Как найти общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым

5.5.3. Как найти прямую, содержащую общий перпендикуляр?

в) Эта задачка посложнее будет. «Чайникам» рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить – дело в том, что по сложности эту задачу надо бы поставить последней в параграфе, но по логике изложения она должна располагаться здесь. …Впрочем, танцуйте читайте все! 🙂

Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.

Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых – это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:

Вот наш красавец: – общий перпендикуляр прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.

Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу….

Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.

Решение оформим по пунктам:

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО. Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам соответствует вполне конкретное значение параметра, обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:
, или:

Жизнь налаживается, одна неизвестная – это всё-таки не три неизвестных.

2) Аналогичные действия проведём со второй прямой. Перепишем её уравнения в параметрическом виде:

Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:
, или:

3) Запишем вектор . Ну и что, что нам не известны координаты точек – это же не мешает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала :

4) Вектор , как и ранее найденный вектор , является направляющим вектором прямой . Таким образом, они коллинеарны, и один вектор можно линейно выразить через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:
или покоординатно:

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера. Но так извращаться мы, конечно, не будем. Выразим из 3-го уравнения и подставим эту «лямбду» в первые два уравнения:

Из 2-го уравнения выразим и подставим в 1-е уравнение:
, а «лямбда» нам не потребуется.

То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.

5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения в наши точки:

Сам вектор нам не нужен, так как уже найден его коллега .

И после длинного пути всегда интересно выполнить проверку. Подставим координаты точки в уравнения :

– получены верные равенства.

Подставим координаты в уравнения :

– получены верные равенства.

Вывод: найденные точки действительно принадлежат соответствующим прямым.

6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой по точке (можно взять ) и направляющему вектору :

В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Как найти общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым

Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними.
Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости

Скрещивающиеся прямые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях, и поместить их в одну плоскость невозможно.

Часто в задачах требуется найти угол между скрещивающимися прямыми. Как это сделать?
Угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, найти нетрудно. Можно измерить его транспортиром. Можно найти из какого-нибудь треугольника по теореме синусов или косинусов.

Пусть скрещивающиеся прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Проведем в плоскости β прямую с, параллельную прямой а. Угол между прямыми а и b равен углу между прямыми b и с.

Можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми — это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Другими словами, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат.

Дадим еще два полезных определения.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из любой точки этой прямой.

Заметим, что расстояние от точки до плоскости или угол между скрещивающимися прямыми иногда проще найти с помощью координатно-векторного метода.

Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых

Определение 3.6.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из этих прямых.

Теорема 3.12.

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

Пусть и – скрещивающиеся прямые (чертеж 3.4.1). Через прямую проведем плоскость , параллельную прямой , а через прямую – плоскость , перпендикулярную плоскости . Пусть . По теореме о следе . Пусть . В плоскости проводим перпендикуляр к прямой . Заметим, что – общий перпендикуляр прямых и . Действительно, по теореме 3.9 имеем , следовательно, . Кроме того, по построению. Пусть – отрезок с концами на данных прямых и ( ), . Поскольку , то и . Кроме того, , следовательно, . Видно, что , то есть – кратчайшее расстояние между точками прямых и . Это расстояние равно расстоянию между прямой и плоскостью . Ранее было доказано, что пара скрещивающихся прямых определяет единственную пару параллельных плоскостей. Упомянутое расстояние и есть расстояние между этими плоскостями.

Две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

Пусть и – данные скрещивающиеся прямые. Выберем на прямой точку и на прямой точку . Через точки и проведем прямые и соответственно такие, что Образуется две пары пересекающихся прямых параллельных прямым другой пары. По признаку параллельности плоскостей эти пары прямых определяют две параллельные плоскости, в которых и лежат данные скрещивающиеся прямые.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Пусть $L_1: \frac=\frac=\frac$ и $L_2: \frac=\frac=\frac$ — две скрещивающиеся прямые. Расстояние $\rho(L_1, L_2)$ между прямыми $L_1$ и $L_2$ можно найти по следующей схеме:

1) Находим уравнение плоскости $P,$ проходящей через прямую $L_1,$ параллельно прямой $L_2:$

Плоскость $P$ проходит через точку $M_1(x_1, y_1, z_1),$ перпендикулярно вектору $\overline n=[\overline s_1, \overline s_2]=(n_x, n_y, n_z),$ где $\overline s_1=(m_1, l_1, k_1)$ и $\overline s_2=(m_2, l_2, k_2)$ — направляющие вектора прямых $L_1$ и $L_2.$ Следовательно, уравнение плоскости $P: n_x(x-x_1)+n_y(y-y_1)+n_z(z-z_1)=0.$

2) Расстояние между прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от любой точки прямой $L_2$ до плоскости $P:$

Нахождение общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Для нахождения общего перпендикуляра прямых $L_1$ и $L_2,$ необходимо найти уравнения
плоскостей $P_1$ и $P_2,$ проходящих, соответственно, через прямые $L_1$ и $L_2,$ перпендикулярно плоскости $P.$

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0;$

Тогда уравнение общего перпендикуляра имеет вид

Пример.

2.214.

а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1;$

в) вычислить расстояние между прямыми;

г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым $L_1$ и $L_2.$

Решение.

а) Если прямые $L_1$ и $L_2$ лежат в одной плоскости, то их направляющие вектора $\overline(3, 4, -2),$ $\overline(6, -4, -1),$ и вектор $\overline l,$ соединяющий произвольную точку прямой $L_1$ и произвольную точку прямой $L_2$ компланарны. В качестве такого вектора $\overline$ можно выбрать $\overline(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1).$ Проверим будут ли эти вектора компланарны.

Следовательно, вектора не компланарны и прямые не лежат в одной плоскости.

б) Запишем уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1.$ Эта плоскость проходит через точку $M_2(21, -5, 2)$ перпендикулярно вектору $\overline n=[\overline s_1, \overline s_2].$

Таким образом, вектор $\overline n$ имеет координаты $\overline n(-12, -9, -36).$

Находим уравнение плоскости $$P:\,\, -12(x-21)-9(y+5)-36(z-2)=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow-12x-9y-36z+252-45+72=0\Rightarrow -12x-9y-36z+279=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 4x+3y+12z-93=0.$$

Ответ: $4x+3y+12z-93=0.$

в) Расстояние между прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от любой точки прямой $L_1$ до плоскости $P:$

Ответ: $\frac.$

г) Найдем уравнения плоскостей $P_1$ и $P_2,$ проходящих, соответственно, через прямые $L_1$ и $L_2,$ перпендикулярно плоскости $P.$

Имеем, $M_1=(-7, -4, -3)\in P_1,$

Таким образом, $$P_1: 54(x+7)-44(y+4)-7(z+3)=54x-44y-7z+378-176-21=$$ $$=54x-44y-7z+181=0.$$

Аналогично находим $P_2:$

Имеем, $M_2=(21, -5, 2)\in P_2,$

Таким образом, $$P_1: -45(x-21)-76(y+5)+34(z-2)=-45x-76y+34z+945-380-68=$$ $$=-45x-76y+34z+497=0.$$

Ответ: $\left\54x-44y-7z+181=0;\\ -45x-76y+34z+497=0.\end\right. $

Домашнее задание.

2.215.

а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися;

б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_2$ параллельно $L_1;$

в) вычислить расстояние между прямыми;

г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым $L_1$ и $L_2.$

Ответ: б) $4x+12y+12z+76=0;$

г) $\left\53x-7y-44z-429=0;\\ 105x-23y-48z+136=0.\end\right. $

Высшая математика. Практика.

• Матрицы, определители и системы линейных уравнений.
• Векторная алгебра
• Алгебраические линии первого порядка на плоскости и в пространстве.
• Алгебраические линии второго порядка на плоскости и в пространстве.
• Некоторые понятия математической логики теории множеств.
• Комплексные числа
• Предел функции.
• Дифференцируемость функции, ее дифференциал и производная.
• Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
• Графики функций и кривые
• Неопределенный интеграл.
• Определенный интеграл и его применение.
• Числовые ряды.
• Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
• Экстремумы функций нескольких переменных.
• Двойные интегралы
• Дифференциальные уравнения

Таблицы

• Таблица производных
• Таблица производных сложных функций
• Таблица производных высших порядков
• Таблица интегралов
• Формулы Тейлора
• Греческий алфавит
• Таблица оригиналов и изображений.
• Сравнение функций O(f) и o(f).
• Тригонометрическая таблица

Книги

Построение перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым

УО «МГУП»
Кафедра ПМ и ИГ
«Исследование нескольких
вариантов построения
перпендикуляра к двум
скрещивающимся прямым»
Авторы: Ерёмин А.А. , Костусев М.В. гр. АТПП151
Научный руководитель:
старший преподаватель Хростовская
С.П.

2.

ДАНО:
Две
скрещивающие
прямые АВ и СD
Построить:
Не преобразуя
чертеж
построить
проекции прямой,
перпендикулярной
двум заданным
прямым

3.

Данную задачу можно решить
двумя способами (не преобразуя
чертеж),
применив теоремы плоскости:
1) На основе параллельности и
перпендикулярности прямой и плоскости, а
также
пересечения прямой с плоскостью, этой
прямой.
2) На основе перпендикулярности и
пересечения прямой с плоскостью.
3) Способом пересечения плоскостей
общего положения, заданных следами.
4)
преобразуя чертеж, используя

4.

Вариант 1
Не преобразуя чертеж
построить проекции
прямой MN перпендикулярной
двум скрещивающимся
прямым АВ и СD
Алгоритм решения:
1) Из произв. точки прямой АВ
(т.В)
проводим прямую l II СD
пл.Г (l II СD )
2) В пл. Г (АВ ∩ l ) проводим f и
h.
Из произв. точки прямой СD
(т.К) проводим прямую n
пл. Г
(n2 f2 , n1 h1 )
3) пл. Г ∩ n → F
4) Через т. F проводим
прямую g II СD II l .
Прямая g ∩ АВ → М
5) Через т. М проводим
прямую II KF .
Эта прямая ∩ СD → N

5.

1.
Из произв. точки
прямой АВ (т.В)
проводим прямую l
II СD.
пл.Г (l II СD )

6.

2.1
В пл. Г (АВ ∩ l )
проводим f и h

7.

2.2
Из произв. точки
прямой СD (т.К)
проводим прямую
n пл. Г
(n2 f2 , n1
h1 )
3.
пл. Г ∩ n → F

8.

4.1
Через т. F
проводим
прямую g II СD
4.2
Прямая g ∩ АВ →
М

9.

5.
Через т. М проводим
прямую II KF .
Эта прямая ∩ СD → N
6.
MN –искомая
прямая
(одновременно АВ и СD)

10.

Вариант 2
Не преобразуя чертеж
построить проекции
прямой MN перпендикулярной
двум скрещивающимся
прямым АВ и СD
Алгоритм решения:
1) Из произвольной точки
прямой АВ (т.А) проводим пл.
Г (f ∩ h) СD
пл. Г ∩ СD → K
2) Через т. К проводим
пл. Н(m ∩ n ) АВ
пл. Н ∩ АВ → М
3) Через т. М проводим
пл. Р (g ∩ l ) II пл. Г (f ∩ h)
пл. Г (f ∩ h) ∩ СD → N
4) Прямая MN –искомая
прямая
(одновременно
АВ и СD )

11.

1.1 Из произвольной точки
прямой АВ
(т.А) проводим пл. Г (f ∩ h)
СD,
где f2 С2 D2
h1 С1 D 1
1.2 пл. Г ∩ СD → K

12.

2.1 Через т. К
проводим
пл. Н(m ∩ n ) АВ
2.2 пл. Н ∩ АВ →
М

13.

3.1 Через т. М проводим
пл. Р (g ∩ l ) II пл. Г (f ∩ h)
3.2 пл. Г (f ∩ h) ∩ СD
→N
4. Прямая MN –искомая
прямая

14.

4) Прямая MN –искомая
прямая
(одновременно
АВ и СD )

15.

Вариант 3
Не преобразуя чертеж
построить проекции
прямой,
перпендикулярной
двум заданным прямым
АВ и СD
РЕШЕНИЕ:

16.

Вариант 4
Преобразуя чертеж
(заменой плоскостей
проекций) построить
проекции прямой,
перпендикулярной
двум заданным
прямым АВ и СD
РЕШЕНИЕ:

17.

Таким образом,
на первый взгляд задана простая задача.
Но мы сделали выводы, что для участия в
олимпиаде и в исследовательской работе
нужны не только глубокие теоретические
знания по начертательной геометрии, но и
индивидуальный творческий подход к
решению любой задачи.