Как установить sympy на python
Перейти к содержимому

Как установить sympy на python

  • автор:

Не получается использовать sympy модуль. Пишет нет такого

введите сюда описание изображения

Вроде по команде установка прошла успешно, выдает что pip Install sympy прошло успешно. Но при команде import sympy делает вид, что не знает такого модуля. Как помочь питону?

Отслеживать

задан 13 ноя 2022 в 17:09

python -m pip install sympy .

13 ноя 2022 в 18:06

Это команда введена, и все успешно распаковалось, но тем не менее питон ее подчеркивает и не видит

16 ноя 2022 в 18:53

Где он это делает? Где не видит?

16 ноя 2022 в 18:57

WARNING: The script isympy is installed in ‘/Library/Frameworks/Python.framework/Versions/3.10/bin’ which is not on PATH. Consider adding this directory to PATH or, if you prefer to suppress this warning, use —no-warn-script-location. NOTE: The current PATH contains path(s) starting with ~ , which may not be expanded by all applications.

16 ноя 2022 в 18:58

Вот при попытке его установить такое пишет, что путь не тот. А как устранить это, не понимаю

SymPy и симуляция физических процессов

Физические процессы окружают нас повсюду, и понимание их характеристик и поведения имеет огромное значение в различных областях науки и инженерии. От прогнозирования погоды до разработки новых технологий, симуляция физических процессов позволяет нам лучше понять и контролировать мир вокруг нас. Важность этого инструмента нельзя недооценивать, и он становится все более востребованным в наши дни.

SymPy — это Python библиотека для символьных математических вычислений, которая предоставляет мощные инструменты для работы с символьными выражениями, уравнениями и системами уравнений. Она позволяет разработчикам и исследователям создавать и анализировать модели физических систем с высокой степенью точности и гибкости.

SymPy основана на концепции символьных вычислений, что означает, что она оперирует символами и символьными переменными вместо чисел. Это позволяет выполнять точные математические операции без потери точности из-за аппроксимации. Этот подход особенно полезен при моделировании сложных физических явлений, где аналитические решения могут быть сложными или даже невозможными.

Вы можете установить SymPy с помощью инструмента управления пакетами pip. Для установки выполните следующую команду в командной строке:

pip install sympy

Основные возможности библиотеки

SymPy предоставляет множество функций и возможностей для символьных вычислений. Некоторые из ключевых возможностей включают:

1. Создание символьных переменных: Вы можете создавать символьные переменные, которые будут представлять различные параметры и переменные в ваших моделях.

2. Манипуляции с символьными выражениями: SymPy позволяет выполнять различные математические операции с символьными выражениями, такие как упрощение, раскрытие скобок, дифференцирование и интегрирование.

3. Работа с уравнениями: Вы можете создавать и решать уравнения и системы уравнений с помощью SymPy.

4. Дифференциальные уравнения: SymPy обладает мощными инструментами для решения дифференциальных уравнений, включая обыкновенные дифференциальные уравнения (ODE) и уравнения с частными производными (PDE).

5. Визуализация: Вы можете визуализировать результаты симуляции с использованием библиотек для визуализации, таких как Matplotlib.

Основные концепции SymPy

SymPy — это мощная библиотека для символьных вычислений, и чтобы максимально эффективно использовать ее возможности, важно понимать основные концепции и методы работы с символьными выражениями.

Символьные выражения и символьные переменные

Одной из главных особенностей SymPy является возможность работы с символьными выражениями и переменными. В отличие от чисел, символьные переменные представляют собой символы, которые могут быть использованы для создания выражений. Давайте рассмотрим, как это работает.

1. Создание символьных переменных:

Первый шаг — это создание символьных переменных с помощью функции `symbols`. Давайте создадим несколько символьных переменных:

 x, y, z = sp.symbols('x y z')

Теперь `x`, `y` и `z` являются символьными переменными, которые могут быть использованы для создания символьных выражений.

2. Создание символьных выражений:

Символьные выражения могут быть созданы путем комбинирования символьных переменных и математических операций. Например, мы можем создать выражение, представляющее квадратичную функцию:

 expr = x**2 + 2*y - z

В этом выражении x**2 представляет квадрат x, 2*y представляет умножение 2 на y, а — z представляет вычитание z.

3. Арифметические операции:

SymPy поддерживает все основные математические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, а также возведение в степень и извлечение корня. Все эти операции можно применять к символьным выражениям. Например:

 expr1 = x + y expr2 = 2*x - y sum_expr = expr1 + expr2 # Сложение diff_expr = expr1 - expr2 # Вычитание product_expr = expr1 * expr2 # Умножение

Вы также можете использовать функции sp.pow() для возведения в степень и sp.sqrt() для извлечения корня.

4. Подстановка значений:

Очень важной возможностью SymPy является возможность подстановки значений в символьные переменные в выражениях. Это позволяет вам вычислять значения выражений для конкретных числовых значений переменных. Например:

 expr_with_subs = expr.subs()

В этом примере мы подставили значения x=2, y=3 и z=1 в выражение expr и получили новое выражение `expr_with_subs`, в котором символьные переменные заменены на числовые значения.

Манипуляции с символьными выражениями

Теперь, когда мы разобрались с созданием символьных переменных и выражений, давайте изучим некоторые из основных методов манипуляции с символьными выражениями в SymPy.

1. Упрощение выражений:

Одной из первых вещей, которые вы можете сделать с символьными выражениями, это их упростить с помощью функции simplify:

 simplified_expr = sp.simplify(expr)

SymPy постарается упростить выражение до более компактного и читаемого вида, удаляя лишние скобки и объединяя подобные термины. Упрощение особенно полезно при работе с большими и сложными выражениями.

2. Раскрытие скобок:

Вы можете раскрыть скобки в выражениях с помощью функции expand :

 expanded_expr = sp.expand(expr)

Это может быть полезно, когда вам нужно разложить выражение на более простые части.

3. Факторизация:

Факторизация позволяет представить выражение в виде произведения множителей. SymPy может проводить факторизацию с помощью функции factor :

 factored_expr = sp.factor(expr)

Это может быть полезно при решении уравнений или при анализе выражений на предмет общих множителей.

4. Упрощение тригонометрических выражений:

Если вы работаете с тригонометрическими функциями, SymPy предоставляет функцию trigsimp для упрощения таких выражений:

 trig_expr = sp.sin(x)**2 + sp.cos(x)**2 simplified_trig_expr = sp.trigsimp(trig_expr)

Результатом будет упрощенное выражение, использующее тригонометрическую тождественную равенство.

5. Дифференцирование и интегрирование:

Символьные выражения можно дифференцировать и интегрировать с помощью функций diff и integrate , соответственно:

 derivative = sp.diff(expr, x) # Производная по x integral = sp.integrate(expr, y) # Интеграл по y

Это позволяет вам выполнять анализ функций и находить их производные и интегралы.

Уравнения и системы уравнений

Одной из сильных сторон SymPy является его способность работать с уравнениями и системами уравнений.

1. Создание уравнений:

Уравнения могут быть созданы с использованием функции Eq . Например, создадим уравнение x + 2*y = 5:

 eq = sp.Eq(x + 2*y, 5)

Теперь eq представляет собой символьное уравнение.

2. Решение уравнений:

SymPy позволяет решать уравнения с помощью функции solve . Например, решим уравнение x**2 — 4 = 0:

 solutions = sp.solve(x**2 - 4, x)

Результатом будет список решений, в данном случае [2, -2].

3. Создание систем уравнений:

Часто возникают задачи с несколькими уравнениями, такими как системы линейных уравнений. SymPy позволяет создавать и решать такие системы. Например:

 eq1 = sp.Eq(x + y, 5) eq2 = sp.Eq(2*x - z, 1) solutions = sp.solve((eq1, eq2), (x, y, z))

Здесь мы создали систему уравнений eq1 и eq2 , а затем решили ее, получив значения переменных x, y и z.

4. Анализ уравнений:

SymPy также предоставляет возможность анализа уравнений. Вы можете находить корни, проверять их наличие, анализировать свойства функций и многое другое. Например, проверим, имеет ли уравнение корни:

 has_solutions = sp.solve(eq, x)

Если has_solutions не пустой, то уравнение имеет корни.

5. Дифференциальные уравнения:

SymPy также предоставляет мощные инструменты для решения дифференциальных уравнений, включая обыкновенные дифференциальные уравнения (ODE) и уравнения с частными производными (PDE). Например:

 from sympy import Function, dsolve, Eq, Derivative # Создаем функцию f(x) f = Function('f') # Определяем дифференциальное уравнение f'(x) = 2*x diff_eq = Eq(Derivative(f(x), x), 2*x) # Решаем уравнение sol = dsolve(diff_eq)

Здесь мы создали дифференциальное уравнение и решили его с помощью dsolve .

Применение SymPy в симуляции физических процессов

Библиотека SymPy предоставляет мощные инструменты для симуляции и анализа физических процессов.

1. Движение тела под воздействием гравитации

Рассмотрим задачу движения тела массой m под воздействием силы гравитации. Ускорение свободного падения обозначим как g, а высоту, на которую тело поднимается, как h. Мы можем использовать SymPy для моделирования движения тела и расчета его скорости и положения в зависимости от времени.

Для начала определим переменные и параметры:

 import sympy as sp t, m, g, h, v0 = sp.symbols('t m g h v0')

Затем создадим уравнение движения:

 eq = sp.Eq(v0 + g*t, sp.sqrt(2*g*h))

В этом уравнении v0 — начальная скорость, g — ускорение свободного падения, h — высота, t — время. Мы можем решить это уравнение относительно t и получить время, через которое тело достигнет высоты h.

Помимо этого, SymPy позволяет рассчитать максимальную высоту, достигнутую телом, и скорость при достижении этой высоты.

2. Расчет теплопередачи в теплообменнике

В инженерии расчеты теплопередачи в теплообменниках являются важными задачами. SymPy может помочь моделировать теплопередачу и определять температурные профили внутри теплообменника.

Для моделирования теплообменника мы определим уравнение теплопроводности, которое описывает распределение температуры внутри теплообменника в зависимости от времени и координаты.

 x, t, T, k, alpha = sp.symbols('x t T k alpha') eq_heat = sp.Eq(sp.diff(T, t) - alpha * sp.diff(T, x, x), 0)

Где T — температура, k — теплопроводность материала, alpha — коэффициент теплопроводности, x — координата внутри теплообменника, t — время. Это уравнение можно решить численно или аналитически для конкретных граничных условий, что позволит определить температурные профили в теплообменнике.

3. Анализ электрических цепей

SymPy может быть использован для анализа сложных электрических цепей, включая расчет токов, напряжений и мощностей. Рассмотрим, например, цепь, содержащую резисторы, конденсаторы и индуктивности:

 R1, R2, C1, L1, V = sp.symbols('R1 R2 C1 L1 V') I1, I2, V1, V2 = sp.symbols('I1 I2 V1 V2', real=True) eq1 = sp.Eq(V1, I1 * R1) eq2 = sp.Eq(V2, I2 * R2) eq3 = sp.Eq(I1, C1 * sp.diff(V1, t)) eq4 = sp.Eq(I2, 1/L1 * sp.integrate(V2, t)) eq5 = sp.Eq(V, V1 + V2)

Здесь R1 и R2 — сопротивления, C1 — ёмкость, L1 — индуктивность, V — источник напряжения. Мы создали уравнения, описывающие законы Ома, токовые и напряженные соотношения для каждого элемента цепи.

Далее мы можем решить эту систему уравнений относительно токов I1 и I2 и напряжений V1 и V2 при заданных значениях элементов цепи и источника напряжения.

4. Динамика механических систем

SymPy может быть использован для моделирования и анализа движения механических систем. Рассмотрим маятник, который можно описать дифференциальным уравнением второго порядка.

 theta, g, L, t = sp.symbols('theta g L t')

Где theta — угол отклонения маятника, g — ускорение свободного падения, L — длина маятника, t — время.

Теперь создадим дифференциальное уравнение, описывающее движение маятника:

 eq_pendulum = sp.Eq(L * sp.diff(theta, t, t), -g * sp.sin(theta))

Это уравнение описывает второй закон Ньютона для маятника. Мы можем решить его для theta как функции времени t и изучить движение маятника в зависимости от начальных условий.

5. Квантовая механика

SymPy также предоставляет возможности для символьного анализа квантово-механических систем. Вы можете определять операторы, состояния и выполнять операции с ними.

Например, создадим оператор гамильтониана для гармонического осциллятора:

 from sympy.physics.quantum import Dagger, Ket, Operator m, omega, x = sp.symbols('m omega x') H = Operator(-((1/(2*m)) * sp.diff(x, x) + (1/2) * m * omega**2 * x**2))

Теперь мы можем определить состояния, например, основное состояние гармонического осциллятора:

 ground_state = Ket('0')

С помощью SymPy можно выполнять операции с операторами, состояниями и ожидаемыми значениями, что позволяет анализировать квантово-механические системы.

6. Диффузия в жидкости

Предположим, вы хотите изучить процесс диффузии в жидкости. Для этого можно использовать уравнение Фика, которое описывает распределение концентрации вещества в пространстве и времени. С помощью SymPy, вы можете создать символьную модель для этой диффузии и анализировать изменения концентрации вещества с течением времени.

 c, D = sp.symbols('c D') x, t = sp.symbols('x t') eq_diffusion = sp.Eq(sp.diff(c, t), D * sp.diff(c, x, x))

Где c — концентрация, D — коэффициент диффузии, x — координата, t — время. С помощью SymPy можно решить это уравнение и изучить процесс диффузии в зависимости от начальных условий и параметров.

7. Осцилляции в электрическом колебательном контуре

SymPy также полезен при анализе колебательных контуров в электронике. Рассмотрим электрический контур, содержащий индуктивность L, емкость C и сопротивление R. Мы можем создать уравнение, описывающее осцилляции в таком контуре и рассчитать параметры, такие как частота и амплитуда колебаний.

 R, L, C, V0 = sp.symbols('R L C V0') I, Q = sp.symbols('I Q', real=True) eq_oscillation = [ sp.Eq(I, sp.diff(Q, t)), sp.Eq(V0, L * sp.diff(I, t) + R * I + Q / C) ]

Здесь I — ток, Q — заряд на конденсаторе, V0 — начальное напряжение, R — сопротивление, L — индуктивность, C — емкость. SymPy может помочь решить это систему уравнений и исследовать динамику колебательного контура.

8. Распространение звука в среде

Если вас интересует распространение звука в среде, то SymPy может помочь моделировать это явление. Уравнение д’Аламбера описывает волновое уравнение для звука в трехмерной среде. Вы можете использовать SymPy для решения этого уравнения и изучения распространения звуковых волн.

 p = sp.Function('p')(x, y, z, t) c = sp.symbols('c') eq_wave = sp.Eq(sp.diff(p, t, t), c**2 * (sp.diff(p, x, x) + sp.diff(p, y, y) + sp.diff(p, z, z)))

Где p — давление в среде, c — скорость звука, x, y, z — координаты в пространстве, t — время. SymPy может решать это уравнение и предсказывать распространение звуковых волн в трехмерной среде.

9. Электростатика и распределение зарядов

Если вам нужно изучить распределение электрических зарядов в пространстве, SymPy может помочь решать уравнения Пуассона и Лапласа для определения потенциала и электрического поля. Рассмотрим, например, распределение заряда внутри проводящей сферы.

 r, V, rho, epsilon = sp.symbols('r V rho epsilon') eq_poisson = sp.Eq(sp.diff(V, r, 2), -rho / (epsilon * sp.pi * r**2))

Где r — радиус, V — потенциал, rho — объемная плотность заряда, epsilon — диэлектрическая проницаемость.

Расширенные возможности SymPy

SymPy — это мощная библиотека для символьных вычислений, но ее применение не ограничивается только математическими операциями.

Визуализация результатов симуляции

Визуализация — это мощный инструмент для анализа результатов симуляции. SymPy предоставляет возможности для создания графиков и визуализации данных. Для этого можно использовать библиотеку matplotlib, которая хорошо интегрируется с SymPy.

import sympy as sp import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Создаем символьную переменную x = sp.symbols('x') # Определяем функцию f = sp.sin(x) # Создаем функцию из SymPy выражения f_lambda = sp.lambdify(x, f, 'numpy') # Генерируем данные для графика x_vals = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100) y_vals = f_lambda(x_vals) # Строим график plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(x_vals, y_vals, label='sin(x)') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('График функции sin(x)') plt.legend() plt.grid(True) plt.show()

Этот код создает график функции sin(x) с использованием SymPy и Matplotlib.

Важно отметить, что SymPy может быть использован для определения и символьных вычислений, а затем lambdify конвертирует символьное выражение в функцию, которую можно использовать для вычисления значений на числовых данных.

Интерактивные интерфейсы с SymPy

SymPy также предоставляет инструменты для создания интерактивных интерфейсов, что может быть полезно для образовательных или исследовательских целей. Один из популярных способов создания интерактивных интерфейсов — использование библиотеки ipywidgets.

import sympy as sp import ipywidgets as widgets from IPython.display import display # Создаем символьные переменные x, y = sp.symbols('x y') # Определяем выражение expr = x**2 + y**2 # Создаем виджеты для ввода значений x и y x_widget = widgets.FloatSlider(value=0.0, min=-10.0, max=10.0, step=0.1, description='x') y_widget = widgets.FloatSlider(value=0.0, min=-10.0, max=10.0, step=0.1, description='y') # Функция для обновления вывода на основе введенных значений def update(expr, x_val, y_val): result = expr.subs() display(sp.Eq(expr, result)) # Создаем интерактивный интерфейс interactive_output = widgets.interactive_output(update, ) # Отображаем виджеты и вывод display(x_widget, y_widget, interactive_output)

Этот пример позволяет пользователям вводить значения x и y с помощью слайдеров и мгновенно видеть результат вычисления выражения x^2 + y^2.

Такой интерактивный подход может быть полезен при обучении или при проведении экспериментов.

Интеграция SymPy с другими библиотеками и фреймворками

SymPy можно интегрировать с другими библиотеками и фреймворками, чтобы расширить его функциональность и применение. Например, SymPy может быть использован с такими библиотеками, как NumPy, SciPy, и TensorFlow для решения разнообразных задач.

import sympy as sp import numpy as np from scipy.optimize import minimize # Создаем символьные переменные x, y = sp.symbols('x y') # Определяем выражение expr = x**2 + y**2 # Конвертируем выражение в функцию для SciPy f = sp.lambdify((x, y), expr, 'numpy') # Определяем функцию, которую нужно минимизировать def objective(params): x_val, y_val = params return f(x_val, y_val) # Находим минимум функции с использованием SciPy initial_guess = [1.0, 1.0] result = minimize(objective, initial_guess) print("Минимум найден на точке:", result.x)

В этом примере SymPy используется для определения символьного выражения, которое затем конвертируется в функцию для SciPy, позволяя найти минимум этой функции.

Заключение

SymPy открывает двери для бесконечных возможностей в исследовании и моделировании физических процессов. Не бойтесь экспериментировать, создавать новые модели и использовать SymPy для решения сложных задач.

Installation#

The SymPy CAS can be installed on virtually any computer with Python. SymPy does require mpmath Python library to be installed first. The recommended method of installation is through Anaconda, which includes mpmath, as well as several other useful libraries. Alternatively, some Linux distributions have SymPy packages available.

SymPy officially supports Python 3.8, 3.9, 3.10, and PyPy.

Anaconda#

Anaconda is a free Python distribution from Continuum Analytics that includes SymPy, Matplotlib, IPython, NumPy, and many more useful packages for scientific computing. This is recommended because many nice features of SymPy are only enabled when certain libraries are installed. For example, without Matplotlib, only simple text-based plotting is enabled. With the IPython notebook or qtconsole, you can get nicer \(\mathrm<\LaTeX>\) printing by running init_printing() .

If you already have Anaconda and want to update SymPy to the latest version, use:

conda update sympy 

Git#

If you wish to contribute to SymPy or like to get the latest updates as they come, install SymPy from git. To download the repository, execute the following from the command line:

git clone https://github.com/sympy/sympy.git 

To update to the latest version, go into your repository and execute:

git pull origin master 

If you want to install SymPy, but still want to use the git version, you can run from your repository:

python -m pip install -e . 

This will cause the installed version to always point to the version in the git directory.

Other Methods#

You may also install SymPy using pip or from source. In addition, most Linux and Python distributions have some SymPy version available to install using their package manager. Here is a list of several such Python distributions:

Run SymPy#

After installation, it is best to verify that your freshly-installed SymPy works. To do this, start up Python and import the SymPy libraries:

$ python >>> from sympy import *

From here, execute some simple SymPy statements like the ones below:

>>> x = Symbol('x') >>> limit(sin(x)/x, x, 0) 1 >>> integrate(1/x, x) log(x) 

For a starter guide on using SymPy effectively, refer to the Introductory Tutorial .

mpmath#

Versions of SymPy prior to 1.0 included mpmath, but it now depends on it as an external dependency. If you installed SymPy with Anaconda, it will already include mpmath. Use:

conda install mpmath 

to ensure that it is installed.

If you do not wish to use Anaconda, you can use pip install mpmath .

If you use mpmath via sympy.mpmath in your code, you will need to change this to use just mpmath . If you depend on code that does this that you cannot easily change, you can work around it by doing:

import sys import mpmath sys.modules['sympy.mpmath'] = mpmath 

before the code that imports sympy.mpmath . It is recommended to change code that uses sympy.mpmath to use mpmath directly wherever possible.

Questions#

If you have a question about installation or SymPy in general, feel free to visit our chat on Gitter. In addition, our mailing list is an excellent source of community support.

If you think there’s a bug or you would like to request a feature, please open an issue ticket.

Библиотека Sympy: символьные вычисления в Python

Что такое SymPy ? Это библиотека символьной математики языка Python. Она является реальной альтернативой таким математическим пакетам как Mathematica или Maple и обладает очень простым и легко расширяемым кодом. SymPy написана исключительно на языке Python и не требует никаких сторонних библиотек.

Документацию и исходный код этой библиотеки можно найти на ее официальной странице.

Первые шаги с SymPy

Используем SymPy как обычный калькулятор

В библиотеке SymPy есть три встроенных численных типа данных: Real , Rational и Integer . С Real и Integer все понятно, а класс Rational представляет рациональное число как пару чисел: числитель и знаменатель рациональной дроби. Таким образом, Rational(1, 2) представляет собой 1/2 , а, например, Rational(5, 2) — соответственно 5/2 .

import sympy as sym a = sym.Rational(1, 2) # дает 1/2 a * 2 # дает 1

Библиотека SymPy использует библиотеку mpmath , что позволяет производить вычисления с произвольной точностью. Таким образом, ряд констант (например, пи, e), которые в данной библиотеке рассматриваются как символы, могут быть вычислены с любой точностью.

sym.pi**2 # результат pi**2 sym.pi.evalf() # результат 3.14159265358979 (sym.pi + sym.exp(1)).evalf() # результат 5.85987448204884

Как можно заметить, функция evalf() дает на выходе число с плавающей точкой.

В SymPy есть также класс, представляющий такое понятие в математике, как бесконечность. Он обозначается следующим образом: oo .

sym.oo > 99999 # результат True sym.oo + 1 # результат oo

Символы

В отличие от ряда других систем компьютерной алгебры, в SymPy можно в явном виде задавать символьные переменные. Это происходит следующим образом:

x = sym.Symbol('x') y = sym.Symbol('y')

После их задания, с ними можно производить различные манипуляции.

x + y + x - y # результат 2*x (x + y) ** 2 # результат (x + y)**2

С символами можно производить преобразования с использованием некоторых операторов языка Python. А именно, арифметических ( + , -` , «* , ** ) и логических ( & , | , ~ ) .

Библиотека SymPy позволяет задавать форму вывода результатов на экран. Обычно мы используем формат такого вида:

sym.init_printing(use_unicode=False, wrap_line=True)

Алгебраические преобразования

SymPy способна на сложные алгебраические преобразования. Здесь мы рассмотрим наиболее востребованные из них, а именно раскрытие скобок и упрощение выражений.

Раскрытие скобок

Чтобы раскрыть скобки в алгебраических выражениях, используйте следующий синтаксис:

sym.expand((x + y) ** 3)
3 * x * y ** 2 + 3 * y * x ** 2 + x ** 3 + y ** 3

При помощи ключевого слова можно добавить поддержку работы с комплексными переменными, а также раскрытие скобок в тригонометрических функциях.

sym.expand(x + y, complex=True)#результат re(?)+re(?)+?im(?)+?im(?) sym.expand(sym.cos(x + y), trig=True) # результат −sin(?)sin(?)+cos(?)cos(?)

Упрощение выражений

Если вы хотите привести выражение к более простому виду (возможно, сократить какие-то члены), то используйте функцию simplify .

sym.simplify((x + x * y) / x) # результат y + 1

Также надо сказать, что для определенных видов математических функций существуют альтернативные, более конкретные функции для упрощения выражений. Так, для упрощения степенных функций есть функция powsimp , для тригонометрических — trigsimp , а для логарифмических — logcombine , radsimp .

Вычисления

Вычисления пределов

Для вычисления пределов в SymPy предусмотрен очень простой синтаксис, а именно limit(function, variable, point) . Например, если вы хотите вычислить предел функции f(x) , где x -> 0 , то надо написать limit(f(x), x, 0) .

sym.limit(sym.sin(x) / x, x, 0) # результат 1

Также можно вычислять пределы, которые стремятся к бесконечности.

sym.limit(x, x, sym.oo) # результат oo sym.limit(1 / x, x, sym.oo) # результат 0 sym.limit(x ** x, x, 0) # результат 1

Дифференцирование

Для дифференцирования выражений в SymPy есть функция diff(func, var) . Ниже даны примеры ее работы.

sym.diff(sym.sin(x), x) # результат cos(?) sym.diff(sym.sin(2 * x), x) # результат 2cos(2?) sym.diff(sym.tan(x), x)

Проверим результат последней функции при помощи определения производной через предел.

sym.limit((sym.tan(x + y) - sym.tan(x)) / y, y, 0)

tan 2 (?)+1 Результат тот же.

Также при помощи этой же функции могут быть вычислены производные более высоких порядков. Синтаксис функции будет следующим: diff(func, var, n) . Ниже приведено несколько примеров.

sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 1) # результат 2cos(2?) sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 2) # результат −4sin(2?) sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 3) # результат −8cos(2?)

Разложение в ряд

Для разложения выражения в ряд Тейлора используется следующий синтаксис: series(expr, var) .

sym.series(sym.cos(x), x)
sym.series(1/sym.cos(x), x)

Интегрирование

В SymPy реализована поддержка определенных и неопределенных интегралов при помощи функции integrate() . Интегрировать можно элементарные, трансцендентные и специальные функции. Интегрирование осуществляется с помощью расширенного алгоритма Риша-Нормана. Также используются различные эвристики и шаблоны. Вот примеры интегрирования элементарных функций:

sym.integrate(sym.sin(x), x) # результат −cos(?) sym.integrate(sym.log(x), x) # результат ?log(?)−?

Также несложно посчитать интеграл и от специальных функций. Возьмем, например, функцию Гаусса:

sym.integrate(sym.exp(-x ** 2) * sym.erf(x), x)

Результат вычисления можете посмотреть сами. Вот примеры вычисления определенных интегралов.

sym.integrate(x**3, (x, -1, 1)) # результат 0 sym.integrate(sym.sin(x), (x, 0, sym.pi / 2)) # результат 1 sym.integrate(sym.cos(x), (x, -sym.pi / 2, sym.pi / 2)) # результат 2

Также можно вычислять определенные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы).

sym.integrate(sym.exp(-x), (x, 0, sym.oo)) # результат 1

Решение уравнений

При помощи SymPy можно решать алгебраические уравнения с одной или несколькими переменными. Для этого используется функция solveset() .

sym.solveset(x ** 4 — 1, x) # результат

Как можно заметить, первое выражение функции solveset() приравнивается к 0 и решается относительно х . Также возможно решать некоторые уравнения с трансцендентными функциями.

sym.solveset(sym.exp(x) + 1, x) # результат

Системы линейных уравнений

SymPy способна решать широкий класс полиномиальных уравнений. Также при помощи данной библиотеки можно решать и системы уравнений. При этом переменные, относительно которых должна быть разрешена система, передаются в виде кортежа во втором аргументе функции solve() , которая используется для таких задач.

solution = sym.solve((x + 5 * y - 2, -3 * x + 6 * y - 15), (x, y)) solution[x], solution[y] # результат (-3, 1)
Факторизация

Другим мощным методом исследования полиномиальных уравнений является факторизация многочленов (то есть представление многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней). Для этого в SymPy предусмотрена функция factor() , которая способна производить факторизацию очень широкого класса полиномов.

f = x ** 4 - 3 * x ** 2 + 1 sym.factor(f)
sym.factor(f, modulus=5)
Булевы уравнения

Также в SymPy реализована возможность решения булевых уравнений, что по сути означает проверку булевого выражения на истинность. Для этого используется функция satisfiable() .

sym.satisfiable(x & y) # результат

Данный результат говорит нам о том, что выражение (x & y) будет истинным тогда и только тогда, когда x и y истинны. Если выражение не может быть истинным ни при каких значениях переменных, то функция вернет результат False .

sym.satisfiable(x & ~x) # результат False

Линейная алгебра

Матрицы

Матрицы в SymPy создаются как экземпляры класса Matrix :

sym.Matrix([[1, 0], [0, 1]])

В отличие от NumPy , мы можем использовать в матрицах символьные переменные:

x, y = sym.symbols('x, y') A = sym.Matrix([[1, x], [y, 1]]) A

И производить с ними разные манипуляции:

Дифференциальные уравнения

При помощи библиотеки SymPy можно решать некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого используется функция dsolve() . Для начала нам надо задать неопределенную функцию. Это можно сделать, передав параметр cls=Function в функцию symbols() .

f, g = sym.symbols('f g', cls=sym.Function)

Теперь f и g заданы как неопределенные функции. мы можем в этом убедиться, просто вызвав f(x) .

f(x) # результат ?(?) f(x).diff(x, x) + f(x)

Теперь решим следующее дифференциальное уравнение:

sym.dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x)) # результат ?(?)=?1sin(?)+?2cos(?)

Чтобы улучшить решаемость и помочь этой функции в поиске решения, можно передавать в нее определенные ключевые аргументы. Например, если мы видим, что это уравнение с разделяемыми переменными, то мы можем передать в функцию аргумент hint=’separable’ .

sym.dsolve(sym.sin(x) * sym.cos(f(x)) + sym.cos(x) * sym.sin(f(x)) * f(x).diff(x), f(x), hint='separable') # результат [Eq(f(x), -acos(C1/cos(x)) + 2*pi), Eq(f(x), # acos(C1/cos(x)))]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *