Угол между градиентами скалярных полей
Найти угол между градиентами скалярных полей u(x;y;z) и v(x;y;z) в точке М .
U(x 3 +y 3 +z 3 ), V=x 2 -y 2 +z 2 , M(1;-1;1).
Решение находим с помощью этого калькулятора.
а) Вычислим градиент скалярного поля U(x 3 +y 3 +z 3 ) в точке M(1;-1;1). Для этого найдем частные производные и вычислим их значения в точке M(1;-1;1).
; ; .
, , .
Следовательно, grad U=(3;3;3) .
б) Вычислим градиент скалярного поля V=x 2 -y 2 +z 2 в точке M(1;-1;1). Найдем частные производные и вычислим их значения в точке M(1;-1;1).
; ; .
, , .
Значит, grad V=(2;2;2) .
в) Так как градиент – это вектор, то угол между градиентами скалярных полей найдем по формуле: , т.е. .
Обозначим через φ искомый угол. Тогда .
Следовательно, φ=1 .
- Задать вопрос или оставить комментарий
- Помощь в решении
- Поиск
- Поддержать проект
Правила ввода данных
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Поиск
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Как найти угол между градиентами функции в точках
Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей U(x,y,z) и V(x,y,z) в точке M. Введите номер своего варианта или решите задачу по образцу, приведённому ниже. Решение
Ответ: Угол между градиентами скалярных полей: \(\alpha=\pi\) или \(\alpha=180^o\).
Решебники по математике:
Решебники по физике:
поле — Угол между градиентом поля в точках
Мне дан такой градиет $%U=\frac$% и такие точки $%A(3,0,1)$% и $%B(1,-1,0)$%.
Я так понял начинаем с того, что расписываем градиент по компонентам:
Тогда в моём случае это нечто такое:
Далее обращаемся к точкам:
$%grad|_A = i-0-6k = i-6k$%
$%grad|_B = i+2j-0 = i+2j$%
Дальше мы должны искать скалярное произведение.
И после найдём угол.
Так нужно действовать или это только для нахождения угла между градиентами скалярных полей ?
задан 23 Ноя ’19 6:50
3.2. Градиент функции
При изучении скалярных полей наряду с функций рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функцией, — градиент скалярного поля.
Градиентом в точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, равный
Таким образом, каждой точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , соответствует не только значение этой функции, но и вполне определенный вектор .
Между градиентом функции в данной точке и производной по направлению в той же точке имеется связь, которая устанавливается следующей теоремой.
Теорема. Проекция вектора На единичный вектор равна производной функции по направлению :
Доказательство. Пусть . Из векторной алгебры известно, что проекция какого-либо вектора на другой вектор равна скалярному произведению этих векторов.
Учитывая, что производная по направлению выражает скорость изменения скалярного поля в этом направлении, можно сказать, что проекция на вектор равна скорости изменения поля в направлении вектора .
Обозначим через угол между единичным вектором и . Тогда .
Если направления векторов и совпадают (), то производная по направлению имеет, очевидно, наибольшее значение, равное .
Таким образом, есть вектор, указывающий Направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий Модуль равный скорости этого возрастания.
Рассмотрим кривую , лежащую на поверхности уровня и проходящую через точку . Градиент функции в точке обладает следующими свойствами: перпендикулярен к вектору , направленному по касательной к кривой в точке .
В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией двух переменных , градиент определяется формулой
Его связь с производной по направлению выражается равенством
Где — угол между единичным вектором и . Вектор перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в точке .
Пример 16. Найти наибольшую скорость возрастания функции
Решение. Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента этой функции. Найдем градиент функции :
Тогда наибольшая скорость возрастания функции равна
Пример 17. Найти скорость изменения скалярного поля, определяемого функцией в точке в направлении касательной, проведенной к параболе в этой точке в сторону возрастания координаты , и наибольшую скорость изменения поля в этой точке.
Решение. Скорость изменения скалярного поля в заданном направлении есть производная скалярного поля по направлению вектора , задающего направление.
Где ; — направляющие косинусы вектора , . Вектор возьмем на касательной к параболе в , для чего составим уравнение касательной
На найденной касательной возьмем точку с любой координатой (), например . Тогда
Найдем значения производной по направлению в точке :
Наибольшая скорость изменения поля в точке есть .
Величина наибольшей скорости