Как умножить вектор на вектор

1. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов a → и b → будет скалярная величина (число), равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

a → ⋅ b → = a → ⋅ b → ⋅ cos α .

Очень важно правильно определить угол между векторами. Если векторы не имеют общей начальной точки, необходимо представить, какой угол бы образовался, если их переместить к общей начальной точке.

Угол между векторами обозначают a → b → ˆ = α .
1. Если векторы сонаправлены, то a → b → ˆ = 0 ° .

Обрати внимание!

Так как косинус угла в \(0\) градусов равен \(1\), то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин.

Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом .
2. Если векторы противоположно направлены, то a → b → ˆ = 180 ° .

Обрати внимание!

Так как косинус угла в \(180\) градусов равен \(-1\) , то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

3. Векторы называют перпендикулярными, если a → b → ˆ = 90 ° .

Обрати внимание!

Так как косинус прямого угла равен \(0\) , то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно \(0\) .

4. Необходимо внимательно рассмотреть ситуации, когда векторы образуют тупой угол.

Обрати внимание!

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение таких векторов, которые образуют тупой угол, является отрицательным.

Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Если a → x a ; y a и b → x b ; y b , то a → ⋅ b → = x a ⋅ x b + y a ⋅ y b .

Так как в координатах a → = x a 2 + y a 2 и b → = x b 2 + y b 2 , то можно определить косинус угла между векторами и, следовательно, величину угла.

cos α = a → ⋅ b → a → ⋅ b → ; cos α = x a ⋅ x b + y a ⋅ y b x a 2 + y a 2 ⋅ x b 2 + y b 2 .

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору.

Скалярное произведение векторов

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = | a | · | b | cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b .

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства скалярное произведение векторов a = < a ₁ ; a ₂ ; . ; a_n > и b = < b ₁ ; b ₂ ; . ; b_n > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a ₁ · b ₁ + a ₂ · b ₂ + . + a_n · b_n

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0 <=>a = 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
a · a = | a | 2
Операция скалярного умножения коммуникативна:
a · b = b · a
Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=>a ┴ b
( α a ) · b = α ( a · b )
Операция скалярного умножения дистрибутивна:
( a + b ) · c = a · c + b · c

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = <1; 2>и b = .

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b , если их длины | a | = 3, | b | = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = | a | · | b | cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3 b и q = 5 a — 3 b , если их длины | a | = 3, | b | = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

p · q = ( a + 3 b ) · (5 a — 3 b ) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =

= 5 | a | 2 + 12 a · b — 9 | b | 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Пример 4. Найти скалярное произведение векторов ( a + 2 i )·( b — 2 j ),если a = и b = .

Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j :

a = i + 2 j
b = 4 i — 8 j

Тогда используя свойства ортов ( i 2 = 1, j 2 = 1, i · j = 0)

( a + 2 i )·( b — 2 j ) = ( i + 2 j + 2 i )·(4 i — 8 j — 2 j ) = (3 i + 2 j )·(4 i — 10 j ) = 12 i 2 — 30 i · j + 12 j · i — 20 j 2 = 12 — 0 + 0 — 20 = -8

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = <1; 2; -5>и b = .

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Пример 6. Найти скалярное произведение векторов a = <1; 2; -5; 2>и b = .

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.

1. Умножение вектора на число

Произведением вектора a → на число \(k\) ( k ≠ 0 ) называется вектор b → , модуль которого равен b → = k ⋅ a → , при этом:

— векторы a → и b → сонаправлены, если \(k > 0\);

— векторы a → и b → противоположно направлены, если \(k < 0\).

При умножении вектора на число данный вектор и результат коллинеарны.

Справедливо следующее суждение:

два ненулевых вектора a → и b → коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число \(k\), при котором выполняется равенство a → = k ⋅ b → .

Обрати внимание!

Если умножить вектор на число \(1\), получим равные векторы.

Если умножить вектор на число \(-1\), получим противоположные векторы.

Савельев И.В. Курс общей физики, том I

Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.

Предисловие к четвертому изданию

При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.

Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.

Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.

Ноябрь 1969 г. И. Савельев

Из предисловия к четвертому изданию

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.

При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.