Как делить уравнение на уравнение

Алгоритм деления «уголком» многочленов от одной переменной

Напомним, что разделить натуральное число a на натуральное число b – это значит представить число a в виде:

где частное c и остаток r – целые неотрицательные числа, причем остаток r удовлетворяет неравенству:

Если друг на друга делить многочлены, то возникает похожая ситуация.

Действительно, при выполнении над многочленами операций сложения, вычитания и умножения результатом всегда будет многочлен. В частности, при перемножении двух многочленов, отличных от нуля, степень произведения будет равна сумме степеней сомножителей.

Однако в результате деления многочленов многочлен получается далеко не всегда.

Говорят, что один многочлен нацело (без остатка) делится на другой многочлен , если результатом деления является многочлен.

Если же один многочлен не делится нацело на другой многочлен, то всегда можно выполнить деление многочленов с остатком , в результате которого и частное, и остаток будут многочленами.

Определение . Разделить многочлен a(x) на многочлен b(x) с остатком – это значит представить многочлен a(x) в виде

где многочлен c(x) – частное , а многочлен r(x) – остаток , причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:

Очень важно отметить, что формула

является тождеством, т.е. равенством, справедливым при всех значениях переменной x .

При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен меньшей степени в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.

Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком» , что представляет собой полную аналогию с тем, как это происходит при делении целых чисел.

К описанию этого способа деления многочленов мы сейчас и переходим.

Пример . Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен

Решение . Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:

пишем под делимым 2x 4 – x 3 + 5x 2 – 8x + 1 .

Если бы этот остаток был равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя ( в данном случае меньше 2), то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

пишем под первым остатком x 3 + 3x 2 – 8x .

Если бы этот остаток был бы равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя, то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

пишем под вторым остатком.

Как делить уравнение на уравнение

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАВЕНСТВ.

___________

РЕШЕНИЕ И СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ

§ 4. Дополнительные замечания о решении уравнений.

Выше было сказано, что обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же количество. Говоря это, мы понимаем возможность этих действий в том смысле, что, производя их над данным уравнением, мы получаем новое уравнение, совместное с данным. Заметим теперь, что это указание верно только в том случае, когда множитель или делитель есть или явное количество, или хотя и неявное, но не содержит в себе той самой неизвестной буквы, которая входит в уравнение. Если дано выражение, содержащее то же неизвестное, как и в уравнении, то, вообще говоря, нельзя ни помножать уравнение на это выражение, ни делить на него. Поясним это на примерах:

Возьмем уравнение х = 2, которое очевидно имеет один только корень 2. Если мы умножим обе части его на х, то новое уравнение х 2 =2х не будет уже совместно с данным, потому что кроме прежнего корня 2, оно будет иметь еще корень 0, что обнаруживается и прямо из самаго уравнения, а также при решении полученного уравнения, если заменить его уравнением х 2 —2х=0 и написать последное в виде х(х—2)=0. Подобно этому, умножая данное уравнение х = 2 на выражение х—1, получаем новое уравнение
х 2 —2х=2х —2, совместное с уравнением (х—1)(х—2)=0 и имеющее два корня, прежний 2 и новый 1. Вообще при умножении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, в это уравнение вводятся посторонние корни, а именно те, которые обращают множитель в нуль.

ІІонятно, наоборот, что если мы имеем, напр., уравнение х 2 =3х , корни которого суть 0 и 3 и сократим его на х, то полученное от этого сокращеиия уравнение не будет совместно с данным, потому что оно имеет только один корень 3. Подобно этому, имея уравнение (х—2) 2 =2х—4, корни которого суть 2 и 4, и сократив обе части на х—2, мы теряем корень 2 и получаем уравнение х—2 = 2, имеющее только один корень 4. Вообще при со-кращении обеих частей уравнения на их общий множитель, содержащий неизвестное, теряются корни уравнения и именно те, которые обращают делитель в нуль.

В курсе алгебры доказывается, что уравнение можно умножать на множитель, содержащий неизвестное, только в том случае, когда этот множитель входит в знаменатель дроби, получившейся от соединения всех дробей, входящих в уравнение, в одну дробь, и после окончательного сокращения этой последней.Так, если уравнение имеет вид А+ В /_С=0, где А есть совокупность всех целых членов, а В /_С есть несократимая дробь, то, умножая на С, получим уравнение АС+В=0, совместное с данным. В противном случае, если дробь В /_С сократима, то необходимо сократить ее раньше уничтожения ее знаменателя, чтобы не внести в уравнение постороннего ему корня.

Обратно, только тогда можно разделить обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, когда от этого получатся такие дроби, которые, будучи соединены все в одной части уравнения, дают в результате дробь, не сокращающуюся ни на какой множитель, содержащий неизвестное. В противном случае нужно при сокращении уравнения на делитель, заметить тот корень, который теряется при этом сокращении, и считать его в числе корней данного уравнения.

В нижеследующих задачах звездочкой обозначены те уравнения, при решении которых нужно принимать во внимаиие сделанные выше указания. Остальные задачи можно решать по обыкновенным правилам.

Деление многочленов столбиком

Для любых многочленов f(x) и g(x) , g(x) &#8800 0, существуют единственные полиномы q(x) и r(x) , такие что f(x)/g(x)=q(x)+r(x)/g(x) .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Инструкция . Для получения решения в онлайн режиме необходимо ввести числитель и знаменатель.

Пример деления в столбик . Найти частное деления и остаток многочлена:

x 3 -12x 2 -42	x -3
x 3 -3x 2	x 2
-9x 2 -42

x 3 -12x 2 -42	x -3
x 3 -3x 2	x 2 -9x
-9x 2 -42
-9x 2 + 27x
-27x -42

x 3 -12x 2 -42	x -3
x 3 -3x 2	x 2 -9x -27
-9x 2 -42
-9x 2 + 27x
-27x -42
-27x + 81
-123

Целая часть: x 2 -9x -27
Остаток: -123

Таким образом, ответ можно записать как:
см. также и другие примеры решение столбиком.

Пример №1 . Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен:
P(x)=2x 5 +3x 3 -x 2 +4x+1, Q(x)=2x 2 -x+1

Пример №2 . Не производя деление найти остаток от деления многочлена на двучлен:
P(x)=-x 4 +6x 3 -2x 2 +x-2, Q(x)=x-6
Решение. Выделим общий множитель (x-6).
-x 3 (x-6)-2x(x-6)-12x+x-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-66-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-68
Остаток от деления: -68/(x-6)

• Задать вопрос или оставить комментарий
• Помощь в решении
• Поиск
• Поддержать проект

Деление многочленов

Кубические уравнения — уравнения, содержащие 3ю степень вида:

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

Чтобы решить кубические уравнения и уравнения с более высокими степенями нужно воспользоваться методом Деления многочленов.

Во-первых, нужно вычислить нули методом подбора, затем, используя деление многочленов, нужно преобразовать уравнение в квадратное.

Способ

1. Найти нули $x_N$
2. Деление многочленов: разделите уравнение на $(x-x_N)$
3. Решите квадратное уравнение

Подсказка

Квадратное уравнение, полученное после деления многочленов, можно решить с помощью квадратной формулы.

Пример

Решите кубическое уравнение: $x^3-19x-30=0$

Найдем 0

Первый 0 находится путем подбора.
Используем разные значения для $x$, пока не получим 0.
$x^3-19x-30=0$

$x=1$:
$1^3-19\cdot1-30=-48$ $\neq0$ =>не 0

Деление многочленов

Функция делитcя на $(x-x_1)$. Для этого иcпользуетcя деление многочленов.

Сначала вычиcлим $x^3:x$ и выпишем ответ.
Теперь $x^2$ умножаетcя на $(x+2)$. Решение пишем во втором ряду и оно приобретает минуc.
Оба ряда cейчаc cкладываютcя c остатком, выписанным внизу.
Как и раньше, теперь вычисляем $-2x^2:x$. Пишем результат справа и умножаем его на $(x+2)$.
Обе линии снова вычитаются.
В итоге, $-15x:x$ было вычислено, умножено и снова вычтено. Остаток 0; деление многочленов выполнено.

Решите квадратное уравнение

Новое квадратное уравнение можно решить, например, используя pq-формулу.
$x^2-2x-15=0$