Как доказать что предела не существует

Попытаемся понять, что следует предпринять, чтобы проконтролировать утверждение «`x_n` стремится к `a`». Изобразим члены последовательности на числовой оси и отметим на ней точку `a`. Представим ситуацию образно: будем делать фотографии `a` каждый раз с новым оптическим увеличением. Число `a` будет пределом последовательности `(x_n)`, если `a` — «друг» `x_n`: на любой такой фотографии окажутся все `x_n`, начиная с некоторого номера.

Проиллюстрируем сказанное на примере последовательности `x_n=1//n`. В качестве «фотографии» `a=0` можно взять симметричный интервал `(-epsilon, epsilon)^1`. [ 1 `epsilon` — греческая буква «эпсилон».] Оптическому увеличению соответствует уменьшение `epsilon`. Пусть `k=1//epsilon`, тогда `1//nk` и, следовательно, член `x_n` попадает на «фотографию», т. е. `-epsilon
Определение

Число `a` называется пределом последовательности `(x_n)`, если для любого положительного числа `epsilon` найдётся такое действительное число `k`, что при всех `n>k` выполняется неравенство

В этом случае пишут `lim_(n->oo) x_n=a` (читается: предел `x_n` при `n`, стремящемся к бесконечности, равен `a`). Последовательность, называется сходящейся, если существует число `a`, являющееся её пределом. Если такого числа `a` не существует, то последовательность называется расходящейся.

Часто в определении предела полагают число `k` натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится эквивалентное определение.

Выясним геометрический смысл понятия предела. Для положительного числа `epsilon` интервал `(a-epsilon, a+epsilon)` называется `epsilon` — окрестностью точки `a`. Неравенство (2.1) равносильно двойному неравенству `-epsilon

Неравенство (2.2) показывает, что все члены последовательности `(x_n)` с номерами `n>k` попадают в `epsilon` — окрестность точки `a`. В определении предела число `epsilon` может быть любым (сколь угодно малым), поэтому произвольная (сколь угодно малая) окрестность точки `a` содержит все члены `(x_n)` за исключением, быть может, конечного числа (рис. 1а). На уровне графика последовательности это означает, что вне сколь угодно узкой полосы между прямыми `x=a-epsilon` и `x=a+epsilon` может оказаться лишь конечное число точек графика `(x_n)` (рис. 1б).

В определении предела выбор числа `k`, вообще говоря, зависит от `epsilon`. Чтобы подчеркнуть это, иногда пишут `k=k(epsilon)`. Доказать, что последовательность `(x_n)` имеет предел, фактически означает найти функциональную зависимость `k` от `epsilon`. Вообще, определение предела по виду напоминает нескончаемую дискуссию между двумя лицами `A` и `B:A` задаёт точность приближения `epsilon`, в ответ `B` указывает число `k`, с которого эта точность достигается, т. е. выполняется неравенство (2.1) при всех `n>k`; уменьшает точность, `B` — указывает новое `k` и т. д.

Пусть `x_n=c` — постоянная последовательность. Доказать, что `lim_(n->oo)x_n=c`.

Конев В.В. Пределы последовательностей и функций

Предел функции

Предел последовательности

Предел функции

Приближенные вычисления

Непрерывность функций

(11)

выполняется неравенство

(12)

Для обозначения предела функции при используется символическое выражение

или запись вида

Другими словами, функция имеет своим пределом число A при , если разность представляет собой бесконечно малую функцию Пусть, например,

и Тогда из тождества

вытекает, что

Отметим, что для существования предела функции при не требуется, чтобы эта функция была определена в точке a. Например, функция не определена в точке x = 3, однако ее предел при существует и равен числу 6. Кроме того, определяющее значение для существования предела функции при имеет только поведение этой функции в достаточно малой окрестности точки a. Вне этой окрестности функция может быть неограниченной. Примером может служить функция f(x) = 1⁄x, предел которой при x → 1 равен 1, хотя эта функция является неограниченной на промежутке, включающем в себя точку 0.

Функция называется бесконечно большой при , если она неограниченно возрастает по абсолютной величине при . В таких случаях говорят, что стремится к бесконечности при и записывают это утверждение в виде

На формальном языке определение предела функции при выглядит следующим образом. Функция имеет своим пределом бесконечность при , если для любого сколь угодно большого числа E > 0 существует такое число δ(E), что для всех x, удовлетворяющих условию

,

выполняется неравенство

По сути дела такому определению можно дать стандартное толкование: если для всех x из δ-окрестности точки a значения функции попадают в окрестность бесконечно удаленной точки, то при эта функции имеет своим пределом ∞.

Аналогичным образом формулируется понятие предела функции при . Число A называется пределом функции при , если для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число ∆(ε), что для всех x, удовлетворяющих условию

(13)

выполняется неравенство

(14)

Функция имеет своим пределом бесконечность при , если для любого сколь угодно большого числа E > 0 существует такое число ∆(E), что для всех x, удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Такой предел обозначается выражением вида

Отметим, что следует соблюдать определенную осторожность при обращении с символом ∞. Порой решающее значение на результат оказывает знак бесконечности. Например,

11 Определение предела функции по Гейне

Определение предела функции, которое мы дали в предыдущей главе, называется также определением «по Коши». Напомним его:

Определение 1. (Предел функции по Коши) Пусть функция f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 . Говорят, что предел функции f ( x ) в точке x = x 0 равен числу b , если для всякого ε > 0 найдётся такое δ > 0 , что для всех x из проколотой δ -окрестности точки x 0 значения функции лежат в ε -окрестности точки b . Формально: утверждение

lim x → x 0 f ( x ) = b
по определению означает, что
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ ˚ U δ ( x 0 ) : f ( x ) ∈ U ε ( b ) ,
или (см. замечание 3 из предедыщей лекции 10 ):
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R : 0 < | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − b | < ε . ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ R : 0 < | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − b | < ε .

Для некоторых целей нам будет удобно использовать другое определение, известное как определение предела функции «по Гейне». Оно основано на понятии предела последовательности.

Определение 2. (Определение предела функции по Гейне.) Пусть снова функция f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 . Говорят, что предел функции f ( x ) в точке x = x 0 равен числу b , если для любой последовательности < x n >, стремящейся к x 0 , все члены которой не равны x 0 , выполняется утверждение: последовательность значений функции f ( x ) в точках x n стремится к b : f ( x n ) → b при n → ∞ . Формально:

∀ < x n >: ( ( ∀ n : x n ≠ x 0 ) ∧ ( lim n → ∞ x n = x 0 ) ) ⇒ lim n → ∞ f ( x n ) = b .
∀ < x n >: ( ( ∀ n : x n ≠ x 0 ) ∧ ( lim n → ∞ x n = x 0 ) ) ⇒ ⇒ lim n → ∞ f ( x n ) = b .

1. Вообще говоря, не все значения f ( x n ) обязаны быть определены: возможно, какие-то из начальных членов последовательности < x n >лежат вне области определения функции f ( x ) . Однако, мы знаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 , а последовательность x n стремится к x 0 , и значит, начиная с некоторого члена, обязательно окажется внутри той окрестности, где функция определена. Вместе с дополнительным условием о том, что члены последовательности не равны x 0 , это гарантирует, что по крайней мере начиная с некоторого n = N , все члены последовательности < f ( x n ) >определены. А поскольку начальные члены последовательности не влияют на предел, их можно просто отбросить.
2. Условие о том, что все члены последовательности < x n >, не равны x 0 , очень важно. Рассмотрим функцию

f ( x ) = < 1 , x ≠ 2 ; 3 , x = 2. из примера 12 с предыдущей лекции. Последовательность x n = < 2 , n = 2 k 2 + 1 n , n = 2 k + 1 стремится к x 0 , при этом последовательность значений функции < f ( x n ) >имеет вид:
f ( x n ) = < 3 , n = 2 k , 1 , n = 2 k + 1 ,

11.2 Эквивалентность определений

Теорема 1. Определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство.

Из Коши следует Гейне. Пусть предел функции f при x → x 0 равен b по Коши. Докажем, что тогда он равен b также и по Гейне.

Идея доказательства такая. Из определения по Коши следует, что если x близок к x 0 (но при этом не равен x 0 ), f ( x ) близко к b . Пусть последовательность x n стремится к x 0 и никогда не посещает x 0 . Тогда если подождать достаточно долго, x n начнут быть близкими к x 0 (и не равными x 0 ). В этом случае, согласно определению по Коши, f ( x n ) окажутся близкими к b . Значит, f ( x n ) стремится к b .

Осталось чётко сформулировать, что значит в каждом случае означают слова «близко» и «достаточно долго».

Утверждение «предел функции f ( x ) при x → x 0 равен b по Коши» формализуется так:

∀ ε 1 > 0 ∃ δ 1 = δ 1 ( ε 1 ) > 0 ∀ x ∈ R : 0 < | x − x 0 | < δ 1 ⇒ | f ( x ) − b | < ε 1 . (11.1) ∀ ε 1 > 0 ∃ δ 1 = δ 1 ( ε 1 ) > 0 ∀ x ∈ R : 0 < | x − x 0 | < δ 1 ⇒ | f ( x ) − b | < ε 1 . (11.1)

Докажем, что в этом случае определение по Гейне тоже выполняется. Пусть x n — произвольная последовательность, стремящаяся к x 0 и никогда не посещающая x 0 . Тогда для всякого ε 2 > 0 найдётся такое N 2 = N 2 ( ε 2 ) , что для всех n > N 2 , выполняется неравенство | x n − x 0 | < ε 2 . Дополнительно известно, что для всех натуральных n , x n ≠ x 0 . Таким образом, для всех n >N 2 , выполняется неравенство

0 < | x n − x 0 | < ε 2 .

Иными словами, все члены последовательности, начиная с номера N 2 + 1 , лежат в проколотой ε 2 -окрестности точки x 0 . Формально:

∀ ε 2 > 0 ∃ N 2 = N 2 ( ε ) ∀ n > N 2 : 0 < | x n − x 0 | < ε 2 . (11.2) ∀ ε 2 > 0 ∃ N 2 = N 2 ( ε ) ∀ n > N 2 : 0 < | x n − x 0 | < ε 2 . (11.2)

Мы хотим доказать, что в этом случае f ( x n ) → b . Иными словами, нам нужно доказать, что для всякого ε > 0 найдётся такое N = N ( ε ) , что для всех n > N выполняется неравенство | f ( x n ) − b | < ε .

Сравним утверждения (11.1) и (11.2) . Утверждение (11.1) говорит, что если мы хотим сделать f ( x ) близким к b , то нужно потребовать, чтобы x был близок к x 0 и не равнялся x 0 . Утверждение (11.2) говорит, что если мы хотим, чтобы x n был близок к x 0 , то нужно выбрать достаточно большое значение n . Осталось соединить эти два утверждения.

Пусть мы хотим сделать так, чтобы f ( x n ) был ε -близок к b . Согласно (11.1) , для этого нужно сделать так, чтобы x n был δ 1 ( ε ) -близок к x 0 . Согласно (11.2) , для этого нужно сделать так, чтобы n был больше, чем N 2 ( δ 1 ( ε ) ) . Иными словами, мы в утверждении (11.2) в качестве ε 2 должны использовать значение δ 1 ( ε ) .

Действительно, положим N ( ε ) : = N 2 ( δ 1 ( ε ) ) . Тогда согласно (11.2) для всех n > N ( ε ) , выполняется неравенство

0 < | x n − x 0 | < δ 1 ( ε ) .

Согласно (11.1) , для всех значений x , для которых верно неравенство 0 < | x − x 0 | < δ 1 ( ε ) , верно неравенство | f ( x ) − b | < ε . Значит, для всех x n это неравенство также верно.

Итак, для всякого ε > 0 мы построили такое N , что для всех n > N выполняется неравенство | f ( x n ) − b | < ε . Таким образом, f ( x n ) → b .

Это построение работает для любой последовательности < x n >, удовлетворяющей условиям x n → x 0 и x n ≠ x 0 для всех n . Значит, утверждение определения по Гейне доказано.

Из Гейне следует Коши. Будем доказывать от противного. Пусть есть такая функция f ( x ) , что для неё выполняется утверждение lim x → x 0 f ( x ) = b по Гейне, но не выполняется такое же утверждение по Коши.

Запишем формально, что значит «не выполняется такое же утверждение по Коши». Для этого нужно навесить отрицание на формулу (11.1) . Получится такая штука:

∃ ε 1 > 0 ∀ δ 1 > 0 ∃ x = x ( δ 1 ) : ( 0 < | x − x 0 | < δ 1 ) ∧ | f ( x ) − b | ≥ ε 1 . ∃ ε 1 > 0 ∀ δ 1 > 0 ∃ x = x ( δ 1 ) : ( 0 < | x − x 0 | < δ 1 ) ∧ | f ( x ) − b | ≥ ε 1 .

В этой формуле δ 1 > 0 произвольна, а x зависит от этой δ 1 . Чтобы прийти к противоречию, мы построим последовательность < x n >, для которой утверждение в определении предела по Гейне будет нарушаться: а именно, x n будет стремиться к x 0 , но f ( x n ) не будет стремиться к b .

Для этого возьмём последовательность δ n : = 1 n . (Как обычно в таких случаях, подойдёт любая последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю.) Положим также x n : = x ( δ n ) = x ( 1 n ) . Для всякого натурального n ,

x 0 − 1 n < x n < x 0 + 1 n .

Левая и правая границы стремятся к x 0 , следовательно, по теореме о двух милиционерах , x n → x 0 . Дополнительно верно, что для всех n , x n ≠ x 0 . Таким образом, последовательность < x n >удовлетворяет условию в определении предела по Гейне.

Однако, | f ( x n ) − b | ≥ ε 1 > 0 . Это значит, что последовательность < f ( x n ) >отделена от b , и следовательно не может иметь b своим пределом (см. упражнение 1 из лекции 6 ).

Противоречие с определением предела по Гейне: мы построили последовательность < x n >, стремящуюся к x 0 и не посещающую x 0 , для которой f ( x n ) ↛ b .

Это доказывает теорему. ∎

11.3 Применение предела по Гейне

Доказывать, что предел чему-то равен, пользуясь определением по Гейне, довольно тяжело — нужно рассмотреть все возможные последовательности. Зато с ним гораздо проще доказывать утверждение, что предел не существует или чему-то не равен — достаточно предъявить одну последовательность. Также с помощью предела по Гейне можно легко переносить результаты, доказанные для последовательностей, на функции. Например, докажем теорему о пределе суммы:

Утверждение 1. Пусть f ( x ) → a и g ( x ) → b при x → x 0 . Рассмотрим функцию h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Докажем, что h ( x ) → a + b при x → x 0 .

Доказательство. Докажем, что для функции h ( x ) выполняется опрделение предела по Гейне. Пусть < x n >произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям x n → x 0 и x n ≠ x 0 для всех n . Тогда согласно определению предела по Гейне, примененному к функциям f ( x ) и g ( x ) :

f ( x n ) → a , g ( x n ) → b .
По теореме о пределе суммы для последовательностей, отсюда следует, что
h ( x n ) = f ( x n ) + g ( x n ) → a + b .

Значит, условие определения по Гейне действительно выполняется: если x n → x 0 и x n ≠ x 0 для всех n , то h ( x n ) → a + b . Утверждение доказано. ∎

Упражнение 1. Докажите аналогично теоремы о пределе произведения и частного.

Кстати, до сих пор мы не доказывали, что предел функции определён однозначно. Это несложно сделать явно (хорошее упражнение!), но теперь мы получим этот факт совсем бесплатно. У нас есть аналогичное утверждение для последовательностей (см. соответствующую теорему в лекции 4 ), и с помощью определения по Гейне он автоматически переносится на предел функции: в определении по Гейне требуется, чтобы предел f ( x n ) был одним и тем же для всех подходящих последовательностей < x n >, и значит если бы нашлось два разных числа b , удовлетворяющих определению по Гейне, мы бы пришли к противоречию с единственностью предела последовательности.

11.4 Заключение

Мы показали, что определения по Коши и по Гейне эквивалентны друг другу, и теперь в случае необходимости будем пользоваться тем или другим. Как правило, если нам нужно доказать, что предел чему-то равен, мы будем пользоваться определением по Коши. Определение по Гейне удобно там, где нужно доказывать противоположное утверждение (что предел чему-то не равен, или вообще не существует), а также в некоторых теоретических построениях. Дополнительный бонус определения по Гейне — оно позволяет переносить на пределы функций ряд свойств, доказанных для пределов последовательностей, практически «бесплатно».