№946 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Рымкевич 10-11 класс, Дрофа:
Амплитуда силы тока в контуре 1,4 мА, а амплитуда напряжения 280 В. Найти силу тока и напряжение в тот момент времени, когда энергия магнитного поля катушки равна энергии электрического поля конденсатора.
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
Как найти напряжение в момент времени
15.2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЕЙШЕЙ RC -ЦЕПИ
При анализе подключения RC -цепи к источнику напряжения u 0 ( t ) (рис. 15.1, а ), согласно сказанному выше, из уравнений, составленных для цепи после коммутации,
при замкнутом ключе
исключим ток и сведем их к одному уравнению относительно переменной состояния u C :
Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид суммы частного решения неоднородного и общего решения однородного уравнений
Для нахождения второго из них составим характеристическое уравнение RC l + 1 = 0, корнем которого является l = – 1/ RC . Общее решение однородного уравнения свободная составляющая напряжения u » C соответствует цепи с исключенным источником
где A пока неопределенная константа; t = RC величина, имеющая размерность времени, характеризующая скорость протекания переходного процесса, так называемая постоянная времени .
Характер частного решения вынужденной составляющей u ‘ C определяется видом воздействующего на цепь напряжения источника u 0 ( t ). В простейших случаях подключения цепи к постоянному источнику u 0 ( t ) = U 0 = const и замыкания конденсатора на резистор, когда u 0 ( t ) = 0, составляющую u ‘ C можно найти, руководствуясь следующими соображениями. Вид общего решения u C = u ‘ C + A e – t / t показывает, что u ‘ C представляет собой значение напряжения на конденсаторе, которое будет достигнуто в установившемся режиме после окончания переходного процесса. Действительно, при t ® ¥ u C ( t ) ® u ‘ C , так как свободная составляющая u » C с течением времени затухает. Рассмотрим перечисленные случаи.
1. Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения u 0 ( t ) = U 0 . К концу переходного процесса на конденсаторе установится напряжение источника U 0 , т. е. u ‘ C = U 0 . Отсюда
Для определения постоянной A используем начальное условие. Согласно закону коммутации, напряжение на конденсаторе в момент замыкания ключа остается непрерывным. Поэтому если в исходном состоянии до замыкания ключа конденсатор не был заряжен ( u C (– 0) = 0), то это же нулевое значение u C сохранит и непосредственно после замыкания. Из последнего выражения при t = 0 имеем
Отсюда найдем A = – U 0 и запишем окончательно
u C (t) = U0(1 — e — t/ t ).
Из исходных уравнений цепи получим для тока:
Характер изменения тока и напряжения при подключении RC -цепи к источнику постоянного напряжения изображен на рис. 15.1, б .
Значение тока, содержащее лишь свободную составляющую, максимально в начальный момент времени, когда оно скачком достигает значения U 0 / R , и все напряжение источника приложено к резистору. По мере зарядки конденсатора напряжение на нем повышается, это ведет к соответственному уменьшению тока в цепи. Скорость этих процессов определяется постоянной времени t . Она определяет время, за которое происходила бы зарядка конденсатора, если бы скорость зарядки сохранялась постоянной и равной ее значению в начале процесса (см. рис. 15.1, б ). Так как скорость зарядки замедляется по мере увеличения напряжения, то за время, равное постоянной времени t = t , свободные составляющие уменьшаются по сравнению со своим начальным значением в e » 2,718 раза. За время t = 3 t свободные составляющие затухают в e 3 » 20,09 раза, а за время t = 5 t в е 5 » 148 раз.
2. Разряд конденсатора на резистор (рис. 15.2, а ).
Для расчета тока при разряде и напряжения u C исходном уравнении следует положить u 0 ( t ) = 0, что приводит его к однородному уравнению:
а напряжения и токи содержат лишь свободные составляющие. Поэтому его общее решение имеет вид
где константы A и t сохраняют прежний смысл.
Для определения значения A используем начальное условие значение напряжения u C (0) = U 0 , до которого конденсатор был заряжен к моменту замыкания ключа. При t = 0 имеем
и окончательно для напряжения u C запишем
Значение тока разряда определим из исходных уравнений
Соответствующие кривые изображены на рис. 15.2, б . Напряжение на конденсаторе непрерывно в момент коммутации и уменьшается по экспоненциальному закону от начального значения U 0 . Скорость протекания разряда определяется постоянной времени t = RC .
3. Включение RL -цепи к источнику синусоидального напряжения u 0 ( t ) = U m 0 sin ( w t + y ). В этом случае общие уравнения переходного процесса сохраняются; для напряжения u C имеем уравнение
Его общее решение имеет ту же форму, что и ранее:
Теперь для определения частного решения u ‘ C рассмотрим установившийся синусоидальный процесс при t ® ¥ , когда свободная составляющая u » C исчезает. Для определения напряжения u ‘ C ( t ) воспользуемся комплексным методом. Передаточная функция рассматриваемой цепи
где q = – arctg ( w RC ), а амплитуда напряжения источника . Множитель, учитывающий начальную фазу y , здесь не опущен, так как за начало отсчета t = 0 принимается момент коммутации замыкания ключа, а фаза y в этот момент может иметь произвольное значение.
Запишем далее выражение комплексной амплитуды напряжения на конденсаторе
и его мгновенное значение u ‘ C ( t )
где амплитуда установившегося напряжения на конденсаторе. Теперь для определения значения постоянной A в общем решении имеем условие
Если в момент включения конденсатор не был заряжен, то
Это позволит записать окончательно
Значения тока в цепи определим дифференцированием
где I m = U mC w C амплитуда тока в цепи в установившемся режиме.
Оба выражения для u C и i в общем случае имеют периодическую вынужденную (первое слагаемое) и апериодическую свободную составляющие (второе слагаемое). При этом характер переходного процесса существенно зависит от двух факторов начальной фазы напряжения источника в момент включения y и соотношения частоты w и параметров цепи, выражаемого безразмерным множителем wt = w RC = R / X C . Проанализируем характерные ситуации.
Если в выражении для постоянной A аргумент синуса y + q = y – arctg wt равен нулю, то и A = 0, т. е., если включение цепи при нулевом начальном условии производится в момент, когда y = arctg wt , то переходный процесс в цепи вообще не возникает, а сразу устанавливается синусоидальный режим.
С другой стороны, влияние начальной фазы в момент включения на процесс наиболее сильно, если рассмотренный аргумент синуса y + q = p /2. В этом случае апериодическая составляющая максимальна, и выражения для u C и i после преобразования тригонометрических функций принимают вид:
Соответствующие зависимости изображены на рис. 15.3, а , б , где также отдельно приведены периодическая u ‘ C и апериодическая u » C составляющие. Последняя построена для двух значений параметра wt .
При больших wt влияние апериодической составляющей существенно в течение ряда начальных периодов процесса результирующая кривая напряжения на конденсаторе u C имеет несимметричное относительно оси абсцисс расположение экстремумов, которые постепенно приближаются к симметричной кривой u ‘ C установившегося режима. Вследствие этого экстремальные значения этого напряжения u max в начальные периоды могут превышать амплитуду установившегося значения. Это наиболее сильно проявляется в первом полупериоде. Так, при w t = p (или t = p / w ) имеем u C ( p / w ) = U mC (– 1 – e – p / wt ), т. е. | u max |/ U mC @ 1 + e – p / wt . Отсюда следует, что максимальное значение u max не может превысить амплитуду установившегося режима U mC более чем в два раза.
Если же, наоборот, значение wt малó постоянная времени существенно меньше периода, то оказывается заметным всплеск тока в момент включения, показанный на рис. 15.3, б штриховой линией. Согласно приведенному выше выражению для i ( t ), этот всплеск может многократно превысить амплитуду установившегося тока: i (0) = I m / wt . Однако этот начальный всплеск тока является кратковременным он затухает в течение первого полупериода. Этот факт необходимо учитывать при подключении конденсаторов, обладающих весьма малым сопротивлением R, к источникам синусоидального напряжения, имеющим также малое внутреннее сопротивление (например, к сети). При других значениях начального значения напряжения источника в момент включения при 0 < y + q < p /2 начальные всплески тока и напряжения выражены не столь резко.
7. Напряжение на участке электрической цепи, по которому проходит переменный ток, изменяется со временем по закону U(t) = U_0 sin(ωt + π/4) (В). Определите амплитудное значение напряжения U_0, если в момент времени t = T/6 мгновенное значение напряжения U = 6,0 B.
Общий вид уравнения электромагнитных колебаний для напряжения:
U = U 0 sin ( ω t + φ 0 ) = U 0 sin ( 2 π t + φ 0 ) , U=U_0\sin(\omega t+\varphi_0) = U_0\sin(2\pi t+\varphi_0), U = U 0 sin ( ω t + φ 0 ) = U 0 sin ( 2 π t + φ 0 ) ,
тогда найдём U 0 : U_0: U 0 :
U 0 = 6 sin ( 2 π t + π 4 ) ; U_0=\dfrac<\sin\left(2\pi t+\dfrac<\pi>\right)>; U 0 = sin ( 2 π t + 4 π ) 6 ;
U 0 = 6 sin ( π 6 + π 4 ) = 6.2 В . U_0=\dfrac<\sin\left(\dfrac<\pi>+\dfrac<\pi>\right)>=6.2\,В. U 0 = sin ( 6 π + 4 π ) 6 = 6.2 В .
Ответ: U 0 = 6.2 В . U_0=6.2\,В. U 0 = 6.2 В .
Присоединяйтесь к Telegram-группе @superresheba_11, делитесь своими решениями и пользуйтесь материалами, которые присылают другие участники группы!
Как найти напряжение в момент времени
Пусть ток и напряжение в электрической цепи меняются по гармоническому закону. Теперь для того чтобы определить ток или напряжение в какой-либо точке схемы в данный момент времени недостаточно знать только амплитуду. Необходимо еще иметь информацию о фазе сигнала. Конечно, можно определять амплитуды и фазовые сдвиги напряжений и токов явно, например $I(t)=I_ \sin \left(\omega t+\varphi \right)$, но проще это делать с помощью комплексных чисел. Вместо того чтобы складывать и вычитать синусоидальные функции, можно легко и просто складывать и вычитать комплексные числа, записанные в экспоненциальной форме.
Всякую комплексную величину $a + ib$ можно представить в виде $Ае^,$ где $А$ и $\varphi $ — действительные числа и $$ a+ib=Ae^ \Rightarrow A=\sqrt +b^ > , \ \ \ \mbox< tg>(\varphi) =\frac . $$
Для представления гармонических функций в экспоненциальном виде используются формулы: $$ e^ =\cos kx+i\sin kx, \ \ \ \cos kx=\frac (e^ +e^), \ \ \ \sin kx=\frac (e^ -e^ ), $$ где $i$ — мнимая единица ($i^2=-1$).
Так как действующие значения напряжения и тока представляют собой реальные количественные величины, изменяющиеся во времени, то для перевода комплексного представления в реальные количественные величины достаточно воспользоваться следующим правилом: \[A\left(t\right)=Re\left(A\left(\omega \right)\exp \left(i\omega t\right)\right), \] где $A\left(t\right)$ $-$ реальная физическая величина (тока или напряжения); $A\left(\omega \right)$ $-$ та же величина, но в комплексном представлении; $Re$ $-$ операция взятия действительной части. Для определения реальной и мнимой части нужно воспользоваться следующим представлением комплексных чисел: \[z=Re\left(z\right)+i <\kern 1pt>Im\left(z\right)=\rho <\kern 1pt>e^ =\rho \cdot <\kern 1pt>\left(\cos \left(\varphi \right)+i <\kern 1pt>\sin \left(\varphi \right)\right). \] Преобразование в обратную сторону записывается так: \[A\left(t\right)=A_ \cos \left(\omega t+\varphi \right)\to A_ \exp \left(i\varphi \right),\] где $A_ $ $-$ амплитуда гармонической составляющей реального сигнала на частоте $\omega $.
Закон Ома для цепей, содержащих только линейные элементы (сопротивления, емкости, индуктивности), записывается в «привычном» виде $U=I\cdot Z$. Только все входящие в закон величины являются комплексными: $Z$ $-$ импеданс линейного участка цепи; $U$ $-$ падение напряжения на нем; $I$ $-$ протекающий по нему ток.
Импенданс, активное и реактивное сопротивления
Импеданс является обобщением понятия сопротивление. В отличие от резистора, электрическое сопротивление которого характеризует соотношение постоянного напряжения и тока на нем, применение термина электрическое сопротивление к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) приводит к тому, что сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю, а сопротивление идеального конденсатора — к бесконечности. Такой результат вполне закономерен, поскольку сопротивление элементов рассматривается на постоянном токе, то есть на нулевой частоте, когда реактивные свойства не проявляются. Однако в случае переменного тока свойства этих элементов существенно иные: напряжение на катушке индуктивности и ток через конденсатор не равны нулю. То есть реактивные элементы на переменном токе ведут себя как элементы с неким конечным «сопротивлением», которое и получило название электрический импеданс, или просто импеданс.
Импеданс линейного участка цепи есть комплексная величина. Модуль этой комплексной величины определяет связь между амплитудами тока и напряжения, как и обычное (активное) сопротивление элемента цепи. Фаза комплексного числа определяет сдвиг фаз между током и напряжением. Комплексные величины позволяют полностью описать произвольный гармонический сигнал — его амплитуду и фазу (разд. 2.1). Импеданс равен частному от деления комплексной амплитуды напряжения на данном участке на комплексную амплитуду тока. Действительная часть импеданса соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть элемент цепи с импедансом можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением и чисто реактивный элемент с импедансом.
Импеданс цепи, содержащей несколько элементов, находится по стандартным правилам. Импедансы последовательно соединенных элементов суммируются, а при параллельном соединении определяются по правилу \[\frac > =\frac
Импеданс может быть измерен специальными приборами: измерителем $RLC$ или анализатором импеданса (см. прил. 4). Эти приборы позволяют производить измерения в широком диапазоне частот и при различных напряжениях смещения.
Векторные диаграммы
Для теоретического анализа процессов в цепях, содержащих реактивные элементы, удобно использовать метод комплексных амплитуд. Суть метода заключается в следующем. В соответствии с формулой Эйлера комплексное число можно записать в виде $e^
Законы Кирхгофа
Основными законами для определения токов и напряжений в линейных цепях являются закон Ома и два закона Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа связывает между собой токи, сходящиеся в какой-либо точке (узле) цепи: сумма втекающих и вытекающих токов для данного узла равна нулю: \begin \label \sum _^I_ =0. \end
Это означает, что токи не могут накапливаться в каком-либо узле цепи. Токам, втекающим в узел, приписывается знак плюс, а вытекающим – знак минус.
Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма падений напряжения на элементах, составляющих произвольный замкнутый контур в цепи, равна сумме источников эдс в данном контуре: \begin \label \sum _^U_ =\sum _^E_k . \end
Произвольно заданные направления токов $I_ $ приводят к положительному вкладу $U_ $, если они совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Сторонние электродвижущие силы $E_ $ имеют положительный знак, если они повышают потенциал в этом же направлении.
Мощность, выделяемая в схемах с $R, L, C$ в цепях переменного тока
Процессы передачи энергии по электрической цепи, рассеяния энергии или преобразования энергии из одного вида в другой характеризуются мощностью $p$. Она определяет интенсивность передачи или преобразования энергии и равна количеству переданной или преобразованной энергии в единицу времени. Мгновенная мощность, производимая или отдаваемая произвольной частью цепи с двумя входами (двухполюсник), равна скорости совершения работы в данный момент времени \[p\left(t\right)=\frac =\frac q\Delta \varphi =U\left(t\right)\cdot I\left(t\right). \] Напряжение и ток на входе двухполюсника в общем случае могут быть сдвинуты по фазе на угол $\psi $. В этом случае мгновенная мощность записывается как $$ p\left(t\right)=U_ \cos \left(\omega \, t\right)\cdot I_ \cos \left(\omega \, t+\psi \right)= $$ $$ U_ I_ \cos \left(\psi \right)+\frac U_ I_ \cos \left(2\omega \, t+\psi \right)> . $$ Видно, что мгновенная мощность имеет постоянную и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока. Двухполюсник получает мощность от внешней цепи, когда мгновенная мощность положительна, и отдает ее обратно во внешнюю цепь – когда она отрицательна. Такой возврат возможен потому, что энергия может запасаться в электрическом (конденсатор) или магнитном (индуктивность) поле элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Если двухполюсник содержит только сопротивления (резисторы), то энергия накапливаться в нем не может. В этом случае нет сдвига между напряжением и током.
Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью. Она равна \[P=\frac U_ I_ \cos \left(\psi \right)=UI\cos \left(\psi \right). \] Здесь $U$ и $I$ эффективные значения тока и напряжения, отличающиеся от максимальных величин на величину $\sqrt$: $$ U=\frac <\sqrt>, \ \ \ I=\frac <\sqrt>. $$ При анализе электрических цепей часто используют понятия реактивной \[Q=UI\sin \left(\psi \right)\] и полной мощности \[\left|S\right|=\sqrt
По аналогии с понятием импеданса в цепях переменного тока вводят комплексное выражения для мощности \[S=U\cdot I^ =U\, I\, e^
На комплексной плоскости (рис. 5) полная мощность будет представлена вектором $S$, подобным вектору $I$ на рис. 4, и ее проекция на действительную ось будет равна активной мощности $Re\, S=UI\cos \left(\psi \right)=P$, а на мнимую $Im\, S=UI\sin \left(\psi \right)=Q$ — реактивной.
Треугольник мощностей
Обычно для мощности саму комплексную плоскость не изображают, а полученные соотношения между компонентами мощности, показанные на рис. 5,б, называют треугольником мощностей. Если угол $\psi$ на рис. 5,б положителен, то общий импеданс цепи носит индуктивный характер. При емкостном импедансе угол $\psi $ отрицателен, а при чисто активной нагрузке равен нулю и полная мощность совпадает с активной.
Переходные процессы
Если в цепи присутствуют не только активные, но и реактивные элементы, то в первый момент после ее подключения к источникам электрической энергии (электрического сигнала) процессы в ней могут сильно отличаться от тех, которые будут происходить в установившемся (стационарном) режиме. Это вызвано тем, что в реактивных элементах в начальный момент после включения происходит «запас» энергии, которая затем в установившемся режиме будет сохраняться или переходить из одного реактивного элемента или вида в другой. Начальные процессы работы таких схем, возникающие непосредственно после коммутации (включения / выключения) или резкого изменения вынуждающей силы, называются переходными процессами в электрических цепях. Длительность переходных процессов может быть очень короткой (до долей микросекунд), но возникающие при этом токи и напряжения могут во много раз превышать их значения в стационарном режиме.
Для простейшего анализа переходных процессов можно воспользоваться следующими правилами:
незаряженная емкость в первый момент представляет собой короткое замыкание, полностью заряженная емкость — разрыв;
индуктивность в начальный момент после подключения к источнику напряжения (в начале протекания тока) представляет очень большое сопротивление, т.е. ток через нее будет минимален.
Например, при рассмотрении простой схемы, изображенной на рис. 6, можно рассуждать следующим образом.
В начальный момент времени $(t = 0)$ индуктивность представляет собой очень большое сопротивление в цепи ab, поэтому ток в нашей системе не идет и падение напряжения на сопротивлении $R = 1 \Omega $ равно нулю. Затем за время порядка $\tau \approx \frac LR = 50 \mu$с ток достигает значения $0,5$А и предохранитель Пр1 перегорает, а ток переключается на цепь cd с сопротивлением $100 \Omega .$ Скорость нарастания определяется минимальным из сопротивлений в цепях be и cd. Соответствующая временная зависимость напряжения на сопротивлении $1 \Omega $ выглядит следующим образом (рис. 7). Если мы хотим получить более точное описание переходных процессов, происходящих в электрической цепи, содержащей пассивные элементы, то нужно воспользоваться двумя законами Кирхгофа, дополнив их законами связи тока и напряжения для каждого элемента.
Рассмотрим применение этих законов, рассчитав переходной процесс в схеме, изображенной на рис. 8. Из первого закона Кирхгофа для узла У1 получаем: $$ I_ -I_ -I_ =0. $$ Из второго закона Кирхгофа для контуров К1 и К2 получаем еще два уравнения: $$ I_ R_ +I_ R_ =U\left(t\right), $$ $$ I_ R_ +\frac
Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, как известно, состоит из суммы двух решений — решения однородного уравнения (с правой частью, равной нулю) и частного решения неоднородного уравнения. Полное решение однородного линейного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы $\sum _I_ e^
Отметим, что определение переходного процесса зависит от того, что выбирается в качестве стационарного процесса. Поэтому, например, на рис. 9 представлены одновременно два переходных процесса. Один связан с выходом на стационарный периодический процесс (область А), а второй с переходом с одного постоянного значения напряжения на другое (область Б).