чекалова (как человека, связанного с Пригожиным). Наемниками ЧВК «Вагнер» в этой же базе значатся Евгений Макарян и Александр Тотмин. Самолетом управляли командир Алексей Левшин и второй пилот Рустам Каримов. В салоне работала бортпроводница Кристина Распопова.
Потерпевший крушение Embraer Legacy 600 с регистрационным номером RA-02795 связывали с Пригожиным в СМИ, самолет фиксировали в местах, куда, как было известно публично, прилетал основатель ЧВК «Вагнер». В 2019 году Минфин США ввел санкции в отношении этого самолета, тогда тот еще носил бортовой номер M-SAAN.
Стало известно, сколько россиян не могут выехать за границу из-за долгов
Почти 5 миллионов россиян не смогут выехать за рубеж в новогодние праздники. Причина — ограничения, наложенные из-за долгов. Такие данные привели в Федеральной службе судебных приставов (ФССП) России, сообщает ТАСС.
«Временные ограничения в праве выезда из Российской Федерации действуют в отношении более 4,9 млн должников», — заявили в ФССП.
Там также привели сравнительную статистику. В 2017 году перед Новым годом невыездными были 1,8 млн россиян, в 2018 году — 3 млн, в 2020 году — 4,1 млн. «Рекорд» был установлен в декабре 2022 года, тогда ограничение действовало в отношении 8 млн должников.
Только в Москве за 11 месяцев этого года было вынесено 742 тысячи постановлений, запрещающих должникам покидать страну. Более половины этих постановлений сейчас продолжают действовать.
Ранее в России запрет на выезд по причине долгов действовал шесть месяцев. В октябре 2023 года эту норму отменили, ограничение стало бессрочным.