Как перевернуть дробь в неравенстве

Как перевернуть дробь

Под словосочетанием «перевернуть дробь» можно понимать различные математические преобразования. Так или иначе, в результате этих преобразований числитель определенным образом должен меняться местами с знаменателем. В зависимости от вида такого преобразования число может как меняться, так и оставаться прежним.

Статьи по теме:

• Как перевернуть дробь
• Как делить число на дробь
• Как делить дробь на дробь

Вам понадобится

• Знание правил преобразования дробей

Инструкция

Самое тривиальное преобразование — это простой «переворот» дроби или перестановка числителя и знаменателя местами. В результате получится число, обратное исходному, а произведение этих двух чисел будет давать единицу. Пример: (2/5)*(5/2) = 1.

Как видно из предыдущего примера, если разделить единицу на какое-либо число, то мы получим число, обратное ему. Но деление числа единицы на число — это число х в степени -1. Следовательно, (x/y) = (y/x)^(-1). Пример: (2/3) = (3/2)^(-1).

Иногда в результате вычислений можно получить громоздкие, «многоэтажные» дроби. Для упрощения вида дроби их тоже нужно перевернуть. Переворачиваются такие дроби по следующим правилам: x/(y/c) = (x*c)/y, (x/y)/c = x/(y*c), (x/y)/(b/c) = (x*c)/(y*b).

Полезно поменять вид дроби и в случае, когда в знаменателе присутствует иррациональное число. Для этого числитель и знаменатель этой дроби нужно умножить на это иррациональное число. Тогда иррациональное число окажется в числителе дроби. Пример: 1/sqrt(2) = sqrt(2)/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2.Источник: «Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы», Д.И. Аверьянов, П.И. Алтынов, И.И. Баврин и др., 1998

Двойные неравенства. 2 способа решения

Двойное неравенство по своей сути – это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому их всегда можно представить в виде системы .

Но делать это нужно не всегда.

2 способа решения двойного неравенства

1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных , то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду \([число]\)\(

Пример: Решите двойное неравенство:

Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям — числа.
Для того чтобы «оголить» икс нужно избавиться от пятерки и тройки. Вычтем \(5\) из всего неравенства.

Теперь нам мешает \(3\). Поделим все три части неравенства на \(3\).

Готово, наш икс «голый». Можно записывать ответ.

2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.

Пример: Решите двойное неравенство:

В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные –значит переходим к системе.

Решаем обычные линейные неравенства : все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов — в правую.

«Оголим» иксы, поделив верхнее неравенство на \((-1)\), нижнее на \((-5)\). Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число.

Отметим на числовой оси оба решения

Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т.е. интервал , где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ.

Линейные неравенства

Если нет, то лучше скорей отправляйся исправлять это недоразумение.

Без усвоенной этой темы спокойное плавание в линейных неравенствах не гарантировано.

А если тебе все с ними понятно, вперед, покорять неравенства.

Линейные неравенства — коротко о главном

Линейными неравенствами называются неравенства вида:

\( \displaystyle ax+b>0\)
\( \displaystyle ax+b\ge 0\)
\( \displaystyle ax+b\le 0\)

где \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) – любые числа, причем \( \displaystyle a\ne 0\); \( \displaystyle x\) — неизвестная переменная.

Правила преобразования неравенств:

Правило 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак \( \displaystyle >\) на знак \( \displaystyle

Что такое линейное неравенство

Неформальное объяснение

Если ты ознакомился с линейными уравнениями, то уже знаком с Васей, который раздавал яблоки своим друзьям.

Так вот, предположим, что у Васи больше, чем \( \displaystyle 12\) яблок. Все свои яблоки он хочет раздать поровну троим друзьям. По сколько яблок получит каждый друг?

Если обозначить через \( \displaystyle x\) количество яблок, которое достанется каждому из трех друзей, то получим следующее линейное неравенство:

Дальше мы делим обе части составленного неравенства на \( \displaystyle 3\) и получаем:

Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем \( \displaystyle 4\) яблока.

Ну вот и справились с неравенством! Сейчас я введу формализованное определение линейного неравенства и будем разбираться с ним дальше.

Определение линейного неравенства:

Линейные неравенства — это неравенства вида:

\( \displaystyle ax+b<0\)

\( \displaystyle ax+b\ge 0\)

\( \displaystyle ax+b\le 0\)

где \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) – любые числа, причем \( \displaystyle a\ne 0\); \( \displaystyle x\) — неизвестная переменная.

\( \displaystyle \fracx\ +8\ge 0\)

\( \displaystyle 4x\le -\frac\)

Все приведенные выше неравенства являются линейными.

Во всех них «сидит» очень важная особенность: в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня.

Чтобы лучше распознавать линейные неравенства, настоятельно рекомендую тебе еще раз заглянуть в раздел «Скрытые» линейные уравнения или…» темы «Линейные уравнения».

Линейные неравенства обладают не меньшим талантом «скрываться».

Чтобы не попасть впросак и с легкостью преобразовывать любые неравенства, надо знать и успешно применять 3 очень важных правила. Эти знания здорово упростят тебе жизнь на пути решения неравенств.

3 правила преобразования неравенств

Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения.

Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Для упрощения процесса нахождения всех корней неравенства проводятся равносильные преобразования, то есть проводится замена данного неравенства более простым, при этом не должны потеряться никакие решения и не должно возникнуть никаких посторонних корней.

В общем, это все пока только слова. Давай разбираться прямо на правилах.

Правило №1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).

\( \displaystyle 3-4>7\text< >\Rightarrow 3x>7+4\Rightarrow 3x>11\)

Таким образом, можно с уверенностью сказать, что \( \displaystyle 3-4>7\) равносильно \( \displaystyle 3x>11\).

Или вот такой пример:

\( \displaystyle 12+4x\le 7-3x\)

В теме «Линейные уравнения» говорилось, что для удобства принято переносить слагаемые с переменной в левую часть, а остальные в правую – так и поступим:

\( \displaystyle 12+4x\le 7-3x\)

\( \displaystyle 12+4x\le 7-3x\)

\( \displaystyle 4x+3x\le 7-12\)

\( \displaystyle 7x\le -5\)

Здесь все должно быть понятно, перейдем к следующему правилу.

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Вернемся к нашим двум предыдущим примерам.

В первом примере мы остановились на \( \displaystyle 3x>11\). Применим правило 2, разделив обе части неравенства на положительное число \( \displaystyle 3\):

Заметил, знак неравенства как был «больше», так и сохранился? Все это потому, что мы делили на положительное число.

Давай закрепим на втором примере, где мы остановились на \( \displaystyle 7x\le -5\). Разделим обе части неравенства на \( \displaystyle 7\):

\( \displaystyle 7x\le -5\)

\( \displaystyle x\le -\frac\)

Делили на положительное число \( \displaystyle 7\), поэтому знак неравенства сохранился.

Почему так акцентируется внимание на том, что знак неравенства \( \displaystyle \left( \le \right)\) сохраняется?

А вот потому, что в отличие от преобразований линейных уравнений, преобразования линейных неравенств имеют свою особенность, можно даже сказать «подводный камень». Что это за «камень» должно прояснить правило 3.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный

Заметил важное отличие от правила 2? Все верно:

• При умножении/делении на положительное число знак неравенства сохраняется
• При умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный

Делим на отрицательное число \( -4\), тогда знак неравенства меняется на противоположный:

Или вот такой пример:

\( \displaystyle -7x\ge -8\)

Делим обе части на отрицательное число \( \displaystyle -7\), меняя при этом знак неравенства на противоположный:

\( \displaystyle -7x\ge -8\)

\( \displaystyle x\le \frac\)

Усвоил? Тогда давай закреплять на примерах.

Пять примеров для самостоятельной работы

Как проводить действия с дробями

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество просмотров этой статьи: 56 418.

В этой статье:

Действия с дробями не такие сложные, как кажутся, особенно если знать, что делать. Начните с изучения терминологии и основ, а затем перейдите к сложению, вычитанию, умножению и делению дробей. Как только вы поймете, что такое дроби и как с ними работать, вы будете быстро решать выражения с дробями.

Метод 1 из 2:

Основные понятия

• Например, дана дробь 3/5. Здесь 3 — это числитель (то есть даны 3 части целого), а 5 — это знаменатель (то есть целое разделено на 5 частей). Другой пример: дробь 7/8. Здесь 7 — числитель, а 8 — знаменатель.

• Например, чтобы преобразовать 7 в дробь, запишите 7/1.

• Например, дана дробь 15/45. Здесь НОД = 15, поскольку и 15, и 45 делятся на 15. Разделите: 15/15 = 1 — это новый числитель; 45/15 = 3 — это новый знаменатель. Таким образом, дробь 15/45 упрощается до 1/3.

• Например, дано смешанное число 1 2/3. Умножьте 3 на 1 и получите 3. Прибавьте 3 к 2 и получите 5 (это новый числитель). Таким образом, 1 2/3 = 5/3.

Совет: преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби, если вы их умножаете или делите.

• Например, дана неправильная дробь 17/4. Разделите: 17 ÷ 4 = 4 ост. 1 (чтобы найти остаток, умножьте 4 * 4 = 16, а затем вычтите 17 – 16 = 1). Таким образом, 17/4 = 4 1/4.

Метод 2 из 2:

Операции с дробями

• Например, дано выражение 5/9 + 1/9. Здесь просто сложите числители 5 + 1 = 6. Таким образом, 5/9 + 1/9 = 6/9 = 2/3.

• Например, дано выражение 6/8 — 2/8. Здесь вычтите 6 – 2 = 4. Таким образом, 6/8 — 2/8 = 4/8 = 1/2.

• Например, дано выражение 1/2 + 2/3. Начните с нахождения общего кратного. В нашем примере общее кратное равно 6, потому что 6 делится и на 2, и на 3. Чтобы привести дробь 1/2 к знаменателю 6, умножьте числитель и знаменатель на 3: 1 x 3 = 3 и 2 х 3 = 6; получится новая дробь 3/6. Чтобы привести дробь 2/3 к знаменателю 6, умножьте числитель и знаменатель на 2: 2 x 2 = 4 и 3 x 2 = 6; получится новая дробь 4/6. Теперь сложите числители: 3/6 + 4/6 = 7/6. Поскольку это неправильная дробь, ее можно преобразовать в смешанное число 1 1/6.
• Другой пример: 7/10 — 1/5. Здесь общим кратным является 10, потому что 10 делится на 10 и на 5. Чтобы привести дробь 1/5 к знаменателю 10, умножьте числитель и знаменатель на 2: 1 x 2 = 2 и 5 x 2 = 10; получится новая дробь 2/10. Обратите внимание, что дробь 7/10 уже имеет общий знаменатель. Теперь вычтите числители: 7/10 – 2/10 = 5/10 = 1/2.

• Например, дано выражение 2/3 * 7/8. Перемножьте числители: 2 * 7 = 14. Затем перемножьте знаменатели: 3 * 8 = 24. Таким образом, 2/3 * 7/8 = 14/24 = 7/12 (если разделить числитель и знаменатель на 2).

• Например, дано выражение 1/2 ÷ 1/6. Переверните дробь 1/6 и получите 6/1. Теперь перемножьте: 1 x 6 = 6 (это новый числитель) и 2 x 1 = 2 (это новый знаменатель). Итак, 1/2 ÷ 1/6 = 6/2 = 3.

• Внимательно прочитайте задачу (по крайней мере дважды), чтобы понять, что в ней нужно найти.
• Спросите у учителя, нужно ли преобразовывать неправильные дроби в смешанные числа и/или упрощать дроби.
• Чтобы найти обратное значение целого числа, запишите это число под 1. Например, 5 превратится в 1/5.
• Знаменателя, который равен нулю, не бывает, потому что на 0 делить нельзя.

Дополнительные статьи

найти среднее значение, моду и медиану

найти квадратный корень числа вручную

извлечь квадратный корень без калькулятора

вычислить размах

переводить из двоичной системы в десятичную

решать кубические уравнения

найти множество значений функции

вычислить общее сопротивление цепи

найти область определения и область значений функции

избавиться от иррациональности в знаменателе

рассчитать относительную частоту

вычесть дробь из целого числа

переводить из десятичной системы счисления в двоичную

вычислить вероятность

1. ↑https://medium.com/i-math/the-no-nonsense-straightforward-da76a4849ec
2. ↑https://medium.com/i-math/the-no-nonsense-straightforward-da76a4849ec
3. ↑http://www.math.com/school/subject1/lessons/S1U4L2GL.html
4. ↑https://sciencing.com/solve-math-problems-fractions-7964895.html
5. ↑https://sciencing.com/solve-math-problems-fractions-7964895.html
6. ↑https://www.bbc.co.uk/bitesize/articles/z9n4k7h
7. ↑https://www.bbc.co.uk/bitesize/articles/z9n4k7h
8. ↑https://www.bbc.co.uk/bitesize/articles/z9n4k7h
9. ↑http://www.math.com/school/subject1/lessons/S1U4L4GL.html

Об этой статье

Штатный автор wikiHow

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 56 418.